广东省14市2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：立体几何

1、 广东省14市2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编立体几何一、选择题1、（潮州市2016届高三上期末）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A、B、C、D、2、（东莞市2016届高三上期末）已知一个几何体的三视图如图所示，图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（A）（B）4（C）6（D）103、（佛山市2016届高三教学质量检测（一）某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A B C D4、（广州市2016届高三1月模拟考试）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几

2、何体的体积为（A） （B） （C） （D）正视图侧视图俯视图5、（惠州市2016届高三第三次调研考试）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中最大面积是（ ）A B4 C D6、（揭阳市2016届高三上期末）如图2，网格纸上小正方形是边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）54 （B）162 （C） （D）7、（茂名市2016届高三第一次高考模拟考试）若某几何体的三视图(单位：)如图所示，则该几何体的体积（ ）A. B. C. D. 8、（清远市2016届高三上期末）一

3、个几何体的三视图如图所示，正视图为直角三角形、侧视图为等边三角形，俯视图为直角三角形，则该几何体的体积为A、B、2C、3D、49、（汕头市2016届高三上期末）已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，给出下列命题：若，则； 若，则； 若，则； 若，且，则，其中真命题的个数是 （ ） A0B1C2D310、（汕尾市2016届高三上期末）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为 ( )11、（韶关市2016届高三1月调研）如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形.如果三棱柱的体积为，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为（ ） A B C D12、（湛江市2

4、016年普通高考测试（一）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A、648B、6412C、488D、481213、（肇庆市2016届高三第二次统测（期末）若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和俯视图如图2所示，则此几何体的表面积是（A） （B） （C） （D）（第11题图）14、（珠海市2016届高三上期末）如图，是圆锥一部分和四分之一球组成的组合体的三视图，则此几何体的体积为( )A B C D选择题答案：1、A2、C3、C4、A5、C6、D7、B8、A9、C10、A11、C12、D13、C14、C二、填空题1、（潮州市2016届高三上期末

5、）已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC，SAAB1，BC，则球O的表面积等于2、（揭阳市2016届高三上期末）已知正方形的一个面在半径为的半球底面上，A、B、C、D四个顶点都在此半球面上，则正方体的体积为 3、（汕头市2016届高三上期末）如图，已知点A、B、C、D是球的球面上四点，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球的体积等于_.填空题答案1、2、3、三、解答题1、（潮州市2016届高三上期末）如图，在四棱锥BACDE中，AE平面ABC，CDAE，ABC3BAC90°，BFAC于F，AC4CD4，AE3。（I）求证：BEDF；（II）求二面角B

6、DEF的平面角的余弦值。2、（东莞市2016届高三上期末）已知多面体ABCA1B1C1中，底面ABC为等边三角形，边长为2，AA1平面ABC，四边形A1ACC1为直角梯形，CC1与平面ABC所成的角为，AA11。（I）若P为AB的中点，求证：A1P平面BC1C；（II）求二面角A1BC1C的余弦值。3、（佛山市2016届高三教学质量检测（一）如图，三棱柱中，侧面侧面，为棱的中点，在棱上，面（1）求证：为的中点；（2）求二面角的余弦值4、（广州市2016届高三1月模拟考试）ABCDPMNA1B1C1D1如图，在三棱柱中，侧棱底面， 分别是线段的中点，过线段的中点作的平行线，分别交，于点，（）证明

7、：平面；（）求二面角的余弦值5、（惠州市2016届高三第三次调研考试）如图，已知四棱锥中，底面为菱形，平面，分别是的中点。（）证明：平面；（）取，若为上的动点，与面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值。6、（揭阳市2016届高三上期末）如图3，在三棱柱中，底面ABC是边长为2的等边三角形，D为AB的中点。（）求证：/平面（）若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值。7、（茂名市2016届高三上期末）如图，是平行四边形，平面，, ，. ，分别为，的中点（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值。8、（清远市2016届高三上期末）已知: 如图，等腰直角三角形的直角边AC=BC=

8、2，沿其中位线将平面折起，使平面平面，得到四棱锥，设、的中点分别为、.（1）求证：、四点共面；（2）求证：平面平面； （3）求异面直线BE与MQ所成的角.ADEECBQADECBMNPADECB9、（汕头市2016届高三上期末）如图，在RtACD中,CD=4，AD=，以CD为轴，将ACD按逆时针方向旋转90°到BCD位置，E为AD的中点：（）证明：ABCD（）求二面角B-CE-D的平面角的余弦值。 10、（汕尾市2016届高三上期末）如图，在四棱锥PABCD 中，侧面PAB 为正三角形，侧面PAB底面ABCD，E 为PD 的中点，ABAD， BCAD，且AB=BC=AD=2.(1)求

9、证CEPA;(2)求二面角PCDA 的余弦值。11、（韶关市2016届高三1月调研）如图，四边形是矩形，,是的中点，与交于点, 平面.（）求证：面；()若, 求直线与平面所成角的正弦值. 12、（肇庆市2016届高三第二次统测（期末）如图3，在多面体中，是菱形ABCD的对角线与的交点，四边形都是矩形.（）证明：平面ACF平面BDEG；（）若，求直线与所成角的余弦值.13、（珠海市2016届高三上期末）如图，菱形中，边长，平面，分别是边中点，与交于,，（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.解答题参考答案1、方法一：（）证明：AE平面ABC，平面ABCAEBF，BFAC，BF平面AEC，平面AEC

10、，BFDF，.2分，又，又BFAC，又CDAE，AE平面ABC，CD平面ABC又平面ABCCDAC，又，即DFEF.4分又，BF、平面BEFDF平面BEF，平面BEFDFBE；6分（）如图，过点作于点，连接由（）知BF平面AEC，又平面AEC，(所以又，、平面，所以平面又平面，)所以(三垂线定理)故二面角的平面角8分在中，在中，.9分在中，由得10分在中，在中，11分所以二面角的平面角的余弦值为. .12分方法二：过F作，由AE平面ABC可知Fz平面ABC，又、平面ABC，于是，又BFAC，BF、AC、Fz两两垂直以F为原点，FA、FB、Fz依次为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图）7分由(

11、)可得于是，由()知是平面的一个法向量设是平面BDE的一个法向量，则 取，得到10分，11分又二面角是锐二面角二面角的平面角的余弦值为. .12分方法二：()证明：过F作，由AE平面ABC可知Fz平面ABC，又、平面ABC，于是，又BFAC，BF、AC、Fz两两垂直 以F为原点，FA、FB、Fz依次为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图）1分， 3分于是， 故 所以DFBE.6分；()由()知，于是，所以，又FBAC 所以是平面的一个法向量.8分设是平面BDE的一个法向量，则 取，得到.10分 又二面角是锐二面角 二面角的平面角的余弦值为. 12分2、3、【解析】向量法()连结,因为为正三角形

12、,为棱的中点, 所以,从而,又面面,面面,面,所以面.1分以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,2分不妨设,则,设,则,3分因为平面,平面,所以,所以,解得,即,所以为的中点.5分 (), 设平面的法向量为,则,即,解得, 令,得,9分 显然平面的一个法向量为,10分 所以,所以二面角的余弦值为.12分传统法()设,由,所以,因为平面,平面,所以,从而,所以,所以,故,所以为的中点.5分()连结,由可得为正三角形,取中点,连结,则, 因为面面,面面,面,所以面.7分作于,连结,则,所以是二面角的平面角.9分经计算得,所以二面角的余弦值为.12分4、5、解：（）证明：由四边形为菱形，可得为正三角

13、形，因为为的中点，所以（1分） 又，因此 （2分）因为平面，平面，所以 （3分）而平面，平面，所以平面 （5分）（）（法1：为上任意一点，连接由（1）知平面，则为与平面所成的角 （6分）在中，所以当最短时，即当时，最大，此时，因此（7分）又，所以，所以（8分）因为平面，平面，所以平面平面,过作于，则平面，过作于，连接，则为二面角的平面角，（9分） 在中， 又是的中点，在中， 又 （10分）在中，,（11分）即所求二面角的余弦值为。（12分） （2）法2：由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，以分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系。设,（6分）则（其中）面的法向量为与平面所成最大角的正切值为 的

14、最大值为，即在的最小值为，函数对称轴，所以，计算可得（8分）所以设平面的一个法向量为，则因此，取，则 （9分）为平面的一个法向量. （10分） 所以（11分）所以，所求二面角的余弦值为 （12分）6、（I)证法1：连结AC1，设AC1与A1C相交于点E，连接DE，则E为AC1中点，-2分D为AB的中点，DEBC1，-4分BC1平面A1CD，DE平面A1CD，-5分BC1平面A1CD. -6分【证法2：取中点，连结和，-1分平行且等于 四边形为平行四边形 -2分平面，平面平面,-3分同理可得平面-4分 平面平面又平面BC1平面A1CD. -6分】(II) -7分又 ，又 面-8分法一：设BC的中

15、点为O，的中点为，以O为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.-9分则，.-10分平面的一个法向量所以直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为-12分【法二：取的中点，连结，则-7分面，故,面-9分延长、相交于点，连结，则为直线与平面所成的角. -10分因为为的中点，故，又即直线与平面所成的角的正弦值为.-12分】【法三：取的中点，连结，则-7分面，故,平面-9分取中点M，连结BM，过点M作，则平面，连结BN，,为直线与平面所成的角，-10分,即直线与平面所成的角的正弦值为.-12分】7、解：(1)证明：如图19-1 1分 2分而 3分 5分 6分(2)

16、法1：如图19-2，设的中点为，连结，. 易知所以四点共面 ,分别为，的中点 7分同理 又8分二面角即为平面与平面所成的锐二面角 9分, 10分且 就是平面与平面所成锐二面角的一个平面角 11分 12分法2：如图19-3，设的中点为，连结，.作于点易知所以四点共面 7分又 8分 9分又由(1)知 的法向量 10分 11分设平面与平面所成锐二面角的大小为，则 12分法3：如图19-4， 1分又 2分建立如右图所示坐标系,则, , 4分(1) 5分 6分(2) 设的一个法向量为,则 由得 7分解得 8分又 而，平面，为平面的一个法向量 10分 11分平面FGH与平面EBC所成锐二面角的余弦值为 1

17、2分8、解：(1)由条件有PQ为的中位线，.1分又 MN为梯形BCDE的中位线 ，.2分PQMN .3分 M、N、P、Q四点共面。4分（2） 证明:在等腰直角三角形中，其中位线，则有ACBC,DEBC， 沿其中位线将平面折叠后有 ，CDDE 。5分 又，面ACD， .6分 又 平面， 7分又 平面， 平面平面.8分 (3) 解法一由条件知AD=1，DC=1，BC=2，延长ED到R，使DRED，连结RC 则ERBC，ERBC，故BCRE为平行四边形 。9分RCBE，又ACQM 为异面直线BE与QM所成的角（或的补角）。10分DA=DC=DR，且三线两两互相垂直，由勾股定理得AC=AR=RC=，

18、。11分ACR为正三角形异面直线与所成的角大小为.。12分解法二：设所求异面直线所成的角为，由（2）得DA，DC，DE两两互相垂直，如图以ED为x轴，DC为y轴，DA为z轴，D为原点建立空间直角坐标系，。9分由题意得Q（0,0,1），M（0,1,0），E(-1,0,0),B(-2,1,0)。10分。11分，异面直线与所成的角大小为.。12分9、证明：（）,1分平面,又因为平面3分所以4分()分别以为轴，建立如图所示的直角坐标系由已知条件不难求得：5分所以,6分又因为点E为中点，所以点所以,，7分设平面的一个法向量为所以令解得：，所以平面的一个法向量为9分又平面,所以向量为平面的一个法向量10分设所求二面角是，所以12分10、11、证法1：四边形为矩形， 1分又矩形中，在中， ，在中，即 3分平面，平面 4分又，平面 平面 5分证法2：（坐标法）证明，得，往下同证法1证法3：（向量法）以为基底，往下同证法1（2）在中，在中， 7分在中， 9分设点到平面的距离为，则， 11分设直线与平面所成角的大小为，则 12分另法：由（1）得两两垂直,以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图