基于matlab平台的三种迭代法求解矩阵方程

1、数值分析第二次作业学院：电子工程学院基于matlab平台的三种迭代法求解矩阵方程组求解系数矩阵由16阶Hilbert方程组构成的线性方程组的解，其中右端项为2877/851,3491/1431,816/409,2035/1187,2155/1423,538/395,1587/1279,573/502,947 /895,1669/1691,1589/1717,414/475,337/409,905/1158,1272/1711,173/244.要求：1） Gauss_Sede£代法；2）最速下降法；3）共腕梯度法；4）将结果进行分析对比。解：根据题目要求，编写了对应算法的 matla训

2、序，求解结果如下：（求解精度为10e-4,最大迭代次数1000）1、方程的解：如下图1所示component of solutionucunas图1三种方法求解的结果对比图2 Gause_Sede算法收敛特性1.0080.604020.0 -Steepest desent图3共轲梯度法收敛特性Conjugal gradicm0100 200 300 400 500迭代次数图3最速下降法收敛特性1.0- 0.80.6040 20.0-0从图中可以看到，在相同的最大迭代次数和预设求解精度条件下，共腕 梯度算法仅需要4次迭代便可求出方程组的解，耗时0.00045纲，而且求出解 的精度最高；Gauss

3、_SedeU法需要465次迭代，耗时0.00677例，求解精度最 差；最速下降法需要398次迭代，耗时0.0075956>,求解精度与共腕梯度算法 差不多，因此两者求出的解也几乎相同。从中可以得出结论，共腕梯度算法 无论从求解精度还是求解速度上都优于其他两种，最速下降法在求解精度上 几乎与共腕梯度算法持平，但求解速度更慢。Gauss_Sede&法在求解精度和速度两方面都最差。具体的解为：Gauss_Sedd6代法：（共需465次迭代，求解精度达到9.97e-5）X=0.995328360833192 1.01431732497804 1.052861239300110.93400

4、6974137998 0.931493373808838 0.9665081384030661.00661848511341 1.03799789809258 1.051806903036541.06215849948572 1.04857676431223 1.028561990411131.01999170162638 0.971831831519515 0.952526166634813 0.916996019179182.最速下降法:(共需398次迭代，求解精度达到9.94e-5)X=0.998835379744322 1.01507463472900 0.98258909372018

5、5 0.980191460759243 0.991245169713628 1.00378022225329 1.01350884374478 1.01928337905816 1.02085909665194 1.01930314197028 1.01444777381651 1.00704058989297 0.998384452250809 0.987399404644377 0.975767814970912 0.963209150871750.共轭梯度法:(共需4次迭代，求解精度达到3.98e-5)X=0.996472751179456 1.02707840189049 0.9776

6、233734098530.973206695321590 0.986133032967607 1.001289025642341.01322158496914 1.02047386502293 1.023009050605651.02163015083975 1.01678089454399 1.00920310863874 0.999772406055155 0.988443827498859 0.976094192496949 0.962844741655005.Matlab 程序主程序 :clc;clear;% 本程序用于计算第二次数值分析作业，关于希尔伯特矩阵方程的解，用三种方法，分析

7、并比较，也可推广至任意n 维的矩阵方程%A=hilb(16);%生成希尔伯特系数矩阵b=2877/851;3491/1431;816/409;2035/1187;2155/1423;538/395;1587/1279;573/502;947/895;166 9/1691;1589/1717;414/475;337/409;905/1158;1272/1711;173/244; % 右端向量M=1000;%最大迭代次数err=1.0e-4;%求解精度x,n,xx,cc,jingdu=yakebi_diedai(A,b,err,M); % 雅克比算法求解tic;x1,n1,xx1,cc1,jing

8、du1=gauss_seidel(A,b,err,M); % gauss_seidel 算法求解toc;tic;x2,n2,xx2,jingdu2=zuisuxiajiangfa(A,b,err,M); % 最速下降法求解toc;tic;x3,flag,jingdu3,n3=bicg(A,b,err); % matlab 内置双共轭梯度算法求解toc;tic;x4,xx4,n4,jingdu4=con_grad(A,b,err,M); % 教材共轭梯度算法求解toc;% 计算相应结果，用于作图num=1:16'jie=num,x1,x2,x4;% 三者的解对比% 三者的收敛情况对比nu

9、m1=1:n1'fit1=num1,jingdu1'num2=1:n2'fit2=num2,jingdu2'num4=1:n4'fit4=num4,jingdu4'子函数1(Gause_Sede算法)：function x,n,xx,cc,jingdu = gauss_seidel(A,b,err,M)% 利用迭代方法求解矩阵方程这里是高斯赛尔得迭代方法% A 为系数矩阵b 为右端向量err 为精度大小返回求解所得向量x 及迭代次数% M 为最大迭代次数cc 迭代矩阵普半径jingdu 求解过程的精度n 所需迭代次数xx 存储求解过程中每次迭代产

10、生的解for ii=1:length(b)if A(ii,ii)=0x='error'break;endendD=diag(diag(A);L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=(D-L)U;cc=vrho(B); % 迭代矩阵普半径 FG=(D-L)b;x0=zeros(length(b),1);x=B*x0+FG;k=0;xx(:,1)=x;while norm(A*x-b)>errx0=x;x=B*x0+FG;k=k+1;xx(:,k+1)=x; if k>=Mdisp('迭代次数太多可能不收敛！);break;endn=k;jin

11、gdu(k)=norm(A*x-b);endend子函数2(最速下降算法):function x,n,xx,jingdu=zuisuxiajiangfa(A,b,eps,M)% 利用迭代方法求解矩阵方程这里是最速下降迭代方法% A 为系数矩阵b 为右端向量err 为精度大小返回求解所得向量x 及迭代次数% M 为最大迭代次数jingdu 求解过程的精度n 所需迭代次数xx 存储求解过程中每次迭代产生的解x0=zeros(length(b),1);r0=b-A*x0;t0=r0'*r0/(r0'*A*r0);x=x0+t0*r0;r=b-A*x;xx(:,1)=x;k=0;whi

12、le norm(r)>epsr=r;x=x;t=r'*r/(r'*A*r);x=x+t*r;r=b-A*x;k=k+1;xx(:,k+1)=x;if k>=Mdisp('迭代次数太多可能不收敛！);break;endn=k;jingdu(k)=norm(r);endend子函31(共轭梯度法):function x,xx,n,jingdu=con_grad(A,b,eps,M)% 利用迭代方法求解矩阵方程这里是共轭梯度迭代方法% A 为系数矩阵b 为右端向量err 为精度大小返回求解所得向量x 及迭代次数% M 为最大迭代次数jingdu 求解过程的精度n 所需迭代次数xx 存储求解过程中每次迭代产生的解x0=zeros(length(b),1);r0=b-A*x0;p0=r0;% t0=r0'*r0/(r0'*A*r0);% x=x0+t0*r0;% r=b-A*x;% xx(:,1)=x;k=0;x=x0;r=r0;p=p0;while norm(r)>epsx=x;r=