第十二章无穷级数PPT课件

1、一、一、 麦克劳林麦克劳林 ( (Maclaurin) ) 公式公式二、二、 直接展开法直接展开法三、三、 间接展开法间接展开法第五节第五节 函数的幂级数展开函数的幂级数展开第十二章第十二章 无穷级数无穷级数泰勒泰勒 ( (Taylor) ) 公式公式 如果函数如果函数 f(x) 在在 x = x0,的的某某一一领领域域内内有直到有直到 (n + 1) 阶的导数阶的导数， 则在这则在这个领域内有如下公式个领域内有如下公式 :一、一、 麦克劳林麦克劳林( (Maclaurin) )公式公式 .xrxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn)()(!)( )(2!)()()()(00)(200000

2、 .10101)( )()!()()()(之间之间与与在在xxxxnfxrnnn 其中其中称为拉格朗日型余项称为拉格朗日型余项 . 式式称为称为泰勒公式泰勒公式 .,00 x如果令如果令就得到就得到 xrxnfxfxffxfnnn . )( !)0(! 2)0()0()0()()(2 . )( )!)()()(10111xnfxrnnn(x 式称为式称为麦克劳林公式麦克劳林公式 . .幂级数幂级数我们称之为我们称之为麦克劳林级数麦克劳林级数 . 那么它是否以函数那么它是否以函数 f(x) 为和函数呢为和函数呢 ? ,!)0(! 2)0()0()(0)(2 nnxnfxfxff.!)0(! 2)

3、0()0()0()()(21nnnxnfxfxffxS 即即那么，那么， 级数级数 收敛于函数收敛于函数 f(x) 的条件为的条件为. )()(lim1xfxSnn ,1)(xSn若令麦克劳林级数若令麦克劳林级数 的前的前n + 1 项和为项和为 注意到麦克劳林公式注意到麦克劳林公式 与麦克劳林级数与麦克劳林级数 的关系，的关系， 可知可知 . )()()(xrxSxfnn1于是，当于是，当0)(lim xrnn时，有时，有,lim1)()(xfxSnn 反之，若反之，若.0)(lim xrnn. )()(lim1xfxSnn 必有必有这表明，麦克劳林级数这表明，麦克劳林级数 以以 f(x)

4、为和函数的为和函数的充要条件，充要条件，.0时时当当 nxrn()(这样，我们就得到了函数这样，我们就得到了函数 f(x) 的幂级数展开式的幂级数展开式 ：中的余项中的余项是麦克劳林公式是麦克劳林公式 !)0(! 2)0()0()0()()(2 nnxnfxfxffxf 也表示了函数的也表示了函数的幂级数展开式是唯一的幂级数展开式是唯一的 .它就是函数它就是函数 f(x) 的幂级数表达式的幂级数表达式 .幂级数幂级数 :,)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 nnxxnxfxxxfxxxfxfxf称为称为泰勒级数泰勒级数 . 利用麦克劳林公式将函数利用麦克劳林公式将函数 f

5、( (x 展开成幂级数展开成幂级数的方法，称为直接展开法的方法，称为直接展开法 .解解, ),3,2,1(e)()( nxfxn由由例例 1试将函数试将函数 f(x) = ex 展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.可以可以得到得到. 1)0()0()0()0()( nffff二、二、 直接展开法直接展开法因此我们可以得到幂级因此我们可以得到幂级数数显然，这个幂级数的收敛区间为显然，这个幂级数的收敛区间为 (,+ ) .,e)(xxf 收敛于收敛于,e)(项项的麦克劳林公式中的余的麦克劳林公式中的余还要考察函数还要考察函数xxf 因为因为, )10( )!1(e)(1)( xnxrnxn.!1!

6、 2112 nxnxx,e)( 为和函数为和函数是否以是否以数数至于级至于级xxf 因而有因而有所以所以 ,eexx .)!1(e)!1(e)(11 nxnxnxnxnxr 注意到，对任一确定的注意到，对任一确定的 x 值，值，而级数而级数 是绝对收敛的，是绝对收敛的， 因此其一因此其一般项当般项当 n 时，时，,0)!1(1 nxnx 且且,xx 是是一一个个确确定定xe.的常数的常数所以，当所以，当n 时时, ,0)!1(e 1 nxnx由此可知由此可知.0)(lim xrnn因此有因此有. )(!1! 211e2 xxnxxnx,e)( xxf 确实收敛于确实收敛于这表明级数这表明级数解

7、解)2sin()()( nxxfn由由,0)0( f,1)0( f,0)0( f,1)0( f,0)0()2( nf.)1()0()12(nnf 于是可以得到幂级数于是可以得到幂级数例例 2 试将试将的的幂幂级级展展开开成成函函数数 sin)(x xxf .数数, ), 3,2,1( n可可知知,)!12()1(! 51! 311253 nxxxxnn且它的收敛区间为且它的收敛区间为 . ),(因为所给函数的麦克劳林公式的余项为因为所给函数的麦克劳林公式的余项为.)!1(2)1(sin)(1 nnxnnxxr 所以可以推知所以可以推知1)!1(2)1(sin)( nnxnnxxr 因此得到因此

8、得到的的幂幂级级数数展展开开式式为为 sin)(xxf . )()!12()1(! 51! 31sin1253 xnxxxxxnn. ) (0)!1(1时时当当 nnxn, cos)(sinxx 因因为为解解而而 . )()!12()1(! 51! 31sin1253 xnxxxxxnn所以根据幂级数可逐项求导的法则，所以根据幂级数可逐项求导的法则， 可得可得. )()!2()1(! 41! 211cos242 xnxxxxnn例例 3 试求函数试求函数. cos)(的的幂幂级级数数展展开开式式xxf 三、三、 间接展开法间接展开法解解 注意到注意到 .d11)1ln(0 xxxx而函数而函数

9、x 11的展开式由本章第四节例的展开式由本章第四节例 1 可知可知 例例 4 将函数将函数)1ln()(xxf 展开成展开成 x的幂级数的幂级数 . )11( )1(1112 xxxxxnn将上式两边同时积分将上式两边同时积分 所以，上式所以，上式右端级数的收敛半径仍为右端级数的收敛半径仍为 R = 1;.1)1(3121)1ln(132 nxxxxxnn因为幂级数逐项积分后收敛半径不变，因为幂级数逐项积分后收敛半径不变， 故收敛域为故收敛域为 1 x 1 . 当当 x = 1 时，该级数收敛时，该级数收敛 . 而当而当 x = 1 时该级时该级数发散，数发散，解解 因为因为 ,d11arct

10、an02 xxxx而函数而函数211x 的展开式由本章第四节例的展开式由本章第四节例 1 可知可知 例例 5 试求函数试求函数xxfarctan)( 展开成展开成 x的幂级数的幂级数 . )11( )1(1112422 xxxxxnn将上式两边同时积分将上式两边同时积分 12)1(5131arctan1253nxxxxxnn 可以证明所得级数在区间端点收敛且收敛于可以证明所得级数在区间端点收敛且收敛于arctanx 在端点处的值在端点处的值. )11( x解解 因为因为231)(2 xxxf)2)(1(1xx .2111xx 例例 6 试将函数试将函数 x 的幂级数的幂级数 .231)(2 xxxf展开成展开成且且2112121xx 2)2(21 21xx. 2)2( )2( xxn).11(1112 xxxxxn)1(2 nxxx)2()2(21 21