2021年高考文科数学(人教A版)一轮复习讲义：第6讲第2课时正、余弦定理的综合问题

1、第 2 课时 正、余弦定理的综合问题 角度一 计算三角形的面积与三角形面积有关的问题 （多维探究 ） （1）（2019 高考全国卷n ） ABC 的内角 n A, B, C 的对边分别为 a, b, c,若 b= 6, a = 2c, B =-，则 ABC 的面积为 _ . （2）（2020 福建五校第二次联考）在厶 ABC 中，A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,已知 a2+ b2 c2= 3ab,且 acsin B = 2 3sin。，则厶 ABC 的面积为 _ . 【解析】（1）法一：因为 a= 2c, b = 6, B = f 所以由余弦定理 b2= a2 + c2 2ac

2、cos B, 3 得 62= (2c)2+ c2 2X 2cX ccos 扌,得 c= 2 3,所以 a= 4 3,所以 ABC 的面积 n 法二：因为 a= 2c, b= 6, B =-,所以由余弦定理 b2= a2+ c2 2accos B,得 62= (2c)2 3 + c2 2 x 2cx ccos 扌，得 c= 2 3 ,所以 a = 4 3 ,所以 a2= b2 + c2 ,所以 A=(所以 ABC 的面积S= 1x 2j3x 6= 6 筋. 厂 a2+ b2 c2 J3ab 肃 (2)因为 a2+ b2 c2= . 3ab ,所以由余弦定理得 cos C= 莎 =Wb =2又0

3、C v n,所以 C= f因为acsin B= 2 Esin C ,所以结合正弦定理可得 11 n 故 S* 1absin C=1x 2.3sin6= 求三角形面积的方法 S= acs in B =1 x 4 3 x 2 3 x sin abc = 2 3c ,所以 ab = 2 3. 【答(1)6 .3 _3 2 _3 2 . (1) 若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、 余弦值)，结合题意求解这个角的两边 或该角的两边之积，代入公式求面积； (2) 若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面 积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键. 角度二 已知

4、三角形的面积解三角形 (2020 湖南五市十校共同体联考改编 ) 已知 a, b, c 分别为 ABC 的内角 A, B, C 的对边，(3b a)cos C= ccos A, c 是 a, b 的等 比中项，且 ABC 的面积为 3 2，贝 U ab= _ , a+ b= _ . 【解析】 因为(3b a)cos C = ccos A,所以利用正弦定理可得 3sin Bcos C = sin Acos C 1 + sin Ccos A= sin(A + C)= sin B.又因为 sin B0,所以 cos C = 3,贝卩 C 为 锐角，所以 sin C = 3.由 ABC 的面积为 3

5、, 2,可得 gabsin C= 3 2,所以 ab= 9由 c 是 a, 11 b 的等比中项可得 c2= ab,由余弦定理可得 c2 = a2+ b2 2abcos C,所以(a + b)2=3ab= 33, 所以 a+ b= . 33. 【答案】 9 33 已知三角形面积求边、角的方法 (1) 若求角，就寻求这个角的两边的关系 ，利用面积公式列方程求解； (2) 若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解. 注意正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中 ，要注意三角函数公式的工 具性作用. 1. （2020 济南市模拟考试 )在厶 ABC 中，AC = 5, B

6、C = 10, cos A =等，则 ABC 的面积为（ ） 5 A.Q B. 5 C. 10 D 四 D. 2 解析：选 A.由 AC= 5, BC = ,10, BC2= AB2 + AC2 2AC AB cos A,得 AB2 4AB 5 =0,解得 AB = 5,而 sin A = 1 cos2A55，故 SZABC = 5X 5 X 寿5 =号.选 A. 2. (2020 长沙市统一模拟考试)已知 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 B + C asi n(A+ B)= csin 2 . 求 A; (2)若厶 ABC 的面积为.3,周长为 8,求 a.

7、A 解：由题设得 asin C = ccos, 由正弦定理得 A sin Asin C= sin Ceos?, 所以 sin A = cos ?, 所以 2sinAcosA = cosA,所以 sinA= *, 所以 A = 60 由题设得bcsin A= . 3,从而 bc= 4. 由余弦定理 a2= b2 + c2 2bccos A,得 a2= (b + c)212. 13 又 a + b + c= 8,所以 a2= (8 a)2 12,解得 a = .三角形面积或周长的最值（范围）问题（师生共研） （2019 高考全国卷 川） ABC 的内角A, _ _ , , 、 ， A+ C , .

8、 A B, C 的对边分别为 a, b, c.已知 asin厂 =bsin A. 求 B; 若 ABC 为锐角三角形，且 c= 1,求厶 ABC 面积的取值范围. 、 A+ C 【解】 由题设及正弦定理得 sin Asin2 = sin Bsin A. A+ C 因为 sin A 丸,所以 sin厂 =sin B. A + C B B B B 由 A+ B + C= 180 可得 sin= cos,故 cos? = 2sin?cos?. 因为 COSBM 0,故 sinB = 2，因此 B= 60 由题设及 知厶 ABC 的面积SZABC = 丄亠宀口 csin A sin (120 -C)

9、羽 1 由正弦疋理得 a= sin C = SinC = 2tanC+ 2. 由于 ABC 为锐角三角形，故 0 A90 0C90 由(1)知 A+ C = 120 所以 30 C90 故 2a2,从而 VSBCV3. 因此，ABC 面积的取值范围是 3,产 8 2 求有关三角形面积或周长的最值 （范围）问题 在解决求有关三角形面积或周长的最值（范围）问题时，一般将其转化为一个角的一个三 角函数，利用三角函数的有界性求解 ，或利用余弦定理转化为边的关系 ，再应用基本不等式 求解.题多解）（2020 福州市质量检 测） ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.若角 A, B

10、, C 成等差数列，且 b= j. （1）求厶 ABC 外接圆的直径； 求 a + c 的取值范围. 解：因为角 A, B, C 成等差数列，所以 2B= A+ C, n 又因为 A + B+ C = n所以 B = 3. b 2 根据正弦定理得，ABC 的外接圆直径 2R= T- = = 1. sin B n 法一：由 B = n知 A + C=竽，可得 0 v Av 由知厶 ABC 的外接圆直径为 1,根据正弦定理得 a b c = = = 1 sin A sin B sin C 所以 a+ c= sin A + sin C 2n =sin A + sin 3 A sin A+ ； cos

11、 A 2 n n n 5 n 因为0v Av -3-,所以 6v A + 6v孑sin3 - 1 n , 所以 2 sin A+ 6 W 1， 从而 # . 3sin A+ 6 （a + c）23* = 4（a+ c）2（当且仅当 a = c 时，取等号），因为 b=,所以（a+ c）2 W 3，即 a+ cW、.;3, 又三角形两边之和大于第三边 ，所以丁a+ cW 3, 所以 a+ c 的取值范围是 3, . 3 . 解三角形与三角函数的综合应用（师生共研） (2020 湖南省五市十校联考 )已知向量 1 m= (cos x, sin x), n = (cos x, . 3cos x),

12、x R，设函数 f(x) = m n + (1) 求函数 f(x)的解析式及单调递增区间； (2) 设 a，b，c 分别为 ABC 的内角 A, B，C 的对边，若 f(A) = 2, b+ c= 2 2, ABC 1 的面积为步步，求 a 的值. 1 n 【解】(1)由题意知,f(x) = cos1 2x+ 3sin xcos x+ = sin 2x+ 6 + 1. n n n n n 令 2x+ 点 o+ 2 k n, o + 2k n , k Z ,解得 x k n, a + k n , k Z, 6 2 2 3 6 n n 所以函数 f(x)的单调递增区间为 3+ kn, + kn ,

13、 k Z. n (2)因为 f(A)= sin 2A+ 6 + 1= 2, n 所以 sin 2A+ 6 = 1. 因为 0v A n 所以 6 2A + n 所以 2A+ n= 即 A= 6 6 6 6 2 6 标注条件，合理建模 1 1 由厶 ABC 的面积 S= ?bcsin A = ?,得 bc= 2, 又 b + c= 2 . 2 ,所以 a2= b2+ c2 2bccos A = (b + c)2 2bc(1 + cos A), 解得 a= .3 1. 解决三角函数的应用问题 ，无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问 题，关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注

14、 ，然后根据条件和所求建立相应 的数学模型，转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题. ABC 中的内角 A, B, C 的对边分 别为 a, b, c,已知 b= 2a 2ccos B. 求角 C 的大小； 求 .3cos A+ sin B +寸的最大值，并求出取得最大值时角 A, B 的值. 解：法一：在厶 ABC 中，由正弦定理可知 sin B= 2sin A 2sin Ccos B, 又 A+ B + C= n 则 sin A= sin( (B + C) = sin(B+ C),于是有 sin B = 2sin(B + C) 2sin Ccos B = 2sin Bcos C+ 2co

15、s Bsin C 2sin Ceos B, 整理得 sin B= 2sin Bcos C,又 sin B 丸， 小 1 贝 U cos C= 2， n 因为 0C n则 C = 3. a2 + c2 b2 法二：由题可得 b= 2a 2c - 2ac 整理得 a2+ b2 c2= ab, 1 即 cos C= 2， n 因为 0C n则 C = 3. (2)由知 C=n，贝 y B+n= nA , 于是 3cos A+ sin B+ 3 = 3cos A+ sin( A)= . 3cos A + sin A = 2sin A+ 3 , 因为 A = -3 B,所以 0A-3n, 所以 3A+n

16、n n n n 故当 A = 2 时，2sin A+7的最大值为 2,此时 B=:. 6 3 2 基础题组练 则厶 ABC 的面积等于（ ） C. 9 D. | 解析：选 B.因为 cos A =47,则 sin A = 3,所以 SZABC = 1 x bcsin A= ,故选 B. 2. 在 ABC 中，已知 C= n b= 4, ABC 的面积为 23,贝 V c=（ ） 3 A. 2,7 B. .7 C. 2 ,2 D. 2.3 解析：选 D.由 S= absin C = 2ax 于二 2.3,解得 a = 2,由余弦定理得 c2= a2+ b2 2abcos C= 12,故 c= 2

17、 3. 3. （2020 河南三市联考）已知 a, b, c 分别为 ABC 三个内角 A, B, C 的对边，sin A : sin B = 1 ： ,3, c= 2cos C=.3,则厶 ABC 的周长为（ ） A. 3+3 ,3 B. 2 ,3 C. 3 + 2 ,3 D. 3+ . 3 解析：选 C.因为 sin A : sin B= 1 : 3,所以 b=，3a, a2 + b2 c2 a2 +（寸 da） 2 c2 由余弦定理得cos C= 2ab = 2ax 3a 又 c = . 3,所以 a= . 3, b = 3,所以 ABC 的周长为 4. （2020湖南师大附中 4月模拟

18、）若厶 ABC 的内角 A, b= 2, c= 5, ABC 的面积 S=jcos A，则 a=（ ） B. .5 C. 13 D. . 17 5 1 1 解析：选 A.因为 b = 2, c= 5, S= 2cos A= ?bcsin A = . 5sin A,所以 sin A=?cos A. ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,已知 b = , 7, c= 4, 3 + 2 3,故选 C. B, C 的对边分别为 a, b, c,且 的面积为 4 3,且 2bcos A+ a= 2c, a + c= 8,则其周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 8 + 3 D. 8+ 2 3 1 解析：选 B.因为 ABC 的面积为 4 二 3,所以qacsin B = 4 3.因为 2bcos A+ a = 2c,所以 由正弦定理得 2sin Bcos A+ sin A = 2sin C,又 A + B + C= n,所以 2sin Bcos A + sin A = 2sin 1 、 Acos B + 2cos Asin B,所以 sin A = 2cos B sin A,因为 sin A 工 0,所以 cos B =刁刁 因为 0 B2