椭圆讲义(学生版)

1、椭圆讲义i、平面内与两个定点 Fi , F 2的距离之和等于常数（大于fif2）的点的轨迹称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.2、椭圆的几何性质:焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形2标准方程范围顶点轴长b22 ab2x a且b y bbx b且a ya,0、2 a,0i0, a、2 0,a0, b、2 0,bib,0、2 b,0短轴的长 2b长轴的长2aaa11c,0、F2 c,0Fi0,0,c2 x2焦点Fi焦距对称性离心率准线方程3、设是椭圆上任一点,占八、Fidiee d2四、常考类型类型一：椭圆的基本量i .指出椭圆9x2 4y2F1F2 2c关于x轴、

2、y轴、原点对称c0 ei a到Fi对应准线的距离为di，点到F2对应准线的距离为36的焦点坐标、准线方程和离心率高中数学举一反三：【变式1】椭圆252y 1上一点P到椭圆一个焦点的距离为 3,则P到另一个焦点的距离162【变式2】椭圆162 1的两个焦点分别为 Fi、F2,过F2的直线交椭圆于 A、B两点，则 ABF1 25的周长C ABF1=【变式3】已知椭圆的方程为162、1,焦点在x轴上，则m的取值范围是（mA. 4W me 4 且 m 0B. 4< m< 4 且 m 0D . 0<m< 4【变式4】已知椭圆 mX+3y26m=0的一个焦点为（0, 2）,求m的值

3、。类型二：椭圆的标准方程2 .求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（一 4, 0）、（4, 0）,椭圆上一点P到两焦点距离的和是 10;（2）两3 5个焦点的坐标是（0, 2）、（0, 2）,并且椭圆经过点-,一。2 2举一反三：【变式1】两焦点的坐标分别为0,4 , 0,-4 ,且椭圆经过点（5,0）。【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆2）,求此椭圆的方程。22 匕 1有相同的焦点，并且经过点（3,943.求经过点P (3, 0)、Q (0, 2)的椭圆的标准方程。举一反三：【变式】已知椭圆经过点 P (2, 0)和点Q(1,31),求椭圆的标准方程。24 .

4、求与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距，且离心率为Y5的椭圆的标准方程。5A.【变式1】在椭圆的标准方程中362匕135【变式2】椭圆过(3,厘=6,占二后，则椭圆的标准方程是C. y2 1D.以上都不对360)点，离心率e求椭圆的标准方程。【变式3】长轴长等于20,离心率等于求椭圆的标准方程。【变式4】已知椭圆的中心在原点，经过点P (3, 0)且a=3b,求椭圆的标准方程。类型三：求椭圆的离心率或离心率的取值范围5.已知椭圆一条准线为 y x 4,相应焦点为(1,-1),长轴的一个顶点为原点 O,求其离心率w的 取值。举一反三：【变式1】椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分，则椭圆离心率

5、为()A.3B.、3 C.2D.不确定【变式2】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是()2【变式3】椭圆当 a2.一 1上一点到两焦点的距离分别为 4 人，焦距为2白，若斗然 八 成等差数列, b2则椭圆的离心率为【变式4】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于226.已知椭圆二4 1 (aa bb 0),Fi, F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P,使 F1PF2求其离心率吕的取值范围。2【变式1】已知椭圆f a2若椭4 1 (a b 0)与x轴的正半轴交于A, 0是原点, b2圆上存在一点 M使M

6、4MO求椭圆离心率的取值范围。22【变式2】已知椭圆二 -y- 1 ( a b 0),以修，由，亡为系数的关于或的方程/*= 0无a2 b2实根，求其离心率 厘的取值范围。类型四：椭圆定义的应用7.若一个动点 P(x,y)到两个定点A(1,0)、A (1,0)的距离的和为定值m (m>0,试求P点的轨迹方程。举一反三：【变式1】下列说法中正确的是()A.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆B .平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段C.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线D.平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹存在，则轨迹是

7、一个椭圆或者是一条线段【变式2】已知A (0, 1)、B (0, 1)两点， ABC的周长为6,则 ABC的顶点C的轨迹方程是()A. 二；BlV【变式3】已知圆A （工+幻、/二交,圆a内一定点b （2, 0）,圆P过B点且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程。类型五：坐标法的应用9. ABC的两个顶点坐标分别是B（0,6）和C（0,6）,另两边ABAC的斜4率的乘积是,求顶点A的轨迹方程。9举一反三：【变式1】已知A4B两点的坐标分别为（0, 5）和（0, 5）,直线MA与MB的斜率之积为-9则M的轨迹方程是（2A.252y10092B.-252匚 1(x5)10092C. -x22542y25

8、2D. -x22542y251 ( x 0)【变式2】 ABC两顶点的坐标分别是(6,40）和C （ 6, 0）,另两边 AB AC的斜率的积是,9则顶点的轨迹方程是（）B.+ = 1士力81 16D.+ = 1±6)36 16【变式3】已知A、B两点的坐标分别是（一1, 0）、（1, 0）,直线AM BM相交于点M且它们的斜率之积为m （m< 0）,求点M的轨迹方程并判断轨迹形状。五、典型例题例1已知椭圆mx2 3y2 6m 0的一个焦点为（0, 2）求m的值.例2已知椭圆的中心在原点，且经过点P3,0 , a 3b,求椭圆的标准方程.例3 ABC的底边BC 16, AC和A

9、B两边上中线长之和为 30,求此三角形重心 G的轨迹和顶点 A的 轨迹.例4已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为 4三5和 型，过P点作焦点33所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.22x y例5已知椭圆万程1 a b 0 ,长轴端点为 A, A2,焦点为F1, F2, P是椭圆上一点, a bA1PA2, F1PF2.求：F1PF2 的面积（用 a、b、表示）.例6已知动圆P过定点A3,0,且在定圆B:x32y264的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程.22例7以椭圆 匕 1的焦点为焦点，过直线l: x y 9 0上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴12

10、3最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程.2例8已知方程k 52一y1表示椭圆，求k的取值范围.3 k例 9 已知 x2 sin y2 cos 1 (0）表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围.例10 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A（於,2）和B（ 2J3,1）两点的椭圆方程.例11知圆x2 y2 1 ,从这个圆上任意一点 P向y轴作垂线段，求线段中点 M的轨迹.22例12椭圆 L y- 1上的点M到焦点F1的距离为2, N为MF1的中点，则ON （O为坐标原点）的 259一.3值为 A. 4 B. 2C. 8D.21例13在面积为1的PMN中，tanM , tanN 2,建立适当的坐

11、标系，求出以 M、N为焦点 2且过P点的椭圆方程.六、课后练习 X21 .椭圆2 y251的焦点坐标为(A) (0, ±3)(B) (土 3, 0)(C) (0, ±5)(D) (土 4, 0)162.22x y在方程 -1中，下列a, b, c全部正确的一项是(A)a=100, b=64, c=36( B) a=10, b=6, c=8(C) a=10, b=8, c=6(D)a=100,c=64, b=363.已知a=4, b=1,焦点在x轴上的椭圆方程是(A)2(B) X2 1(C)416y2 1(D) X2y164.已知焦点坐标为(0, 4),(0, 4),且a=6

12、的椭圆方程是5.6.7.8.9.22x y(A)36 202 X 若椭圆100 36(A) 4(B) 194已知F1, F2是定点,22x y(B) 120 362X (C) 362y162 X (D) 162X 1361上一点P到焦点F1的距离等了6,则点P到另一个焦点F2的距离是(C) 94| F1 F2|=8,(A)椭圆 (B)直线(C)(D)动点14M 满足 |M F1|+|(D)线段若y2lga x2=l a表示焦点在 x轴上的椭圆，则3当a+b=10, c=2 J5时的椭圆的标准方程是M F2|=8 ,则点M的轨迹是a的取值范围是已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2,从这个圆上任意一点 P向x轴作垂线段PP',则线段PP的中点M的轨迹方程为10 .经过点M(V3 , -2), N(2%§, 1)的椭圆的标