第21练关于平面向量数量积运算的三类经典题型

1、第 21 练关于平面向量数量积运算的三类经典题型 题型分析 ·高考展望 平面向量数量积的运算是平面向量的一种重要运算，应用十分广泛，对向量本身，通过数量积运算可以解决位置关系的判定、夹角、模等问题，另外还可以解决平面几何、立体几何中许多有关问题，因此是高考必考内容，题型有选择题、填空题，也在解答题中出现，常与其他知识结合，进行综合考查.体验高考1.(2018 山·东 )已知菱形ABCD的边长为 a， ABC 60°，则 BD·CD等于 ()32323232A. 2a B. 4a C.4a D.2a答案D解析如图所示，由题意，得 BC a， CDa， BC

2、D 120°.BD 2 BC2 CD 2 2BC ·CD ·cos 120°a2 a22a·a× 1 3a2，2BD 3a. 233 2BD ·CD |BD|CD |cos 30 ° 3a × 22a .222.(2018 重·庆 )若非零向量a，b 满足 |a|3|b|，且 (a b) (3a2b)，则 a 与 b 的夹角为 ()3A. 4B.2C. 4D. 答案A解析由 (a b)(3a 2b)得 (a b) ·(3a 2b) 0，即 3a2 a·b 2b2 0.又 |a

3、|22，设，3|b|ab ，即 3|a|2 |a| ·|b| ·cos 2|b|2 0，822222 3|b| 3|b| ·cos 2|b| 0，cos 22 .又 0 ， 4.3.(2018 陕·西 )对任意向量 a，b，下列关系式中不恒成立的是()A.| a·b| |a|b|B.|ab| |a| |b|C.(a b)2 |a b|2D.( ab)( a b)a2 b2答案B解析对于 A ，由 |a·b| |a|b|cos a， b | |a|b|恒成立；对于B，当 a，b 均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、 D 容易判断恒成

4、立 .故选 B.4.(2018 课·标全国乙 )设向量 a (m，1)， b (1， 2)，且 |ab|2 |a|2 |b|2，则 m _.答案 2解析 由 |ab|2 |a|2 |b|2，得 a b，所以 m× 1 1×2 0，得 m 2.5.(2018 上·海 )在平面直角坐标系中，已知A(1， 0)，B(0， 1)， P 是曲线 y 1 x2上一个动点，则 BP·BA的取值范围是 _.答案0，1 2解析由题意知 y1 x2表示以原点为圆心， 半径为 1的上半圆 .设 P(cos ，sin )， 0， (cos ， sin 1)，BA (1

5、，1) ，BP 所以 BP·BA cos sin 12sin( 4) 1 0， 12BP·BA的范围为 0 ，12.高考必会题型题型一平面向量数量积的基本运算例 1(1)(2018 ·四川 )设四边形 ABCD 为平行四边形，|AB| 6，|AD | 4，若点 M，N 满足 BM 3MC ， DN 2NC，则 AM·NM等于 ()A.20B. 15C.9D.61(2)(2018 福·建 )已知 AB AC，|AB| t ，|AC| t，若点 P 是 ABC 所在平面内的一点， 且 AP AB4AC ，则 PB·PC的最大值等于 ()|

6、AB|AC|A.13B.15C.19D.21答案(1)C(2)A解析31111(1)AM ABAD ，NM CM CNAD AB， AM ·NM (4AB 3AD) · (4AB4434121 221223AD) 48(16AB9AD)48(16× 6 9× 4) 9，故选 C.(2) 建立如图所示坐标系，则11B t ， 0 ， C(0， t)， AB t ， 0， AC (0， t)，1 14AC t， 0AP AB t 4(0， t) (1， 4) ， P(1， 4) ，PB·PC 1， 4 ·( 1， t 4)tt|AB|AC

7、|1 4t117 t17 2t ·4t 13，故选 A.点评(1) 平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a， b 的数量积 a·b 与代数中 a， b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“ ·”.(2) 向量的数量积运算需要注意的问题： a·b 0 时得不到 a 0 或 b 0，根据平面向量数量积的性质有 |a|2 a2，但 |a·b| |a| ·|b|.变式训练 1 在 ABC 中， AD AB， BC 23 BD ，|AD | 1，则 AC·

8、AD等于 ()33A.23 B.3C. 2D. 3答案A解析在 ABC 中， BC 23 BD， 所以 AC·AD ( ABBC ) ·AD (AB 2 3BD ) ·AD，又因为 BD AD AB ， 2所以 AC·AD (13)AB 23 AD·AD 2 (1 2 3)AB3 AD·AD·AD 22，(1 2 3)AB3 AD·AD 0，因为 AD AB，所以 AD AB，所以 AD·AB所以 AC·AD (1 23)×0 23× 123，故选 A.题型二利用平面向量数量

9、积求两向量夹角例 2(1)设 a，b 为非零向量，|b| 2|a|，两组向量x1， x2， x3， x4 和 y1， y2， y3， y4 均由 22个 a 和 2 个 b 排列而成 .若 x1·y1 x2·y2 x3·y3x4 ·y4 的所有可能取值中的最小值为4|a| ，则a 与 b 的夹角为2()A.3B.3C.6D.03 2(2) 已知向量 a，b 满足 |a| 2|b|0，且关于 x 的函数 f(x) 2x 3|a|x 6a·bx5 在 R 上单调递减，则向量 a，b 的夹角的取值范围是 ()2A. 0，6B. 0，3C. 0，6D.

10、 3 ， 答案 (1)B (2)D解析 (1)设 a 与 b 的夹角为 ，由于 xi ， yi， ， ，4)均由2个a和2个b排列而成，(i12 34ii记 S( x·y)，则 S 有以下三种情况：i 1S 2a2 2b2； S 4a·b； S |a|2 2a·b |b|2. |b| 2|a|， 中 S 10|a|2， 中 S 8|a|2cos ， 中 S 5|a|2 4|a|2cos .易知 最小，即8|a|2cos 4|a |2， cos 12，又 0 ， 3，故选 B.(2) 设向量 a， b 的夹角为 ，因为 f(x) 2x33|a|x2 6a·

11、bx 5，所以 f (x) 6x2 6|a|x6a·b，又函数 f( x)在 R 上单调递减， 所以 f (x) 0 在 R 上恒成立， 所以 36|a|2 4× (6)×·，解得· 1 2，因为 a·b |a|b| ·cos ，且 |a| 2|b|0，所以 |a|b|cos 12(6a b)0a b4|a|2|a| cos1 212 4|a|，解得 cos 2，因为 0，所以向量 a，b 的夹角 的取值范围是3， ，故选D.点评求向量的夹角时要注意：(1) 向量的数量积不满足结合律.(2) 数量积大于0 说明不共线的两向量

12、的夹角为锐角，数量积等于0 说明两向量的夹角为直角，数量积小于0 且两向量不能共线时，两向量的夹角为钝角.变式训练2若非零向量a，b 满足 |a| |b|，(2 ab) ·b 0，则 a 与 b 的夹角为 ()A.30 ° B.60 ° C.120 ° D.150 °答案C解析设a 与b 的夹角为，由题意得 |a| |b|， (2a b) ·b0，可得 2a·b b2 2|a| ·|b|cos b22|a| ·|a|cos |a|2 0，解1得 cos 2，因为0° 180°，所以 1

13、20°，故选C.题型三利用数量积求向量的模例 3(1) 已知向量a， b 的夹角为45°，且 |a| 1， |2ab|10，则 |b| _.(2) 已知直角梯形 ABCD 中， AD BC， ADC 90°，AD 2，BC 1，点 P 是腰 DC 上的动点，则 |PA 3PB|的最小值为 _.答案(1)32 (2)5解析(1)由 |2a b| 10，则 |2a b|210，及4a2·2 ，又向量， 的夹角为45°，4a b b 10a b22且|a| 1，所以 4× 1 4×1× |b|cos4 |b| 10，即

14、|b| 22|b| 6 0，解得 |b| 3 2.(2) 方法一以点 D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为 x、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设DC a， DPx.D (0， 0)，A(2， 0)， C(0， a)， B(1， a)， P(0， x)， PA (2， x)， PB (1， ax)，PA3PB (5， 3a 4x)2225， 3PB 25 (3a4x)|PA|PA 3PB|的最小值为 5.方法二设DP xDC (0 x 1)，PC (1 x)DC ， PA DA DP DA xDC ，1 PB PCCB(1 x)DC 2DA ，5 PA3PB2DA (3 4x)DC

15、， 22525 2 22 2 25，|PA 3PB| 4DA ×(34x)DA·DC (3 4x) DC25 (3 4x)DC2× 2|PA3PB|的最小值为 5.点评(1) 把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量 a (x， y)，求向量 a 的模只需利用公式|a|x2 y2即可求解 .(2) 向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a 的模进行如下转化： |a| a2.变式训练3 已知向量a，b，c 满足 |a|4，|b| 22，a 与 b 的夹角为4，(

16、c a) ·(ca) 1，则|c a|的最大值为 ()122 1A. 22B.21C. 2D. 21答案D解析在平面直角坐标系中，取B(2 2，0)，A(22，2 2)，则 OA a，OB b，设 cOC(x， y)，则( ca) ·(c b) (x 22，y 22) ·(x 22，y)( x 22) 2 y(y 22) 1，即 (x22) 2 ( y2) 2 1 ，所以点C(x， y) 在以D (22 ，2) 为圆心，1 为半径的圆上，|c a|x 22 2 y 22 2，最大值为 |AD | 12 1.故选 D.高考题型精练1.已知空间四边形ABCD 的每条边

17、和对角线的长都为1，点 E、 F 分别是 AB、 AD 的中点， )则EF ·DC 等于 (1331A. 4B. 4C. 4D. 4答案D解析由题四边形 ABCD 的边和对角线的长都为1，点 E、F 分别是 AB、AD 的中点， 则 EF平行于 1 1× 1× 1× cos 120 ° 1BD ，则 EF·DC2BD ·DC24.1，3，1 ，则 ABC 等于 ()2.(2018 课·标全国丙 )已知向量 BA3 ，BC2222A.30 ° B.45 ° C.60 ° D.120 &#

18、176;答案A解析|BA| 1， |BC| 1，BA·BC3cosABC 2 .|BA| ·|BC|又 0° ABC180°， ABC 30°.3.(2018 湖·南 )已知点 A， B，C 在圆 x2 y2 1 上运动，且AB BC.若点 P 的坐标为 (2， 0)，则|PA PB PC|的最大值为 ()A.6B.7C.8D.9答案B解析由 A， B，C 在圆 x2 y2 1 上，且 AB BC，AC 为圆的直径，故PAPC 2PO ( 4， 0)，设 B(x， y)，22 1则 xy且 x 1，1， PB (x 2， y)，所以

19、PA PB PC (x 6， y).故|PA PB PC| 12x37， 1 x1，当 x 1 时有最大值49 7，故选 B.4.已知三点 A( 1， 1) 、B(3， 1)、 C(1， 4)，则向量 BC在向量 BA方向上的投影为 ()55213213A. 5B. 5C.13D. 13答案A 解析，BC·BABC(23)， BA( 4 ， 2) ，向量 BC 在向量 BA 方向上的投影为|BA|2× 4 3× 25 42 225 ，故选 A.5.(2018 安·徽 ) ABC 是边长为2 的等边三角形，已知向量a，b 满足 AB 2a， AC 2a b

20、，则下列结论正确的是()A.| b| 1B. a bC.a·b 1D.(4 a b) BC答案D解析在 ABC 中，由 BC AC AB 2a b2a b，得 |b| 2.又|a| 1，所以 a·b |a|b|cos 120 ° 1，2所以 (4a b) ·BC (4a b) ·b 4a·b|b| 4× ( 1) 4 0，所以 (4a b) BC，故选 D.6.已知 i， j为互相垂直的单位向量，a i 2j， b i j，且 a， b 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是 ()A.( ， 1)B.( 1， )2222， )D

21、.( ，1C.(2， )(2) ( 2， )332答案D解析 a， b 的夹角为锐角，a·b 1× 1 (2) 0 且 1×( 2) 1× 0，1 ( ， 2) ( 2， 2)，故选 D.7.已知向量a， b，其中 |a|3， |b| 2，且 (a b) a，则向量a 和 b 的夹角是 _.答案56解析 (a b)a，( a b) ·a a2 ·3×，a b 32cos a b03cosa， b2 ，又 0 a， b ，a 和 b 的夹角为 56 .8.(2018 浙·江 )已知向量 a， b， |a| 1， |b

22、|2.若对任意单位向量e，均有 |a·e| |b·e|6，则a·b 的最大值是 _.答案12解析由已知可得，6 |a·e| |b·e| |a·e b·e| |(a b) ·e|，由于上式对任意单位向量e 都成立 . 6|a b|成立 . 6 (a b)2 a2 b2 2a·b1222 2a·b.即 6 5 2a·b， a·b12.9.如图，在 ABC 中，点 O 为 BC 的中点，若 AB 1， AC 3，AB， AC 60°，则 |OA|_.答案132解析 因为

23、AB， AC 60°， 13所以 AB·AC |AB| |AC· |cos 60 °1× 3× 22，1又AO AC) ，2(AB21 2所以AO4(ABAC)2 2 4(AB 2AB·AC AC ) ，1 211313即AO4(1 3 9) 4 ，所以 |OA| 2 .10.已知点O 是锐角 ABC 的外心， AB 8， AC 12， A3.若 AO xAB yAC，则 6x 9y _.答案5解析 如图，设点 O 在 AB，AC 上的射影分别是点D ，E，它们分别为AB，AC 的中点，连接 OD ， OE.由数量积的几何意义，可得 AB·AO|AB |AC| |AE· | 72，依| ·|AD | 32， AC·AO 2 2题意有 AB xAByAC·AB 64x48y 32，即 4x 3y 2，AC·AO xAB·AC yAC 48x·AO 144y 72，即 2x 6y3，将两式相加可得 6x 9y 5.11.设 a ( 1， 1)， b (x， 3)， c (5， y)， d (8， 6)，且 bd， (4a d) c.