第八节正方形的性质

1、正方形正方形菱形菱形正方形正方形正方形是特殊的菱形正方形是特殊的菱形 正方形是特殊的矩形正方形是特殊的矩形 有有一组邻边相等一组邻边相等且且有一个角是直角有一个角是直角的的平平行四边形行四边形叫做正方形。叫做正方形。 一、正方形的定义：一、正方形的定义：_的菱形是正方形的菱形是正方形 _的矩形是正方形的矩形是正方形由正方形的定义可知：由正方形的定义可知：有一个角是直角有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等四边形四边形平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形正方形正方形完成下图：完成下图：特殊的平行四边形特殊的平行四边形特殊的矩形特殊的矩形特殊的菱形特殊的菱形二、正方形的性质二、正方形的性质:

2、四条边都相等四条边都相等且对且对边平行边平行;两条对角线互相垂直平分两条对角线互相垂直平分且相等且相等,并且每一条对角线并且每一条对角线平分一组对角平分一组对角.四个角都是直角四个角都是直角; 1、边：、边：2. 2. 角角: :3.对角线对角线:OABCD(A)(B)(C)(D)4、是是轴对称图形轴对称图形有四条对称轴有四条对称轴OABCD(A)(B)(C)(D) 求证求证: : 正方形的两条对角线把这个正方形正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形分成四个全等的等腰直角三角形. .第一步第一步: :根据题意画出图形根据题意画出图形第二步第二步: :写出已知写出已知第三步：

3、写出求证第三步：写出求证第四步第四步: :进行证明进行证明这是一道文字证明题这是一道文字证明题,该怎么做该怎么做?你会做吗你会做吗?ADCBO已知已知: :如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形, ,对角线对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O.O. 求证求证: :ABOABO、 BCOBCO、 CDOCDO、 DAODAO是全等的等腰直角三角形是全等的等腰直角三角形. .证明证明: 四边形四边形ABCD是正方形是正方形, AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO. ABO、 BCO、 CDO、 DAO都都是等腰直角三角形是等腰直角三角形,并且并且 ABO BCO

4、CDO DAO分析分析:利用正方形的性质利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相对角线互相垂直平分且相等等,每条对角线平分一组对角每条对角线平分一组对角.平分平分可以产生可以产生线段等量线段等量关系关系,垂直垂直可以产生可以产生直角直角,于是可以得到四个全等的等于是可以得到四个全等的等腰直角三角形腰直角三角形.1 1、正方形具有而矩形不一定具有的性质是、正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )( ) A A、四个角相等、四个角相等. . B B、对角线互相垂直平分、对角线互相垂直平分 C C、对角互补、对角互补. . D D、对角线相等、对角线相等. .2 2、正方形具有而菱形不一定具有的性质

5、（、正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A A、四条边相等、四条边相等. . B B、对角线互相垂直平分、对角线互相垂直平分. . C C、对角线平分一组对角、对角线平分一组对角. . D D、对角线相等、对角线相等. .BD尝试练习：尝试练习：3.3.一个正方形的面积等于一个正方形的面积等于8 8，则其对角，则其对角线的长为线的长为 425 5、正方形、正方形ABCDABCD的边长为的边长为2 2，对角线，对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O，AEAE平分平分BACBAC交交BDBD于于E E，则，则DEDE的的长为长为2A AB BC CD DO OE EEBCDA6.6.如

6、图，已知正方形如图，已知正方形ABCDABCD，以，以ABAB为边向正为边向正方形外作等边三角形方形外作等边三角形ABEABE，连结，连结DEDE，CECE，则则DEC=DEC= 度度。7.7.如图，已知正方形如图，已知正方形ABCDABCD内有一个内有一个BEFBEF，AB=6AB=6，AFAFFD=1FD=12 2，E E为为DCDC的中点，则的中点，则BEFBEF的面积的面积= = 。ABCDFE（7)7)8.8.如图，正方形如图，正方形ABCDABCD的对角线的长为的对角线的长为1010，M M是是ABAB边上的一点，且边上的一点，且MEMEACAC于于E E，MFMFBDBD于于F

7、F，则，则ME+MF= .ME+MF= .9 9、正方形、正方形ABCDABCD中，中，M M为为ADAD中点，中点，MEBDMEBD于于E E，MFACMFAC于于F,F,若若ME+MF =8cmME+MF =8cm，则，则AC=AC=_. .16cm5MABCDEFOFEMCBADOE EF F证证D0ED0EC0F(ASA)C0F(ASA)111.11.已知：如图，正方形已知：如图，正方形ABCDABCD的对角线相交的对角线相交于点于点O O，M M、N N在在OBOB和和OCOC上，且上，且MNBCMNBC，连结，连结DNDN、MCMC，试猜想，试猜想DNDN与与MCMC有什么关系？并

8、证明有什么关系？并证明你的猜想。你的猜想。NMODCBA又又MNABMNABOMNOMN1 1BCOBCOONMONM4545 OMOMONON12证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形OCOCOD , OD , COD=COD=COB=90COB=90 11BCOBCO4545COMCOMDON(SAS)DON(SAS)DNDNMCMCH3答：答：DNDNMC DNMC DNMCMC（2 2）由）由COMCOMDONDON得得2=32=3又又3+CMO=903+CMO=902+CMO=902+CMO=90DHM=90DHM=90DNDNMCMC(1)(1)证证ADEADEC

9、DG(SAS)CDG(SAS)13.13.在正方形在正方形ABCDABCD中，点中，点P P是对角线是对角线ACAC上一点，上一点，PEABPEAB，PFBCPFBC，垂足分别，垂足分别是点是点E E、F.F.求证：求证：DP=EFDP=EFFEPDCBA证明：证明：连接连接PB又又PEPEAB ， PFBC四边形四边形ABCD是正方形是正方形ABC=90ABC=90,AD=AB, DAP=BAP=45PEB=PFB=90PEB=PFB=90四边形四边形PECF是矩形是矩形PB=EF又又AP=APADEADECDG(SAS)CDG(SAS)PD=PBPD=EF14.14.在正方形在正方形ABC

10、DABCD中，中，P P为为BCBC边上一点，边上一点，Q Q为为CDCD边上一点，如果边上一点，如果PQ=BP+DQPQ=BP+DQ，求，求PAQPAQ的度数的度数. .QPDCBA15.15.如图，四边形如图，四边形ABCDABCD为正方形为正方形,EBAC,EBAC，EC=ACEC=AC，E E在在FBFB上，求上，求ECBECB的度数。的度数。BCDEAO数一数图中正方形的个数，你发现了什么数一数图中正方形的个数，你发现了什么？多多多多多多 （）个（）个（）个 （）个第第n个图中正方形有个图中正方形有 个个3n-1长见识长见识第十九章第十九章 四边形四边形【例例1 1】已知：如图1，正

11、方形ABCD中，对角线的交点为O.（1）E是AC上的一点，过点A作AGBE于G，AG、BD交于点F.求证：OE=OF.（2）若点E在AC上的延长线上（如图2），过点A做AGBE交EB的延长线于G，AG的延长线交BD于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.图1ABCD图19-106OFGBDACE图219.2.3正方形【解析】（1）要证明OE=OF，只需证明BOEAOF，要证BOEAOF，利用正方形性质即可；第（2）问和第（1）问图形虽然有所变化，但实质一样，也可通过证BOEAOF，从而得到OE=OF.【例2】已知：如图3，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点l1l2，作BMl1于M，DNl1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点求证：四边形PQMN是正方形. 图319.2.3正方形【答案答案】证明：P