人教版五年级上册《植树问题》教案设计

1、“植树问题”教学实践与思考【课前慎思】史宁中教授说过这样一句话：知识在本质上是一种结果，可能是经验的结 果，也可能是思考的结果，而智慧并不表现在经验和思考的结果上，而表现在 经验和思考的过程中。我认为，要培养一个人的数学智慧，必须注重过程，启 发思考，总结经验，学会反思。显然，向学生渗透基本的数学思想和让学生获 得基本的数学活动经验是人教版“数学广角”教材承教的内在教学目标。那么 具体到数学广角的一节课植树问题，它的教学目标是什么呢？是仅仅让学生 知道“两端种”“一端种”“两端都不种”这样的知识结果吗？我想显然不完全 是，我认为更为重要的是让学生经历“植树问题”的建模过程，在这过程中， 充分调

2、动学生主动参与猜想验证、观察思考、归纳推理、演绎证明等系列数学 活动，来感悟“植树问题”背后所蕴含的数学思想，及“植树问题”的数学结 构，即点数和间隔数的一种数量关系。再从学生的生活经验和认知起点来分析，根据我们对学生“植树问题”的 前测知道，一个班52名学生已有16位学生会正确解答两端种的植树问题，根 据我们进一步的访谈知道，他们是在校外奥数班学习过的，但知道知识结果， 不等于他们就明白为什么“两端种”棵数总是比间隔数多1这个道理。从这个 角度来说，让学生经历过程，知道知识的来龙去脉，显得更为迫切了。同时， 我们可以充分利用这一起点差异，生成教学资源，让学生碰撞出思维的火花。 基于以上我对教

3、材和学生的分析，我确定了植树问题例1教学目标的明线和暗 线：明线明标：通过探究发现一条不封闭的线段图上两端种植树问题的规律。 同时通过变式练习，打通“植树问题”不同类型的关联性和差异性，让学生跳 出思维定势，为下一节课深入研究另外几种类型做铺垫。暗线目标：让学生经历“复杂问题简单化”的解题策略的构建过程，向学 生渗透“简化思想”、“对应思想”、“数形结合思想”，积累猜想验证、归 纳推理、演绎推理等数学基本活动经验。【课堂实录】一、创设情境，发现问题师：你看，老师为你们带来了什么？（出示植树节图标，隐去日期）师：猜猜看，这会是中国哪个节日的图标呢。生：我猜是植树节的标志。师：（出示日期）3月12

4、日是植树节，你知道的真多，那天们做了哪些有 意义的事？（学生的回答略）师：刚才我们交流了生活中的植树问题，这节课吴老师带领大家去研究数 学中的植树问题。（板书：植树问题）二、化繁为简，解决问题1、出示问题（课件出示问题）同学们在全长1000米的小路一旁植树，每隔5米栽一棵 （两端要栽）。一共需要多少棵树苗？2、理解信息。师：请看题，你获得了哪些信息？生：全长1000米，每隔5米栽一棵。师：有看不懂的信息吗？老师来考考你们？请解释一下“两端要种”？生：就是头和尾各要种一棵。师：每隔5米是什么意思？生：就是两棵树之间的“距离”；师：是的，树和树之间都会存在一段距离，我们也可以叫做间隔长度？找 一找

5、，我们教室里哪里有“间隔”。生1：每组前后同学都有一个间隔。生2：老师我的手指和手指之间也有间隔生3：我的衣服上的纽扣之间也有间隔。3、形成猜想师：同学们找到了生活中的间隔，理解了间隔长度，非常好。如果用这条 线段代表1000米的路，每隔5米种一棵，猜一猜，一共需要多少棵树苗呢？快 速告诉老师答案？生 1： 200生 2： 201生 3： 202师：有不同的猜想答案，很好，艾，你们都是怎么想的？生1：因为全长1000米，每隔5米种一棵，所以列成算式就是1000 5=200 （棵）。生2：我认为应该是200还要加上2,因为是两端种的，首尾还各有一棵 嘛。生3：我在课外学过的，两端种应该是加1棵的

6、，不是两棵。师：好像都挺有道理，大家之所以有不同的答案，问题主要集中在算出来 要不要“加儿”上。到底哪个答案是合理的呢？大家能用更加直观的方法，来 验证自己的答案吗？可以用哪些直观方法呢？生：可以画图来说明的。4、化繁为简师：画线段图验证，好办法。你们打算怎样画线段图来验证呢？（如果学生能顺利想出取短的米数来画，就不再演示；如果学生还没有体 验到直接画1000米验证的困难，则再做如下讨论与体验。）师：（课件演示）请看，“两端要种”，先在开头种上一棵，然后每Lf_?ft,隔5米种一棵大家看，种了多§米少米了？生：25米师：一共要种多少米？生：1000米。师：照这样一棵一棵，一直画到10

7、00米？ ！你有什么感想？生：太累了，太麻烦了，太浪费时间了。师：英雄所见略同，1000米太长了，要画200棵左右，直接验证起来太麻 烦了。哎，有没有好办法呢？生：1000米太长了，可以变短一些，这样数小了就要画了。师：化难为易，化繁为简，很好的研究思路。如果间隔长度5米不变，你 现在想取几米来画图呢？生：取100米试一试。生：取20米画图。师：好办法，把1000米先变成（）米，这样每隔5米画一棵，画的棵数就少多了，问题也就变简单多了。师：还可以取多少米。（生想出了： 5米，10米，15米，20米，25米）师：这样一来，虽然不能直接验证了，但可以从简单例子入手，看看间隔 的个数和棵数到底会有什

8、么关系呢？（出示表格）5、举例验证师：现在每位同学从这里选取一两个简单的数据，画一画线段图，然后同 桌轻轻地交流，看看有几个间隔，能种几棵树？6、汇报展示师：你是先画什么，再画什么？生1：我先画一条线段代表20米，然后每隔5米种1棵，可以种5棵。师：从图上你有什么发现？师：间隔数比棵树少了 1。师：你乂是怎么画的，有什么发现？生2：先画一条线段代表30米，然后先想好30米里面有多少个5米，有6 个5米，就把30米平均分成6份，每隔5米种一棵，间隔数是6, 7个间隔 点，棵数是7棵。师：你是先想好30米里面有几个5米，再把它平均分成几份，你能先想再 画，这是很好的思考方式。这个6是怎么得来的，表

9、示什么呀？生：6表示被平均分成了 6份，也就是间隔数量。（汇报展示结束后，老师再随即收集其它数据，并输入表格。）7、发现关系全长间隔长度间隔数棵数105米23205米45305米67 师：通过画图我们找出了间隔数和棵数，现在请你静静地观察表格，你们 有什么发现？生：我发现全长除以间隔长度算出来的是间隔数量。生：我发现棵数比间隔数多了 1,而不是2。师：从简单的例子当中，同学们发现了：间隔数+1二棵数（板书）师：刚才是在怎样种的情况下，才有这样的关系？生：两端都种。（板书：两端种）师：在你们研究的数据当中，有间隔数+1不是等于棵数的例子吗？生：没有。师：同学们找不出反例，说明这个关系是普遍成立的

10、，是一种规律。8、证明关系师：请看，老师也画了一个两端种的线段图，静静的想一想，为什么棵数 比间隔数总是多了 1呢，这个1多在哪里呢？你也可以在自己刚才画的线段图 上指一指。想好后可以和小组同学轻轻的交流自己的方法？（学生交流后汇 报）生1：因为是头尾都种的，我发现先不算尾的那一棵，这样就是一棵跟着 一个间隔，一棵跟着一个间隔，最后多出了尾的那一棵。（学生说好后课件演 示）5米生2：老师也可以先不看头的那棵，这样一个间隔对应着一棵树，刚刚好，所以我认为多出来的1棵在头上。师：两种想法都很好，同学们用一一对应的方法证明了棵数比间隔数多1 的关系。很会思考。师：如果每隔2米种一棵，也会有这样的规律

11、吗？想象一下，如果一直这 样种下去，还会有这样规律吗？师：是的，只要是两端种，一棵对应着一个间隔，最后总是多出一棵，所 以棵数比间隔数总是多了 lo刚才同学们用这种一一对应的方法验证了这样的 规律是正确的。9、解决问题。师：研究到这里，现在你能解决这个问题吗。请你试着列出算式。（请学生 板演，并说解题思路）生板书：10004-5+1=201 （棵）师（追问）：先求什么？，再求什么？为什么要加1呢？生：先求间隔数，再求棵数。因为棵数比间隔数多1,所以要加1。师：让我们回过头来看一看，刚才三个不同的猜想答案哪个是对的？生：201是对的。师：但老师同样也要表扬错的同学，正因为你们有勇气把自己真实的想

12、法 说出来，才有了同学们刚才精彩的研究过程。谢谢你们！10、梳理方法。师：现在让我们回忆一下，刚才我们遇到不同的猜想答案，是通过怎样的 办法，最后成功解决的。生：验证。师：能说具体一点吗？生：难的问题解决不了，举简单的例子，然后发现规律，用规律解决问 题。复杂问题1000米简单问题一发现规律解决师：是的，当我们遇到一个不 能直接解决的难题，像1000米不好 直接画图，怎么办？可以从简单的 例子入手，来发现、验证规律，然 后再来解决。同学们看，当我们面 对一个有挑战性的问题时，我们通 常可以用这样的解题思路去找解题方法。（形成如右图的板书） 三、应用规律，拓展思维1、变式问题（在表格上出示）（1

13、） 一条路全长280米（两端种），每隔4米种一棵，需要多少棵树苗？（2）如果从头到尾种41棵，每隔4米种一棵，从第1棵树到最后一棵有 多少米呢？2、拓展问题出示问题：在一条长2000米的公路两边安装路灯（两端都要安装），每隔 50米安一座。一共要安装多少座路灯？（让学生独立列出算式，并请学生板演，注意收集错误解法的资源，然后 再组织反馈）师：这题有乘2,这题没有？哪种方法对呢？生：因为一边要装401个，两边，所以要乘上2。师：两边和两端有什么不同？生：两边指的是路的两侧，两端是指一边的路的头和尾。师：这道题目和植树问题有什么联系吗？生：很像两端种的植树问题，只不过树变成了灯。3、开放问题出示问

14、题：16米长的一条路，如果在它的一边每隔4米种一棵树，需要儿 棵树？师：看完题后，请快速的告诉老师答案? 生L 5棵生2： 4棵生3： 3棵师：一道题有不同的答案，这是什么回事呢？如果是5棵，是怎么种的？ 生1：如果是两端种的话,就是16+4+1=5棵。生2：这道题没有告诉我们是怎么种的，所以有可能是一端种的，那间隔 数就和棵数相等了，所以也可以是164-4=4 棵。师：3棵呢，怎么种？生3：我觉得两端都不种也是 可以的，我可以画个图来解释。（学生要求到黑板画图），这样棵数反而比间隔数少1 了。师：当怎么种没有限制的时 候，这是一道开放题，这三种答案都可以。（ppt出示三种情境图，让学生更加

15、直观的理解）“两端种”“一端种”“两端不种”师（从情境图中抽象出右图）： 请观察这三种不同的植树情况，它们 有什么联系与区别？生1：我发现间隔数都是4个， 也就是全长除以间隔长度是间隔数。生2：只要记住两端种，一端种和两端都不种就可以推算了。生3：我看记住一端种最好，间隔数和棵数刚好相等，两端种的就加1,都 不种的就减1。师：这三种情况好比三个兄弟，只要深入理解了一个兄弟，其它两位也就 好认识了。4、生活举例师：同学们，其实植树问题不是只和种树有关，在我们的生活中，还有许 多例子与植树问题很相似的。（ppt出示各种生活中的植树问题的原型，让学生 欣赏并引导学生思考属于哪种类型）（排队的问题，人

16、数比间隔数多1,这类似两端要种的；如果排成一个封 闭的图形，人数和间隔数就会相等，类似于一端种的；锯木头，一刀两段，段数比锯的次数就少1,这类似两端不种的）四、丰富背景，挑战难题。师：学到这里，这节课你有什么收获？我们是怎么研究的？还有什么疑 问？（学生回答略）师：其实，同学们的收获才刚刚开始。像植树问题，还有一道至今没有人 解决的世界级难题。（出示题目）20棵树，如果每行种四棵，问怎样种，才能使行数更多？16也己古希腊、古罗马、，修& 完成了 1所排法。（困D18世纪山姆劳埃德完 成了 18行排法.（图2）你猜一猜，可以排多少行呢？（名题简介）20世纪电子计算机的杰作 完成20行葬法

17、（图3）师：同学们有兴趣，课后可以去排一排，期待同学们去发现！也期待破这 项纪录的人，诞生在我们班级的同学身上。（课件出示：）国外有人曾以二十万美金设奖，希望有人能突破20行的世界纪录。【课后再思】策略构建一一凸显“解决问题”的策略性。杨振宇先生曾经说过：“过 去的学习方法是人家指出路你去走，新的学习方法是要自己找路去走。”“植 树问题”虽然被编入数学广角，但它依然不缺少“解决问题”的特性，即问题 的复杂性和策略的模糊性。杨教授所说的“找路”，在“解决问题”教学中无 疑表现为学生主体基于教师引导下的“解题策略”的构建。为使学生对“简 化”思想和“简化”策略体验得更深刻，我把教材原题的“100米

18、”改为1000 米，这样做更能突出“繁”，让学生感受到数据大，才有“化繁”的观念。等学 生猜想答案呈现不一致后，我放手让学生充分暴露各自的思考过程，即尊重了 学生的起点，也造成了思维冲突，引出了画图验证的必要性，激发了学生深入 探究的学习欲望。然后通过对直接画1000米的线段图来验证棵数的不现实性的 体验，让学生领悟到“复杂问题从简单例子入手”的必要性，自然的渗透了“简化思想”，我认为如果仅仅感悟到把问题简化还是远远不够的，需要从简 单例子中探寻出对解决复杂问题有效的“规律”，再用发现的规律帮助解决问 题。从而让学生自主完成了对“复杂问题一一简单问题一一发现规律一一解决 问题”解题策略的构建。

19、在这过程中，学生对原有的解题策略进行了一次全新 的扩充。过程体验呈现“解决问题”的过程性。企孔平教授说：“解决问题的 过程也是学生思维发展的过程”。史宇中教授说：“智慧生成于思考过程 中”。在植树问题这课的教学中，除了让孩子们获得基本知识、基本技能外， 更为重要的是要让孩子们体会到基本的数学思想，获得基本的数学活动经验。 在本节课中我始终朝着这一目标而努力。首先体现在“植树问题”建模的过程 中。学生对问题的信息解读完毕后，猜出了不同的答案，我并没有马上告诉学 生正确的结果是200、201还是202,而是通过“化繁为简”，产生直观画图 研究的需要，让学生自己通过画图，寻找规律；观察表格，让学生发

20、现规律； 通过演绎推理，验证规律，从而建立了 “间隔数+1二棵数（两端种）”这一数量 关系模型。在这建模中，让学生充分经历了从猜想到验证、从发现到证明、从 画图到观察的数学学习过程。此外，我还注意到学生画线段图能力比较薄弱。 这是因为浙教版老教材比较注重培养学生画图解题的能力，学生到四年级左右 基本可以利用线段图来帮助解决数学问题，而新教材人教版却丢失了这一法 宝，学生到四年级还没有系统接触过画线段图解题的学习活动，所以能力就比 较弱。为了培养学生画图能力，我在设计的时候，并没有马上要求学生画线段 图，而是在课件中预伏了 “画的环节”，然后再让学生动手画。必要的尊重学 生的现实起点，我认为才可

21、以帮助学生积累挑一挑能掌握的技能和经验。开放求联一一打通“植树问题”的关联性。如何在最短的时间内让学生跳 出思维定势，丰富学生对“植树问题”内涵和外延的扩充？在完成对两端种的 规律探索和运用后，我乘势抛出一道开放题“在16米长的一条路上，如果每隔 4米种一棵，需要多少棵树？ ”让学生快速报出答案，由于部分学生受经验限 制和思维定势，认为只能种5棵，而能从思维定势跳出来的学生认为也可以种 4棵、3棵，我充分利用这一差异资源，引发讨论，然后呈现生活中两端种、一 端种、两端不种的情景原型，并及时从情境原型中抽象出“几何模型”，初步 鉴别出植树问题的不同类型，通过这样的开放式变式学习，不仅可以打破学生

22、 的思维定势，同时打通了 “植树问题”不同类型的关联性和差异性，让学生明 白解决植树问题还要联系生活实际进行类型鉴别，这也为下节课深入学习其它 几种类型埋下伏笔。珍珠很美，项链更美听植树问题一课有感听了吴老师的课，我最大的感受是：“珍珠很美，项链更美”，吴老师正是 用他那高超的教学艺术，把一颗颗闪克的珍珠，串成一条美丽的项链，展现在 大家面前。我想先和大家找一找珍珠，看一看吴老师乂是怎么串成项链的？ 珍珠一：解决生活问题一浸润思想方法我们先思考一下植树问题的教学目标是什么？是让学生知道“种两端”“种 一端”“两端都不种”这样的解题策略吗？显然不是。如果这样，那么植树问题 完全可以放在解决问题的

23、单元教学中。但是，他却在数学广角中出现，我们知 道数学广角是偏重于学生的数学思维的。那么，在植树问题这课的教学中，我 们该给学生怎样的数学思维呢？我想，吴老师已经在课堂教学中给我们回答 了。首先，吴老师让学生解决“在1000米路上植树”这样的一个生活事例，将 学生带到了数学情境中。我注意到，课本上的例题是在100米的小路上种树 的，而吴老师却将他改成了 1000米。原因何在？一一化归思想。吴老师先把问 题变难，然后再让学生引导学生寻找解决的策略，让学生寻找一种普遍的规 律，将复杂的问题简单化。其次，在学生发现规律后，我注意到吴老师并没有就此罢手。而是继续追 问学生，”如果间隔是2米，两端种，还有这样的规律吗？ 10米呢？为什么只 要是两端种，总会有间隔数+1二棵树呢？ ” 一连串的问题，为学生揭示了植树问 题的本质一一对应思想。这点非常重要，其实就“植树问题”而言，是否真的就只有“两端都种” “只种一端”“两端都不种”这样三种情况。如果在现实中我们所面对的是以下 一些“特殊情况”，如“由于中间是大门，因此就有若干个间隔不需要种 树”，或"如果要求在两端都种两棵树”，或“要求间隔地种树与种 花”，我们乂应如何