浙江省中考复习数学知识点汇总

1、知识点大全 21、（ 2010 黄冈）已知抛物线yax 2bxc( a0) 顶点为C（ 1， 1）且过原点O.过抛物线上一点P（x， y）向直线 y5M ，连 FM （如图） .作垂线，垂足为4（1）求字母a， b， c 的值；（2）在直线 x1 上有一点3F (1, ) ，求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标， 并4证明此时 PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（ 1， t），使 PM PN 恒成立，若存在请求出 t 值，若不存在请说明理由 .解：（ 1） a 1， b 2， c 0（ 2）过 P 作直线 x=1 的垂线，可求 P 的纵坐标为1

2、 ，横坐标为 113 .此时， MP 42MF PF 1，故 MPF 为正三角形 .（ 3）不存在 .因为当 t 5 ， x1 时， PM 与 PN 不可能相等，同理，当t 5， x 144时， PM 与 PN 不可能相等 . 22、（ 2010 济南）如图所示，抛物线yx22 x 3 与 x 轴交于 A、 B 两点，直线 BD的函数表达式为 y3x 3 3 ，抛物线的对称轴l 与直线 BD 交于点 C、与 x 轴交于点 E求 A、 B、C 三个点的坐标点 P 为线段 AB 上的一个动点（与点A、点 B 不重合），以点 A 为圆心、以 AP 为半径的圆弧与线段 AC 交于点 M，以点 B 为圆

3、心、以 BP 为半径的圆弧与线段 BC 交于点 N，分别连接 AN 、BM、 MN求证： AN=BM 在点 P 运动的过程中，四边y形 AMNB的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值 .DlCMNAOEPB知识点大全x22 x3 0 ，解：令 x解得：x11,x23 ， A(1， 0)， B(3， 0) yx22 x3 =(x1)24 ，抛物线的对称轴为直线x=1，将 x=1 代入 y3 x33 ，得 y=23 ， C（1， 23 ） .在 RtACE 中， tan CAE= CE3 ，AE CAE =60o，由抛物线的对称性可知 l 是线段 AB的垂直平分线，AC=BC ， AB

4、C 为等边三角形， AB = BC =AC = 4， ABC= ACB= 60o，又 AM=AP ，BN=BP ， BN = CM ， ABN BCM ， AN =BM .四边形AMNB 的面积有最小值设 AP=m ，四边形 AMNB 的面积为 S，由可知 AB= BC= 4， BN = CM=BP ， S ABC=3 ×42=4 3 ，4CM=BN= BP=4 m， CN=m ，过 M 作 MF BC,垂足为 F，则 MF =MC?sin60o=3(4m) ，2S CMN = 1 CN MF = 1 m ? 3 (4m) =3 m23m ，2224S=SABC SCMN= 43 （

5、323m ）4m=323m=2 时， S 取得最小值 33 .(m2) 34 23、（ 2010 济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4 ， 1）的抛物线交y 轴于A 点，交 x 轴于 B ， C 两点（点 B 在点 C 的左侧） .已知 A 点坐标为（0，3）.（ 1）求此抛物线的解析式；（ 2）过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点 C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与 C 有怎样的位置关系，并给出证明；知识点大全（ 3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ， C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC 的面积最大？并求出此时P

6、点的坐标和PAC 的最大面积.yADO BCx（1）解：设抛物线为 y a( x4) 21 .抛物线经过点A（0，3）， 3a(04) 21. a1.4抛物线为 y1 (x 4) 211 x22x3 .44(2) 答： l 与 C 相交 .证明：当 1 ( x4) 210 时， x12 ， x26 .4 B 为（ 2， 0）， C 为（ 6，0）. AB322213 .设 C 与 BD 相切于点 E ，连接 CE ，则BEC 90AOB .ABD90 ，CBE90ABO .又BAO90ABO ，BAOCBE .AOB BEC .CE BC.CE 6 2.CE82 .OBAB21313抛物线的对

7、称轴l 为 x4， C 点到 l 的距离为 2.抛物线的对称轴l 与C相交.(3) 解：如图，过点 P 作平行于 y 轴的直线交 AC 于点 Q .可求出 AC 的解析式为 y1 x3 .设 P 点的坐标为（ m ， 1 m221 m 3 ）.2m3），则 Q 点的坐标为（ m ，42 PQ1 m 3 (1 m22m 3)1 m23 m .2442SPACS PAQS PCQ1(1m23m)63(m 3)227,24244知识点大全当 m3 时，PAC 的面积最大为27 .43此时， P 点的坐标为（ 3，） .4 24、（ 2010 晋江）已知：如图，把矩形 OCBA 放置于直角坐标系中，O

8、C 3，BC2 ，取 AB 的中点 M ，连结 MC ，把MBC 沿 x 轴的负方向平移OC 的长度后得到DAO .(1) 试直接写出点 D 的坐标；(2)已知点 B与点 D 在经过原点的抛物线上，点P 在第一象限内的该抛物线上移动，过点 P作PQx 轴于点 Q ，连结 OP .y若以 O 、 P 、 Q 为顶点的三角形与DAO 相似，试求出点 P 的坐标；AM试问在抛物线的对称轴上是否存在一B点T，使得 TOTB 的值最大 .OCx解： (1) 依题意得： D3,2 ；2(2) OC 3， BC 2，yB3,2 .PDAMB抛物线经过原点，设抛物线的解析式为 yax 2bx a0OEC Qx

9、又抛物线经过点B3,2与点TD3 , 22知识点大全9a3b2,a4,4 x22 x .点 P 在抛物线9 a3 b解得：9 抛物线的解析式为y2b293423上，设点 Px, 4 x 22 x .93DAO ，则 PQQO ，4 x 2 2 xx ，解得： x1511)若PQO 930 (舍去 )或 x2，DAAO32162点 P51 , 153.1664OQPQx4 x22 x92)若OQP 93，解得： x10 (舍去 )或 x2DAO ，则，322，DAAO2点 P9 , 6.2存在点 T ，使得 TOTB 的值最大 .抛物线 y4 x 22 x 的对称轴为直线x3，设抛物线与x 轴的

10、另一个交点为E ，则点934E 3,0.，点 O 、点 E 关于直线 x3对称， TOTE ，要使得 TO TB 的值最大，24即是使得 TETB 的值最大，根据三角形两边之差小于第三边可知，当T 、 E 、 B 三点在同一直线上时，TETB 的值最大 .设过B、E两点的直线解析式为ykxb k0 ，A3kb2,k4 3,b0解得：3kb22DBMC直线 BE 的解析式为y4 x 2 .3PEHQ知识点大全当 x3431.时， y3244存在一点 T 3 ,1使得 TOTB 最大.4 25、（ 2010 ）如图，在等边ABC 中，线段 AM 为 BC 边上的中线 . 动点 D 在直线 AM上时

11、，以 CD 为一边且在CD 的下方作等边CDE ，连结 BE .(1)填空：ACB_ 度；(2)当点 D 在线段 AM 上 (点 D 不运动到点 A )时，试求出AD 的值；BE(3)若 AB8 ，以点 C 为圆心，以5为半径作 C 与直线 BE 相交于点 P 、 Q 两点，在点 D 运动的过程中 (点 D 与点A 重合除外 )，试求 PQ 的长 .AAADCBMBCBC E备用图 (1)备用图 (2)解： (1)60；(2) ABC 与 DEC 都是等边三角形 ACBC，CDCE，ACBACDDCBDCBBCEDCE60ACDBCE ，ACD BCESAS ADBE ，AD1.BE(3)当点

12、D在 线 段AM上（不与点A重合）时，由(2)可知ACDBCE， 则CBECAD30，作CHBE 于点H，则PQ2HQ，连结CQ ，则CQ5 .知识点大全在 Rt CBH 中，CBH 30， BCAB8，则 CHBC sin 30 814 .2在 Rt CHQ 中，由勾股定理得： HQCQ 2CH 252423，则 PQ2HQ 6当点 D 在线段 AM 的延长线上时，ABC 与ADEC 都是等边三角形 AC BC，CDCE ，ACBDCE60ACBDCBDCBDCEACDBCEACD BCESASCBECAD30 ，同理可得： PQ6 .当点 D 在线段 MA 的延长线上时，ABC 与DEC

13、都是等边三角形AC BC，CDCE ，ACBDCE60ACDACEBCEACE60ACDBCEBMCPDADQEACD BCE SASCBECAD ， CAM30CBECAD150 ， CBQ30 .EBMCP同理可得：PQ6 ，综上， PQ 的长是 6.Q 26、（ 2010 莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax 2bxc 交 x 轴于A( 2,0), B(6,0) 两点，交y 轴于点 C (0,2 3) .（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线y2x 交于点 D，作 D 与 x 轴相切， D 交 y 轴于点 E、F 两点，求劣弧EF 的长；（3）P 为此抛物线

14、在第二象限图像上的一点，PG 垂直于 x 轴，垂足为点G，试确定 P 点的位置，使得 PGA 的面积被直线AC 分为 12 两部分 .yEDCFOABx（第 26 题图）知识点大全解：（ 1）抛物线yax 2bxc 经过点 A(2,0) ， B(6,0) ， C (0，2 3) a34a2bc60 36a6bc0 ， 解得 b43 .c2 33c2 3抛物线的解析式为： y3 x 243x 2 3 .63（2）易知抛物线的对称轴是x 4. 把 x=4 代入 y=2x 得 y=8，点 D 的坐标为（ 4,8） D 与 x 轴相切， D 的半径为 8连结 DE、 DF ，作 DM y 轴，垂足为点

15、M在 Rt MFD 中， FD =8， MD =4 cos MDF = 1 2 MDF =60 °， EDF =120°劣弧 EF 的长为： 1208161803（3）设直线 AC 的解析式为y=kx+b.直线 AC 经过点 A(2,0), C(0,23).2kb0k3. 直线 AC 的解析式为： y3x2 3 .，解得b23b23设点 P(m,3 m24 3m23)( m0) ，PG 交直线 AC 于 N，63则点 N 坐标为 (m,3m 23). S PNA :S GNAPN :GN .y若 PN GN=1 2，则 PG GN=3 2， PG= 3GN.E2P3m243

16、m32 3）.即32 3 = （ 3m62NMD解得： m1= 3， m2=2（舍去） .3 m2 4 3m 2 3 = 15 3 .C当 m= 3 时，F632GOABx知识点大全此时点 P 的坐标为 (3,153) .2若 PN GN=21，则 PGGN=3 1， PG=3GN.即3 m243m 2 3 =（33m2 3）.63解得： m112 ， m22 （舍去） . 当 m112 时，3 m24 3m 23=42 3 .63此时点 P 的坐标为 (12,42 3) .综上所述，当点P 坐标为 ( 3,153)或 ( 12,42 3) 时，2PGA 的面积被直线 AC 分成 1 2 两部

17、分 27、（ 2010 丽水）小刚上午7： 30 从家里出发步行上学，途经少年宫时走了1200 步，用时 10 分钟，到达学校的时间是7： 55为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上 ，按上学的步行速度，走完100 米用了 150 步(1) 小刚上学步行的平均速度是多少米 /分？小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米？(2) 下午 4： 00，小刚从学校出发，以 45 米 /分的速度行走，按上学时的原路回家，在未到少年宫 300 米处与同伴玩了半小时后，赶紧以s(米 )110 米 /分的速度回家，中途没有再停留问：A 小刚到家的时间是下午几时？BC 小刚回家过程中，

18、离家的路程s(米 )与时间 t( 分)之间的函数关系如图，请写出点B 的坐标，并求出线段CD 所在直线的函数解析式O(第 27 题)D t(分)解： (1) 小刚每 分钟走 1200÷10=120( 步 )，每步走 100÷150=2(米 )，3所以小刚上学的步行速度是120×2 =80( 米 /分 )3小刚家和少年宫之间的路程是80×10=80 0(米 )少年宫和学校之间的路程是80×( 25- 10)=1200( 米 )(2) 120030080030060 (分钟 )，4530110所以小刚到家的时间是下午5： 00 小刚从学校出发，以4

19、5米 /分的速度行走到离少年宫300 米处时实际走了 900米，用时 90020 分，此时小刚离家1 100 米，所以点 B 的坐标是（ 20， 1100）45线段 CD 表示小刚与同伴玩了30 分钟后， 回家的这个时间段中离家的路程s(米 )与行走时间 t(分 )之间的函数关系，由路程与时间的关系得 s1100 110(t 50) ，即线段 CD 所在直线的函数解析式是 s6 600 110t 2分(线段 CD 所在直线的函数解析式也可以通过下面的方法求得：知识点大全点 C 的坐标是（ 50， 1100 ），点 D 的坐标是（ 60，0）设线段 CD 所在直线的函数解析式是sktb ，将点

20、C， D 的坐标代入，得50 kb1100,k110,60kb0.解得6 600.b所以线段 CD 所在直线的函数解析式是s110t 6 600 ) 28、（ 2010 丽水） ABC 中， A= B=30°， AB= 2 3 把 ABC 放在平面直角坐标系中，使 AB 的中点位于坐标原点 O(如图 )， ABC 可以绕点 O 作任意角度的旋转(1)当点 B 在第一象限，纵坐标是6 时，求点 B 的横坐标；2(2)如果抛物线 yax2bx c (a0)的对称轴经过点C，请你探究：y5135B当 a， b时， A， B 两点是否都C14， c52在这条抛物线上？并说明理由；- 1O 1

21、设 b=- 2am，是否存在这样的m 的值， 使 A， B 两点不- 1可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m 的值；A若不存在，请说明理由(第 28 题)解： (1)点O是AB的中点，OB1 AB3 2设点 B 的横坐标是 x(x>0)，则 x2(6)2( 3)2，2解得x16 ， x26(舍去 ) 点 B 的横坐标是6 222(2)当 a5， b1 ， c35 时，得y5x21x35 ()425425y5( x5)213 54520以下分两种情况讨论情况 1：设点 C 在第一象限 (如图甲 )，则点 C 的横坐标为5 ，5yOCOBtan303313A1C由此，可求得点C 的坐标

22、为 (5 ， 25)，- 155O1x点 A的坐标为 (215 ，15y)，- 1B551 A，B 两点关于原点对称，(甲 )15 ，15 )O 点B的坐标为(2- 1155B- 115 ，即等于点 A 的纵C将点 A 的横坐标代入 ( )式右边，计算得(乙 )5xAx知识点大全坐标；将点 B 的横坐标代入 ( )式右边，计算得15，即等于点 B 的纵坐标5 在这种情况下， A，B 两点都在抛物线上情况 2：设点 C 在第四象限 (如图乙 )，则点 C 的坐标为 ( 5， - 25 )，55点 A的坐标为 (2 15，15)，点 B 的坐标为 (2 15，15)5555经计算， A，B 两点都

23、不在这条抛物线上(情况 2 另解：经判断，如果A， B 两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上所以A， B 两点不可能都在这条抛物线上)存在 m 的值是 1 或 - 1( ya( xm) 2am2c ，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以 - 1 m 1当 m=±1时，点 C 在 x 轴上，此时 A， B 两点都在 y 轴上因此当 m=±1 时， A， B 两点不可能同时在这条抛物线上 ) 29、（ 2010 龙岩）如图，抛物线交 x 轴于点 A（ 2，0），点 B（ 4， 0），交 y 轴于点 C（ 0， 4）（ 1）求抛物线的解析式， 并写出

24、顶点 D 的坐标；（ 2）若直线 y x 交抛物线于 M，N 两点，交抛物线的对称轴于点 E，连接 BC，EB，EC试判断 EBC 的形状，并加以证明；（3）设 P 为直线 MN 上的动点，过P 作 PF ED 交直线 MN 下方的抛物线于点 F问：在直线 MN 上是否存在点P，使得以 P、E、D、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P 及相应的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由（1）解：（法一） 设所求的抛物线解析式yax2bx c (a 0) 点 A、 B、 C 均在此抛物线上4a2bc0a12 16a4bc0 b1c4c4 所求的抛物线解析式为124yxx2顶点 D 的坐

25、标为（ 1，9 ）2（法二）设所求的抛物线解析式 ya( x2)( x4) 点 C 在此抛物线上，a(02)(014)4 ， a2知识点大全 所求的抛物线解析式为 y1 ( x 2)( x 4)2即 y1x2x 4， 顶点 D 的坐标为（ 1，9 ）22（ 2） EBC 的形状为等腰三角形证明：（法一） 直线 MN 的函数解析式为y x ON 是 BOC 的平分线 B、 C 两点的坐标分别为（ 4， 0），（ 0， 4） CO=BO=4， MN 是 BC 的垂直平分线 CE=BE， 即 ECB 是等腰三角形。（法二） 直线 MN 的函数解析式为 yx ON 是 BOC 的平分线， COE =

26、BOE B、 C 两点的坐标分别为（4， 0）、（ 0， 4） CO=BO=4，又 CE=BE ， COE BOE CE=BE即 ECB 是等腰三角形（法三） 点 E 是抛物线的对称轴x1和直线 yx 的交点 E 点的坐标为（ 1，1） 利用勾股定理可求得CE=3212= 10BE=3212= 10 CE=BE ，即 ECB 是等腰三角形（ 3）解：存在 PF ED 要使以 P、 E、 D、 F 为顶点的四边形是平行四边形，只要使PF=ED 点 E 是抛物线的对称轴 x1 和直线 yx 的交点 E 点的坐标为（1， 1） ED1(97， 点 P 是直线 yx 上的动点)22 设 P 点的坐标为

27、（ k,k）则直线 PF 的函数解析式为 x=k 点 F 是抛物线和直线PF 的交点2k 4) F 的坐标为 (k , 1 k121 PF=k(k 2k4)k 241 k2272422 k1当 k1时，点 P 的坐标为（ 1，1）， F 的坐标为（ 1，9）2此时 PF 与 ED 重合，不存在以P、 F 、D 、E 为顶点的平行四边形当 k1时，点 P 的坐标为（1， 1）， F 的坐标为（1，5 ）2此时，四边形PFDE 是平行四边形 30、（ 2010 龙岩）如图，将直角边长为2 的等腰直角三角形ABC 绕其直角顶点 C知识点大全顺时针旋转 角（ 0° 90°），得 A

28、1B1C， A1C 交 AB 于点 D ，A1B1 分别交于 BC、 AB 于点 E、 F，连接 AB1（ 1）求证： ADC A1DF ；（ 2）若 =30°，求 AB1A1 的度数；（ 3）如图，当 =45°时，将 A1B1C 沿 CA 方向平移得 A2B2C2，A2C2 交 AB 于点 G，22交 BC 于点 H，设 CC222 2 2 的重叠部分面积为S，B C=x（ 0 x），ABC与 A B C试求 S 与 x 的函数关系式图图备用图（第 30 题图）解：（ 1）证明：如图，根据旋转变换的性质易知CAD = FA1D ， 1= 2， ADC A1DF（ 2）解：（法一） CA=CA 112=C