正态分布习题与详解(非常有用-必考点)

1、1.若 x N(0,1), 求(l) P(232V x<1.2) ; (2) P(x>2).解：(1) P(-2.32< x<1.2)=(1.2)-(-2.32)=(1.2)-1-(2.32)=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2) P(x>2)=1- P(x<2)=1-(2)=1-0.9772=0.0228. i2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1)在 N(1,4)下，求 F(3) .(2)在 N(|l, (T )下，求尸(;1一(7, (1+(7)；3 1、解：(1) F (3)=()=(1)= 0.84132(2) F (科+b)

2、=()=虫(1) = 0.8413F (厂 b)=()=(1)=1 (1)=-0.8413 =0.1587F (科叫 科+b) = F (科+b) F (科b) =0.8413 - 0.1587 =0.68263某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为1，八一、=,求总体落入区间(1.2, 0.2)之间的概率.( 0.2 ) =0.5793,( 1.2 ) =0.8848解：正态分布的概率密度函数是f(x) 1 e321x(),它是偶函数,1说明科=0, f(x)的最大值为f( )=_,所以b = .21,这个正态分布就是标准正态分P( 1.2 x 0.2)(0.2)(1.2

3、)(0.2) 1(1.2)(0.2)(1.2) 10.5793 0.8848 1 0.46424.某县农民年平均收入服从=500入在500 : 520元间人数的百分比；元，(2)=200元的正态分布 .(1)求此县农民年平均收如果要使此县农民年平均收入在(a, a)内的概率不少于 0.95 ,则a至少有多大?(0.1 ) =0.5398,( 1.96 ) =0.975解：设表示此县农民年平均收入,N(500,2002).P(500520)(520 500200 )P(a)a(200)500 500200 ) a() 200(0.1) (0) 0.5398 0.5 0.0398 ( 2 )a2

4、()1 0.95, 200(京)查表知：0.975 ,1.96200a 3921 设随机变量 X N（3,1）,若（AT >4） = p，则 p（2<x<4）=( A)(B)lC. l-2p【答案】 C因为 PX > 4) = P(X <2) = p ，所以P(2<X<4)=l-RX>4)-P(X<2) = 1-2p,选 C.2. （2010新课标全国理）某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了 1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为 X,则X的数学期望为（）A. 100 B. 200 C. 300 D. 4

5、00答案B解析记“不发芽的种子数为E',则EB（1 000,0.1）,所以E（?= 1 000X 0.1 =100,而 X=2E,故 E（X）= E（2 3=2E（。= 200,故选 B.3 .设随机变量E的分布列如下：E101Pabc其中a, b,1 一c成等差数列，若E（3=1,则d©=（）34A.9C.3 D.9答案D解析由条件a, b, c成等差数列知，2b=a+c,由分布列的性质知a+ b+ c= 1,又1111_1E(9 = a+c=3,斛倚唯,b = 3, c= 2，'"巨否'-1-12+103332+1 1-1 2 = -239.4

6、. （2010上海松江区模考）设口袋中有黑球、白球共 白球个数的数学期望值为7,则口袋中白球的个数为（7个，从中任取2个球，已知取到）A. 3 B. 4 C. 5 D. 2答案A解析设白球x个，则黑球7 x个，取出的2个球中所含白球个数为巳则E取值0,1,2,C7 x2P(E= 0) = "C7F=7 x 6 x42"1) = -C7221 ，Cx2 x x- 1 "2)=c?= . 0X7 x 6 x42x 7 x21+ 2Xx x 14267'x= 3.5.小明每次射击的命中率都为p,他连续射击n次，各次是否命中相互独立，已知命中次数E的期望值为4,方

7、差为2,则p(01)=()255_9_2477A.256 B.256 C.256 D.64答案C解析由条件知 >B(n, P),E E =4,np = 4二 , ,DE = 2np 1-p =21斛之得，p = 2, n= 8,P(k 0)=C80x 2 0x 2 8= 1 8，,1 ”1 .1.P( E= 1) = C81x 2 1x 2 7= 2 5, P(>1) = 1 P(4 0)P(E= 1)X iii 202 (xC R, i= 1,2,3)的图象如图所本, 2 j=1_ 18_ 15=24Z 22256.5已知三个正态分布密度函数则()A .妆<(j2=(j3,

8、o1=(5> d38. W> 摩=d= (< d3C.国=川田，01< C2= C3D .|J< 22= 33,3= (2< 03旭仪)和 阿X)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均答案D解析正态分布密度函数数相同，故出=3,又 Mx)的对称轴的横坐标值比a(x)的对称轴的横坐标值大，故有 曲区 =又b越大，曲线越“矮胖”，b越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数 Mx)和(f)2(x)的图象一样“瘦高”，族(X)明显“矮胖”，从而可知01= (2< S6 命题 “ v.t w Rfcusx > 0 ”的否定是：“ 2t e Rt

9、cosx <0 ；若+7g力=/gf +方)，则口 +力的最大值为4;定义在R上的奇函数满足/仆+ 2J二一，则”6J的值为0;已知随机变量 j服从正态分布 M】"八¥八5) = 0§1，则= m ;其中真命题的序号是 (请把所有真命题的序号都填上 ).【答案】命题"Vx w凡匚肉工> 0 "的否定是：“土1 w凡匚山上£ 0 "所以 正确.若 lga + lb = lg(a + b)，则 fg"=fgf 口 + b)，即白匕=“十九口 > O.b > 0 .所以,/h = a + h<

10、; " ”了,即+/)' > 4(+ b),解得 口+ 5*4，则 n + b 的最小值为 4；所以错误.定义在 R上的奇函数f(x)满足f,x + 2 ) = _ffx),则f(x + 4)= 用，且/(0)_0，即函数的周期是 4.所以 八6) = /(2)=-/(0) = 0 ；所 以正确.已知随机变量服从正态分布NfL/"f”5) = O,8l ,则<>5) = 1-尸(4£5)=1-0.8=019,所以UW-3J = Pf£>5/ = 0.19 ;所以正确，所以真命题的序号是.7、在区间1J上任取两数 m和n,则

11、关于x的方程/ + "工工+仃二0有两不相等实根的概 率为.【答案】由题意知-I主用£ 1,-|三打g 1,要使方程工二+ /两T + / :0有两不相等4实根,则A=/w" -4h2 > 0 ,即(附一 2H)(? + 2?I > 0 .作出对应的可行域,如图直线川 2 = 0 , m + 2 = 0 ,当 nt l 时,= ?=-,所 以2254所以方程八皿:0有两不相等实根的概率为8、卜列命题(2)不等式|工十| + |13|之"恒成立，则"K4； 随机变量X服从正态分布 N(1,2),则p(x <0) = IX >

12、; 2);(4)已知 内卜ER*,2n+ & = ，则之8 .其中正确命题的序号为 . a h【答案】(2)(3)(1) J： Lt = In= 1口 2 ,所以(1)错误.(2)不等式卜+ | + |下一3|的最小值为4,所以要使不等式| = +| + |.-3|至4成立，则口与4，所以(2)正确.(3)正确.(4)2 I 21.,. . lb la . . 12b 2a .汇,八比 口 皿、厂一一 = - + -)(2o + b) = 4+l 4 一 + >5 + 2= 9 ,所以(4)错反,所以正a b a ba b确的为(2)(3).2已知某篮球运动员 2012年度参加了

13、 40场比赛，现从中抽取5场，用茎叶图统计该运动员 5场中的得分如图所示，则该样本的方差为卜;卜,A. 26B. 25C. 23D. 18【答案】D 样本的平均数为 23,所以样本方差为-119 23): 十 (20 23尸+ (22 23/十(23 23T3I 23)= = 18，选D.3有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，据图估计，样本数据在8,10)内的频数为频率组距4A. 38B. 57C. 76D. 95【答案】C 样本数据在乱10之外的频率为（0,02 + 0.05 + 0.09 + 0,15）x2 = 0,62所以样本数据在&I0）内的频率为1-0.62 = 0.38，所以样本数据在8,10）的频数为 0.38x200= 76,选 C4. （2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学） 如图所示,在边长为l的正方形OABC43任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为A. 一3【答案】【答案】B