2021年江苏高考数学一轮复习讲义第7章第4节直线、平面垂直的判定与性质

1、1第四节 直线、平面垂直的判定与性质最新考纲1以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.必备知识填充1. 直线与平面垂直(1) 定义：如果直线 I 与平面a内的任意一条直线都垂直，则直线 I 与平面a垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个 平面内的两条相 交直线都垂直，则 该直线与此平面 垂直Ha，b?aaAb=O?1 丄 a1 丄 bI 丄a性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行1ab7 ra 丄a? a/bbX a2.直线和平面所成的角(1

2、) 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平 面所成的角.(2) 当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角 分别为 90 和 0.n(3) 范围：0, 2 .护笏冬独也坍.课前自23. 二面角的有关概念二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2) 二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别 作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.(3) 范围：0,n.4. 平面与平面垂直(1) 定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2) 判定定理与性质定理常用结论直线与平面

3、垂直的五个结论(1) 若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线(2) 若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(3) 垂直于同一条直线的两个平面平行.(4) 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直.(5) 两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.判定定理性质定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直图形语言符号语言I 丄a?a丄BI?Ba丄BI?B?aAaI 丄 aI 丄a3学情自测验收一、思考辨析(正确的打“V”，错误的打“X”)

4、(1)垂直于同一个平面的两平面平行.()若a丄B,a 丄传 a/a()(3) 若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(4) 若平面a内的一条直线垂直于平面B内的无数条直线，则a! B()答案(1)X(2)x(3)x x二、教材改编1 .设a, B是两个不同的平面，I ,m 是两条不同的直线，且 l?a,m?B()A.若 I! B则a! BB.若 aXB则 I 丄 mC.若 I/ B则all BD.若allB则 I/mAI! BI?a,二a! B面面垂直的判定定理)，故 A 正确.2.下列命题中不正确的是( )A .如果平面a!平面B且直线 I /平面a则直线 I 丄

5、平面BB.如果平面a!平面B那么平面a内一定存在直线平行于平面BC. 如果平面a不垂直于平面B那么平面a内一定不存在直线垂直于平面D. 如果平面a平面Y平面B丄平面Y aGB=I，那么 I 丄丫A A 错误，I 与B可能平行或相交，其余选项均正确.3如图所示，已知 PA 丄平面 ABC，BC!AC，则图中直角三角形的个数 为 .44: RA 丄平面 ABC， FA!AB，PA!AC，FA!BC，则厶 PAB， PAC 为直角三角形.5由 BC 丄 AC,且 ACnFA=A, BC 丄平面 PAC,从而 BC 丄 PC.因此 ABC, PBC 也是直角三角形.4.在三棱锥 P-ABC 中，点 P

6、 在平面 ABC 中的射影为点 O.若 PA= PB= PC,则点 O 是厶 ABC 的若 PA 丄 PB, PB 丄 PC,同理 OB2= PB2 PO2,0C2= PC2 PO2又 FA= PB= PC,故 OA= OB= OC,O 是厶 ABC 的外心.由 PA 丄 PB, PA 丄 PC 可知 PA 丄平面 PBC,FAXBC,又 POXBC,BCX平面 PAO,AOXBC,心外垂OC,在 RtAPOA 中心；PC 丄 PA,则点 O 是厶 ABC 的6同理 BOXAC, COXAB.故 O 是厶 ABC 的垂心.7_沁霓埜込课堂考点探究1 直线与平面垂直的判定与性质葩总 1证明线面垂

7、直的常用方法判定定理.(2) 垂直于平面的传递性.(3) 面面垂直的性质.2.证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直,直的性质.劭曲如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，FA 丄底面AC 丄 CD，/ ABC= 60 PA=AB= BC, E 是 PC 的中点.证明：(1)CD 丄 AE;(2)PD 丄平面 ABE.证明(1)在四棱锥 P-ABCD 中，/ FA 丄底面 ABCD，CD?平面 ABCD， PA 丄 CD.又 AC 丄 CD，PAnAC=A，PA，AC?平面 PAC，CD 丄平面 PAC.考点则需借助线面垂ABCD，AB 丄 AD，8而 AE?平面 PAC， CD 丄 A

8、E.由 PA=AB= BC，/ ABC = 60 可得 AC= PA. E 是 PC 的中点，二 AE 丄 PC.由(1)知 AE 丄 CD, 且 PCnCD = C,PC, CD?平面 PCD, AE 丄平面 PCD,而 PD?平面 PCD, AE 丄 PD./ FA 丄底面 ABCD, AB?平面 ABCD, PA 丄 AB.又 AB 丄 AD, 且 PAnAD = A, AB 丄平面 PAD,而 PD?平面 PAD, AB 丄 PD.又 ABnAE=A,AB, AE?平面 ABE, PD 丄平面 ABE.汀平通过本例的训练我们发现：判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想；另

9、外，在解题中要重视平面几何知识， 特别是正余弦定理 及勾股定理的应用.埠 如图所示，已知 AB 为圆 0 的直径，点 D 为线段 AB 上一点，且 AD=3DB,点 C 为圆 0 上一点，且 BC= .;3AC, PD 丄平面 ABC, PD= DB.9求证：PA 丄 CD.证明因为 AB 为圆 0 的直径，所以 AC 丄 CB,在 RtAACB 中，由：3AC =BC,得/ ABC = 30.设 AD= 1,由 3AD = DB，得 DB = 3, BC = 2_：3，由余弦定理得 CD2= DB2+ BC2 2DB BCcos 30 = 3,所以 CD2+ DB2= BC2,即 CD 丄

10、AB.因为 PD 丄平面 ABC,平面 FABA平面 ABC = AB, CD?平面 ABC,所以 FD 丄 CD，由 PDAAB= D, 得 CD 丄平面 FAB, 又 FA?平面 FAB, 所 以PA 丄 CD.考点 2 平面与平面垂直的判定与性质驗悅 C)利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法是： 先寻找平面 的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直； 若图中不 存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，作辅助线应有理论根据并有利于证 明.(2) 证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直来实现.(3) 两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直

11、的依据，运用时要 注意“平面内的直线”这一条件.裁理颈(2019 衡水中学模拟)如图，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为直角梯形，AB/ DC，/ ABC= 90 / PAB= 120DC = PC = 2.PA= AB= BC= 1.1011证明：平面 PAB 丄平面 PBC;求四棱锥 P-ABCD 的体积.解(1)证明：在厶 PAB 中，由 PA= AB= 1, / PAB= 120 得 PB=p3,因为 PC = 2, BC= 1, PB= ,3所以 PB1 2+ BC2= PC2, 即卩 BC 丄 PB;因为/ ABC= 90；所以 BC 丄 AB,又 PBAAB= B,所以

12、BC 丄平面 PAB,又 BC?平面 PBC,所以平面 FAB 丄平面 PBC.(2)在平面 PAB 内，过点 P 作 PE 丄 AB,交 BA 的延长线于点 E,如图所示.1 1因为底面 ABCD 是直角梯形，所以四棱锥 P-ABCD 的体积为VP-ABCD= 3X?X(1+2)X1X2=丁.本例第问在求四棱锥 P-ABCD 的高时，充分利用了三种垂直关系的转化:12由(1)知 BC 丄平面 PAB, 因为 BC?平面 ABCD, 所以平面 PAB 丄平面 ABCD.又平面 PABA平面 ABCD = AB, PE 丄 AB,所以 PE 丄平面 ABCD,因为在 RtAPEA 中，PA= 1

13、,/ PAE= 60 ；所以 PE=2.13线践垂直:f旻面垂直打訂二面肯垂直性.更圭取.亶逶教师备选例题(2015 全国卷I)如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE 丄 平面 ABCD.B(1) 证明：平面 AEC 丄平面 BED;(2) 若/ ABC= 120 AE 丄 EC,三棱锥 E-ACD 的体积为 晋，求该三棱锥的侧面积.解(1)证明：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC 丄 BD.因为 BE 丄平面 ABCD，所以 AC 丄 BE.故 AC 丄平面 BED.又 AC?平面 AEC，所以平面 AEC 丄平面 BED.V3设 AB = x,在菱形 A

14、BCD 中，由/ABC= 120可得 AG = GC = x, GB因为 AE 丄 EC,所以在 RtAAEC 中，可得 EGx.由 BE 丄平面 ABCD，知 EBG 为直角三角形，可得 BE=三仝11V63V6由已知得，三棱锥 E-ACD 的体积VE-ACD= 3X2AC GD BE= x33，故 x从而可得 AE= EC= ED =，J6.14所以 EAC的面积为 3， EAD的面积与厶 ECD的面积均为， 5. 故三棱锥 E-ACD的侧面积为 3+ 2 5.15劇悅罰(2019 银川一模)如图，在三棱锥 V-ABC 中，平面 VAB 丄平面 ABC, VAB 为等边三角形，AC 丄 B

15、C,且 AC= BC= ,：2, O, M 分别为 AB, VA 的中 占八、(1) 求证：平面 MOC 丄平面 VAB;(2) 求三棱锥 B-VAC 的高.解(1)证明：AC= BC, O 为 AB 的中点，OC 丄 AB.平面 VAB 丄平面 ABC,平面 VABA平面 ABC = AB,OC?平面 ABC,二 OCX平面 VAB.vOC?平面 MOC,二平面 MOC 丄平面 VAB.(2)在等腰直角 ACB 中，AC= BC= 2, AB= 2, OC = 1,1等边 VAB 的面积为SAVAB= 2X23Xsin 60 =Q3,又vOC 丄平面 VAB,二 OCXOM , AMC 中，

16、AM = 1, AC= 2, MC = 2,3 SAMC= 1X1XSVAC= 2SMAC=16由三棱锥V-ABC 的体积与三棱锥 C-VAB 的体积相等,1即SAVACh =対VABOC,Ah=X L T21,17即三棱锥 B-VAC 的高为2T1.?!探索性问题中的平行与垂直关系置，再给出证明探索点存在问题，点多为中点或 n 等分点中的某一个，需根据相关的知识确定点的位置.降二汽 (2019 北京高考)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，RA 丄平面 ABCD, 底面 ABCD 为菱形，E 为 CD 的中点.(1)求证：BD 丄平面 PAC;(2) 若/ ABC = 60求证：平面 PAB

17、丄平面 PAE;(3) 棱 PB 上是否存在点 F，使得 CF /平面 PAE?说明理由.解(1)证明：因为 PA 丄平面 ABCD，所以 PA 丄 BD.因为底面 ABCD 为菱形，所以 BD 丄 AC.又 FAnAC = A，所以 BD 丄平面 PAC.考点平行与垂直的综合问题観辭处理空间中平行或垂直的探索性问题,般先根据条件猜测点的位18(2)证明：因为 PA 丄平面 ABCD, AE?平面 ABCD,所以 PA 丄 AE.因为底面 ABCD 为菱形，/ ABC= 60 且 E 为 CD 的中点，所以 AE 丄 CD ,所以 AB 丄 AE.又 ABnPA=A,所以 AE 丄平面 PAB.因为 AE?平面 PAE,所以平面 PAB 丄平面 PAE.棱 PB 上存在点 F,使得 CF/平面 FAE.取 F 为 PB 的中点，取 G 为 P