第二随机变量及其分布学习教案

1、会计学1第二第二 随机变量随机变量(su j bin lin)及其分布及其分布第一页，共85页。2SteteXX,)(, 0XR25001000 X第1页/共85页第二页，共85页。3SeX(e)R第2页/共85页第三页，共85页。4)(|LeXePLXP第3页/共85页第四页，共85页。5第4页/共85页第五页，共85页。6第5页/共85页第六页，共85页。7)(xXPxFxxX随机点随机点实数点实数点第6页/共85页第七页，共85页。8第7页/共85页第八页，共85页。9),(arctan)(xxBAxF, 02)arctan(lim)(BAxBAFx, 12)arctan(lim)(BA

2、xBAFx.1,21BA).(arctan121)(xxxF第8页/共85页第九页，共85页。10) 1() 1 (11FFXP)4(1214121.21第9页/共85页第十页，共85页。11nxxx,21), 2 , 1(kxXPpkk第10页/共85页第十一页，共85页。12二、分布(fnb)律 数列(shli):);, 2 , 1(kxXPpkk1x2xnxX1p2pnpkp表格表格:矩阵矩阵:nnpppxxxX2121 图形图形:在随机变量每个可能取值的点处画一长度为相在随机变量每个可能取值的点处画一长度为相应概率值的线段。应概率值的线段。P.36:图图2-1第11页/共85页第十二页

3、，共85页。131kkp ), 2 , 1(0kpk 11kkp.)(xxkkpxF), 2 , 1)(0()(kxFxFpkkk第12页/共85页第十三页，共85页。14第13页/共85页第十四页，共85页。15,21kxxx,21kppp1x2x3xkxx1p2p3pkp如何计算离散随机变量落在一个区间内的概率？第14页/共85页第十五页，共85页。16;1)(01pAPXPkA).4 , 3 , 2 , 1()(kpAPk 解设解设X X是是“汽车汽车(qch)(qch)首次停下已经通过的信号首次停下已经通过的信号灯的盏数灯的盏数”,”,则则X X为随机变量为随机变量, ,其可能取值为其

4、可能取值为0,1,2,3,4;0,1,2,3,4;现现求求X X取各值的概率取各值的概率. .);1 ()()()(12121ppAPAPAAPXP第15页/共85页第十六页，共85页。17);1 ()()()()(22321321ppAPAPAPAAAPXP);1 ()()()()()(3343214321ppAPAPAPAPAAAAPXP.)()()()()(4443214321pAPAPAPAPAAAAPXP013X24p1)1 (pp )1 (3pp)1 (2pp4pkp第16页/共85页第十七页，共85页。18 【解】由于X表示取出的3只球的最大号码(hom),故X的所有可能取值为3

5、,4,5。,10133522CCXP必取必取3号球号球,只能只能(zh nn)再取再取1,2号球号球,10343523CCXP必取必取4号球号球,再从再从1,2,3号球中取号球中取2只只,10653524CCXP必取必取5号球号球,再从再从1,2,3,4号球中取号球中取2只只由古典概率可得：第17页/共85页第十八页，共85页。19Xpk3450.10.30.6即所求分布即所求分布(fnb)律为律为: 由分布由分布(fnb)函数概念可知：分布函数概念可知：分布(fnb)函数是累积和。因此，函数是累积和。因此，对离散型随机变量由分布对离散型随机变量由分布(fnb)列求分布列求分布(fnb)函数时

6、需分段考虑，函数时需分段考虑，X的所有可能取值就是分界点，即应该就的所有可能取值就是分界点，即应该就x分别位于区间分别位于区间（-，3），），3，4），），4，5），），5，+ ）来分别计）来分别计算事件算事件Xx的概率。的概率。 )(xXPxF 当 时,) 3 ,(x; 0)( P第18页/共85页第十九页，共85页。20)(xXPxF 当 时,) 4 , 3 x; 1 . 03XP)(xXPxF 当 时,) 5 , 4x)43(XXP43XPXP; 4 . 03 . 01 . 0)(xXPxF 当 时,), 5 x. 1)(SP)543(XXXP第19页/共85页第二十页，共85页。21.

7、 5, 1, 54, 4 . 0, 43, 1 . 0, 3, 0)(xxxxxFOx)(xF 分布(fnb)函数的图形为:53414 . 01 . 0第20页/共85页第二十一页，共85页。22 【例3】设随机变量(su j bin lin)X的分布律为 【解】由概率(gil)可加性与分布函数定义可得分布函数求X的分布(fnb)函数和概率PX0.5,P1.5X 2.5,P2 X 3.1X23kp25. 05 . 025. 0. 3, 1, 32,75. 0, 2125. 0, 1, 0)(xxxxxF第21页/共85页第二十二页，共85页。23 由分布由分布(fnb)(fnb)列求分布列求分

8、布(fnb)(fnb)函数时：用函数时：用X X可可能取的值能取的值kxxx,21分分(-(-，+）为）为k+1k+1个区间个区间(q jin)(q jin), ,),),),(32211kxxxxxx分别就分别就x落在上述各区间内计算落在上述各区间内计算Xx的值概率的值概率(gil)累积累积和和即求出即求出F(x)的值；的值； 离散型随机变量离散型随机变量X落在区间落在区间I内的概率可以利用分内的概率可以利用分布列或分布函数计算，即含于布列或分布函数计算，即含于I内点的概率之和或分布内点的概率之和或分布函数在函数在I上的增量，必要时加减端点概率值。上的增量，必要时加减端点概率值。第22页/共

9、85页第二十三页，共85页。24 离散型随机变量离散型随机变量X X的分布的分布(fnb)(fnb)函数是一个右连续的函数是一个右连续的阶梯函数，其定义域是阶梯函数，其定义域是(-,+),(-,+),值域是值域是0,10,1。) 10 ;, 2 , 1 , 0()1 (pnkppCkXPknkkn1、二项分布、二项分布).,(pnBX则称则称X X服从参数服从参数n n，p p的二项分布，记为的二项分布，记为第23页/共85页第二十四页，共85页。25. 1)1 ()1 () 2(; 0) 1 (00nknknkknnkppppCkXPkXP二项式公式(gngsh) 二项分布二项分布(fnb)

10、分布分布(fnb)律的图形律的图形:1 2 34xkXPO第24页/共85页第二十五页，共85页。26AA,),10()(ppAP),(pnBX), 2 , 1 , 0()1 (nkppCkXPknkknknC第25页/共85页第二十六页，共85页。273213213212AAAAAAAAAX)(2321321321AAAAAAAAAPXP)()()(321321321AAAPAAAPAAAP)()()()()()(321321APAPAPAPAPAP)()()(321APAPAP23223)1 (ppC第26页/共85页第二十七页，共85页。28 (1).恰有2个设备(shbi)被使用的概率

11、为 ;0729.09.01.023225CXP第27页/共85页第二十八页，共85页。29533kkXPXP (2).至少有三个设备被使用(shyng)的概率为 =0.0081+0.00045+0.00001=0.00856.0555144523359 . 01 . 09 . 01 . 09 . 01 . 0CCC (3). 至多有三个设备(shbi)被使用的概率为 541330XPXPkXPXPk5554451 . 09 . 01 . 01CC =1-0.00045-0.00001=0.99954.第28页/共85页第二十九页，共85页。30 (4). 至少有一个(y )设备被使用的概率为5

12、0059 . 01 . 01011CXPXP = 1-0.59049=0.40951. 请看教材请看教材(jioci)P.41:例例3.!)1 (keppCkknkkn 学会查学会查附表附表3:泊松分布表泊松分布表.第29页/共85页第三十页，共85页。31.01. 0 NXP 由泊松公式得:.01. 0!313NkkkeNXP第30页/共85页第三十一页，共85页。32 学查附表学查附表3:泊松分布泊松分布(fnb)表表.P.296 在在P.297找到找到=np=3000.01=3一列一列,向下找到第向下找到第一个一个(y )小于小于0.01的值为的值为0.003803,横向左找到横向左找到

13、x=9,即即N+1=9,得得: N=8. 答答:至少需配备至少需配备(pibi)8个维修个维修工人工人. 请自学请自学P.45:例例5.注意其实际意义注意其实际意义. 上面例子告诉我们，利用重要随机变量分布律也上面例子告诉我们，利用重要随机变量分布律也可求随机事件的概率！可求随机事件的概率！第31页/共85页第三十二页，共85页。33 定义3 设随机变量X所有可能(knng)取的值为0,1,2,，且其分布律为), 2 , 1 , 0(!kkekXPk).(PX 容易验证泊松分布的分布律满足：容易验证泊松分布的分布律满足：; 0) 1 (kXP. 1!) 2(000eekekekXPkkkkk

14、泊松分布有着广泛的应用泊松分布有着广泛的应用P.44第32页/共85页第三十三页，共85页。34002479. 0! 060660eeXP)., 2 , 1 , 0(!6kkekXPkk第33页/共85页第三十四页，共85页。35X-1-2-3-4-5ex0.36790.13530.049790.01830.0067X-6-7-8-9-10ex0.0024790.0009120.0003350.0001230.000045第34页/共85页第三十五页，共85页。36靶靶子子X弹着弹着点点 【解】只能(zh nn)按分布函数定义来求. 1、当x0时,Xx为不可能事件(因为弹着点与圆心(yunxn

15、)的距离不可能为负),故; 0)()(PxXPxF 2、当0 x 2时,由题意得,)(2xkxXPxF 取x=2以确定k的值:,42212kkXP,41k射击均能中靶第35页/共85页第三十六页，共85页。37 故;4)(2xxXPxF 3、当x2时,Xx为必然(brn)事件,故; 1)()(SPxXPxF 综上得X的分布(fnb)函数为:. 2, 1, 20,4, 0, 0)(2xxxxxF)(xFxO121第36页/共85页第三十七页，共85页。38 此外此外(cwi),易验证易验证:对任意实数对任意实数x,均有均有xdttfxF)()(其中其中(qzhng)非负函数非负函数., 0, 2

16、0,2)(其它tttf第37页/共85页第三十八页，共85页。39第38页/共85页第三十九页，共85页。40,)()(xdttfxF第39页/共85页第四十页，共85页。41 离散离散(lsn)型随机型随机变量变量 连续型随机变量连续型随机变量(su j bin lin) 分布分布(fnb)函函数数 概率分布概率分布 概率密度概率密度概率密度概率分布)()()(tfdttfppxXPxFxkxxkk第40页/共85页第四十一页，共85页。42);(0)(. 1xxf; 1)(. 2dxxf);()()(. 3aFbFdxxfbXaPba);()()(. 4xdttfxFx).)()()(.

17、5的连续点为xfxxfxF 求概率求概率(gil(gil) 由概率密度求分布函数由概率密度求分布函数 由分布函数求概率密度由分布函数求概率密度 确定待定参数确定待定参数 第41页/共85页第四十二页，共85页。43概率密度的形象化解释(jish)()()(aFbFdxxfbXaPba) 1|(|)()(xxxfdxxfxxx第42页/共85页第四十三页，共85页。44, 0, 11,12)(2其它xxxf 【解】注意到概率密度f(x)在(-,+)上为分段(fn dun)函数,其分段(fn dun)区间为(- ,-1,(-1,1,(1,+);而分布函数为累积和,故应就x在上述不同区间上积分求F(

18、x).1x; 00)()(xxdtdttfxF第43页/共85页第四十四页，共85页。4511xxdttfxF)()(;21arcsin112xxx.arcsin2222222Caxaxaxdxxaxdttdt121120第44页/共85页第四十五页，共85页。461xxdttfxF)()(xdtdttdt111210120; 1.12112112t dt第45页/共85页第四十六页，共85页。47. 1, 1, 11,21arcsin11, 1, 0)(2xxxxxxxF第46页/共85页第四十七页，共85页。48, 0, 0, 0,)1 (1)(xxexxFx;21,21,1XPXPXP)

19、 1 (1FXP 【解】（1）由分布函数求概率(gil)公式得：1) 11 (1e;211e) 1() 2(21FFXP0) 21 (1 2e;312e第47页/共85页第四十八页，共85页。4921121XPXP)21(1 F)211 (121e.23121e （2）对分布函数(hnsh)求导数即得概率密度：, 0, 0, 0,)1 (1)(xxexxFx. 0, 0, 0,)()(xxxexFxfx第48页/共85页第四十九页，共85页。50 P(A)=0 A=.第49页/共85页第五十页，共85页。51, 0,1)(其它bxaabxf).,(baUX., 1, 0)(bxbxaabaxa

20、xxF第50页/共85页第五十一页，共85页。52, 0, 0,)(其它xexfx., 0, 0,1)(其它xexFx).(eX第51页/共85页第五十二页，共85页。53., 0, 0,51)(5其它xexfxdxedxxfXPpx1010551)(10第52页/共85页第五十三页，共85页。54.13533528. 0|2105eex)5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0()1 (5225keeCkYPkkk52)1 (1011eYPYP48332437. 0186466472. 015.51657563. 0第53页/共85页第五十四页，共85页。5502442KKxx., 0,

21、50,51)(其它kkf02442KKxx0) 1)(2(16)2(44)4(2KKKK第54页/共85页第五十五页，共85页。561K2K2 1)2 1(KPKPKKP53510521dxdx第55页/共85页第五十六页，共85页。57),(21)(222)(xexfx).,(2NX).(21)(222)(xdxexFxx第56页/共85页第五十七页，共85页。58,21)(22xex.21)(22xtdtex;21)()(max fxf第57页/共85页第五十八页，共85页。59).(1)(xx).(1),(xx第58页/共85页第五十九页，共85页。60 设r.v. ,则r.v.),(2

22、NX).1 , 0( NXZxxF)(第59页/共85页第六十页，共85页。61.abbXaP)10(zXPz)10(1)(z第60页/共85页第六十一页，共85页。62)10(1)(zXPz.645. 105. 0z.575. 2005. 0z第61页/共85页第六十二页，共85页。6396. 1025. 0z第62页/共85页第六十三页，共85页。64 (7 (7、利用、利用(lyng)(lyng)标准正态分布函数可以计算概率标准正态分布函数可以计算概率积分：积分：12122dtet222dtet2022dtet202dxex (8 (8、正态分布的、正态分布的“3-“3-原则原则(yun

23、z)”(yunz)”;6826. 01) 1 (2) 1() 1 (|XP;9544. 01) 2(2) 2() 2(2|XP.9974. 01) 3 (2) 3() 3 (3|XP第63页/共85页第六十四页，共85页。6523223552XP )5 . 0(1) 1 (5 . 015328. 06915. 018413. 02342310104XP15 . 325 . 35 . 39996. 019998. 02第64页/共85页第六十五页，共85页。66221212XPXPXP5 . 25 . 015.05.216977. 06915. 09938. 01,1cXPcXPcXP,2123

24、 ccXP3c, 023c第65页/共85页第六十六页，共85页。67第66页/共85页第六十七页，共85页。68), 2 , 1 , 0(kxXPpkk;,21kyyy),(jiyyji第67页/共85页第六十八页，共85页。69);, 2 , 1()()(kxXPxgXgPyYPkkk),()()(mjikxgxgxgymjikxXPxXPxXPyYP第68页/共85页第六十九页，共85页。70X-1012pk0.20.30.10.4pk0.20.30.10.4X-1012第69页/共85页第七十页，共85页。71X-1-2-101pk0.20.30.10.4X2-1-103pk0.30.

25、30.4110102XPXPXPYP. 3 . 01 . 02 . 0第70页/共85页第七十一页，共85页。72)()(yXgPyYPyFY)(xfX)(yfYdxxfIXPyIXy)()(yfY第71页/共85页第七十二页，共85页。73),)(xxfX)(yFY)(2yXPyYPyFY, 0, 0),(yyXyPyP, 0,)(, 0, 0ydxxfyyyX第72页/共85页第七十三页，共85页。74)()(yFyfYY, 0),21()(21)(, 0, 0yyyfyyfyXX. 0),()(21, 0, 0yyfyfyyXX,21)(22xex第73页/共85页第七十四页，共85页。75.0, 0, 0,21)(221yyeyyfyY).()()()()()()(xaxafxbxbfdttfxbxa第74页/共85页第七十五页，共85页。76., 0, 10, 1)(其它xxfX从而从而(cng r),整个整个y轴相应地也轴相应地也被分为三被分为三部分部分: (-,1),1,e