人教A版2020届高考数学二轮复习讲义及题型归纳(中档)：圆锥曲线第三章圆锥曲线中的最值、定点、定值

1、第三章圆锥曲线中的最值、定点、定值第一节：最值问题（均值、函数）求以下式子的最值(1)(2)(3)(4)8 -3m21 3m2(8 一m2)= Jg J3m2(8一m2 )<2 3 m _ 2 32. 3m2 33一一 2,3=11 k2 -m2m2 1 - k2 - m2222m 1k - m1 k21 k21 k2(5)3m2 4m2 1设 Mm2 +1 =x,则3 x2 -14 3x2 13x 1x上述式子可以通过配凑，换元，使用均值不等式得到最值k2(6) t =-1 k2t=4=;4 m2 322 m2 8(8) t = j =;, m4 64x4k4-5kl1(9)t =r2

2、=1 =；4 k4 4k2 1上述式子求最值可以通过分离常数法实现.【例1】.设圆x2+y2+2x-15 = 0的圆心为，直线过点 ， 且与轴不重合，交圆 A于，两点，过作的平行线交于点.(1)证明|EA+|EB|为定值，并写出点 的轨迹方程；设点 的轨迹为曲线G,直线交C1于， 两点，过 且与 垂直的直线与圆 交于 ,两点，求四边形面积的取值范围.【解答】解：(I)证明：圆 x2+y2+2x - 15=0 即为(x+1) 2+y2=16 ,可得圆心A ( - 1 , 0),半径r=4 ,由 BE/ AC,可得 /C= /EBD,由 AC=AD ,可得 / D= /C,即为/D=/EBD,即有

3、 EB=ED,贝U | EA|+| EB| = | EA|+| ED| = | AD| =4 ,故E的轨迹为以A, B为焦点的椭圆，且有 2a=4 ,即 a=2 , c=1 , b=,则点E的轨迹方程为一一=1 (yw0);(H)椭圆 Ci: 一+=1 ,设直线 l: x=my +1,由 PQl,设 PQ: y= -m (x-1),由可得(3m 2+4) y2+6my - 9=0 ,设 M(X1, y1), N (X2, y2),A至ij PQ的距离为d= | PQ|=2=2则四边形 MPNQ 面积为 S=-| PQ|?|MN |="? ?12?=24 ?=24 当m=0时，S取得最

4、小值12,又>0,可得S<24?=8即有四边形MPNQ面积的取值范围是12, 8 一）.【例2】 平面直角坐标系xOy中,过椭圆M: x+4 = 1（a>b>0）右焦点的直线x + y J3 = 0交Ma b于A,B两点,P为AB的中点，且OP的斜率为-.2求M的方程； （2）C,D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD _L AB，求四边形ACBD面积的最大值2222解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),贝 U x2 +与=1, x2十与=1 ”一4 =-1, a b a bx2 - x12b x2 x1y21yl /由此可得 221)

5、-21 =1.a y2 必x2 - x1因为 x1 + x2 = 2x0,y1 + y2 = 2y0,=,所以 a2= 2b2.又由题意知，M的右焦点为（J3,0），故a2 b2 = 3.因此a2=6,b2=3.22所以M的方程为+-y-=1 .634 1厂4d73x + y 一出=0， x= 丁，fx = 0,4坛(2)由I22 解得 L或4 L因此|AB|=.x y =1,，3 y = '.3.363y - - 3 ,5 5a/3r由题意可设直线 CD的方程为y=x + n <n <v33y = x n, 22设 C(X3,y3),D(X4,y4).由 «x2

6、y 得 3x + 4nx+2n -6=0.+ =1l63-2n , 2 9 - n2是 X3,4=3因为直线CD的斜率为1,所以|CD|= J2|x4x3| = f J9二n3,_ 1 -8、. 6 2由已知，四边形ACBD的面积S=|CD | | AB|二W，9n298 68,6当n=0时,S取得最大值，最大值为、一.所以四边形ACBD面积的最大值为、一【例3.已知椭圆 一 一 的焦点在x轴上，A是E的左顶点,斜率为k(k >0)的直线交E于A, M两点，点N在E上,MA，NA .(1)当t =4,| AM |3AN |时，求|_AMN的面积；(2)当21AM |=| AN |时，求k

7、的取值范围.【解答】解:(1)方法一、t=4时，椭圆E的方程为一二1,A( - 2,0),直线AM的方程为y=k(x +2),代入椭圆方程，整理可得(3+4k2)x2+16k 2x+16k2 - 12=0,解得 x=2 或 x=-则 |AM|=?|2-1 =?,由 AN LAM,可得| AN | = ?=?,由 | AM | =| AN | ,k>0,可得?=?,整理可得(k - 1)(4k2+k+4)=0,由 4k2+k+4=0 无实根，可得 k=1,即有 4AMN 的面积为一|AM|2 = -?)2=;方法二、由| AM | = | AN | ,可得M,N关于x轴对称，由MA LNA

8、.可得直线AM的斜率为1,直线AM的方程为y=x +2,代入椭圆方程 一+=1，可得7x2+16x+4=0,解得 x= - 2 或-,M( ),N(-,- 一),则4AMN 的面积为一XX( +2)=;(2)直线AM的方程为y=k(x + 一),代入椭圆方程，可得(3+tk2)x2+2t -k2x+t2k2-3t=0,解得x=- -或x=,即有 |AM|=?| | =?,| AN| 一 ?=?,由 21AM | = | AN | ,可得 2?=?3整理得t=,由椭圆的焦点在x轴上，则t>3,即有 3,即有<0,可得一< k<2,即k的取值范围是(一,2).【例4】.已知

9、直线x-2y+2=0经过椭圆 一 一的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线 AS, BS与直线一分别交于M, N两点.(1)求椭圆C的方程；(2)求线段MN的长度的最小值；当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T ,使得LTSB的面积为一？若 存在确定点T的个数，若不存在，说明理由.【解答】解:(1)由已知得，椭圆C的左顶点为A(-2,0),上顶点为 D(0,1), .-.a=2,b=1故椭圆C的方程为一(4分)依题意，直线AS的斜率k存在，且k>0,故可设直线AS的方程为y=k(x +2),从而，由得(1+4卜2伙2+16卜以+16

10、卜2 4=0设S(xi,yi),则得，从而即，(6分)又B(2,0)由得,(8 分)故 -又k>0,. -当且仅当 一,即-时等号成立. -时，线段MN的长度取最小值一(10分)(2)另解:设S(xs,ys),一依题意,A,S,M三点共线，且所在直线斜率存在由kAM=kAS,可得 同理可得：又一所以，=一 一不仿设 yM >0,yN< 0_当且仅当yM= - yN时取等号，即 邛寸，线段MN的长度取最小值一由(2)可知，当MN取最小值时， 一此时BS的方程为， 要使椭圆C上存在点T,使得TSB的面积等于一，只须T到直线BS的距离等于 所以T在平行于BS且与BS距离等于一的直线

11、1'上.设直线1':x+y+t=0,则由一=- -，解得-或-.又因为T为直线1'与椭圆C的交点，所以经检验得-,此时点T有两个满足条件.【例5.已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是Fi(-3,0)，一条渐近线的方程是.(1)求双曲线C的方程；若以k(k #0)为斜率的直线1与双曲线C相交于两个不同的点M , N，且线段MN的垂 直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 一,求k的取值范围.【解答】解:(1)解:设双曲线C的方程为一 一 (a>0,b>0).由题设得_ 二，解得，所以双曲线方程为一 一 .(2)解:设直线1的方程为y=kx +m(k w0).点

12、M(x i,yi),N(X2,y2)的坐标满足方程组 _ _将式代入式，得一 ，整理得(5 - 4k2)x2 - 8kmx -4m2-20=0.此方程有两个不等实根，于是5-4k2*0,且=( - 8km) 2+4(5 - 4k2)(4m2+20)>0.整理得m2+5-4k2>0.由根与系数的关系可知线段 MN的中点坐标(X0,y0)满足从而线段MN的垂直平分线方程为 -.此直线与x轴,y轴的交点坐标分别为 .由题设可得整理得 ,kw0.将上式代入式得 ,整理得(4k2 5)(4k2 |k| 5)>0,kw0.解得 << 一或一.所以k的取值范围是 一 一 一一

13、【例6.已知椭圆 一 一的离心率为一,短轴一个端点到右焦点的距离为二求椭圆的方程；设直线 与椭圆 交于、两点，坐标原点 到直线的距离为一，求面积的最大值.【解答】解:(1)设椭圆的半焦距为c,依题意 一 b=1, 所求椭圆方程为设 A(xi,yi),B(X2,y2).(1)当ABx轴时,当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx +m.一寸由已知 把y=kx +m代入椭圆方程，整理得(3k2+1)x2+6kmx +3m2 - 3=0,.|AB|2=(1 +k2)(x2-xi)2当且仅当一,即一时等号成立.当k=0时， 一，综上所述|AB|max=2. .当|AB|最大时,ZXAOB面积取

14、最大值一【例7.如图，点- 是椭圆Ci： 的一个顶点,Ci的长轴是圆C2：x2+y2 =4的直径，IM2是过点 且互相垂直的两条直线，其中li交圆C2于A、B两 点，12交椭圆Ci于另一点D.(1)求椭圆Ci的方程；求 面积的最大值时直线li的方程.解答】解:(1)由题意可得b=1,2a=4,即a=2.椭圆Ci的方程为一;设 A(xi,yi),B(X2,y2),D(xo,yo).由题意可知：直线li的斜率存在，设为k,则直线li的方程为y=kx - i.又圆的圆心0(0,0)到直线li的距离d=.，消去 y 得至1j(4+k2)x2+8kx=0, . | AB 产又l2，li,故直线12的方程

15、为x+ky+k=0,联立 .|PD产.三角形ABD的面积S二-令 4+k2=t >4,贝U k2=t 4,f(t尸=，当且仅一,即,当时取等号,故所求直线11的方程为8】.平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于 两点，为的中点，且的斜率为一.(1)求的方程(2) 为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值.【解答】解：(1)把右焦点(c,0)代入直线x+y - =0得c+0- =0，解得c二 一.设 A(xi,yi),B(X2,y2),线段 AB 的中点 P(xo,yo),则，相减得一)，又-=一,一 ，即 a2=2b 2.联立得，解得 ，. M的方程为一 一 (2) ; CD

16、 ±AB,可设直线CD的方程为y=x +t,联立 _ _，消去 y 得到 3x2+4tx +2t2 - 6=0,V直线CD与椭圆有两个不同的交点， .=16t 2 - 12(2t 2 - 6)=72 - 8t2>0,解-3Vt< 3(*).设 C(X3,y3),D(X4,y4), ；-.|CD|=联立得到3x2 - 4 x=0,解得x=0或-交点为 A(0,),B - l,| AB| =.S 四边形 ACBD = -= - =当且仅当t=0时,四边形ACBD面积的最大值为- 二满足(*).一四边形ACBD面积的最大值为-一.【例9.已知椭圆一上两个不同的点关于直线一对称.

17、(1)求实数的取值范围；求 面积的最大值(为坐标原点).，可【解答】解:(1)由题意，可设直线AB的方程为x= - my+n,代入椭圆方程一得(m2+2)y2 - 2mny +n2 - 2=0,设 A(xi,yi),B(X2,y2).由题意,A=4m 2n2 - 4(m 2+2)(n 2 2)=8(m 2 n2+2)>0,设线段 AB 的中点 P(x0,y0),则 .X0= - m X+n=,由于点 P 在直线 y=mx +-上,=,代入4>0,可得 3m 4+4m2-4>0,解得 m2 -< 一或 m .(2)直线AB与x轴交点横坐标为n, $ oab= -= -|

18、n| ?=,由均值不等式可得：n2(m2-n2+2) =,一Saaob-=，当且仅当 n2=m2 n2+2,即 2n2=m 2+2，又丁 ，解得m= ,当且仅当m=时,S"ob取得最大值为 一.【例10.如图，已知抛物线x2=y，点 ， ，抛物线上的点-一,过点作直线的垂线，垂足为.求直线 斜率的取值范围；(2)求|PA|?|PQ|的最大的.【解答】解:(1)由题可知P(x,x2),-x<-所以 kAP=x 一 q 1,1),故直线AP斜率的取值范围是:(-1,1);(2)由(I)知 P(x,x2),-<x<-所以 =( x, x2),设直线AP的斜率为k,贝U k

19、=x - -，即x=k +-,贝U AP:y=kx +-kK,BQ:y= - -x+,联立直线AP、BQ方程可知Q(),故=(),又因为=(1 k, k2 k),故一|PA|?|PQ|=? =+=(1 +k)3(k- 1),所以 | PA| ?| PQ| =(1 +k)3(1 - k),令 f(x)=(1 +x)3(1 - x), - 1 < x< 1,则 f(x)=(1 +x)2(2 4x)= - 2(1 +x)2(2x 1),由于当1<x<一时 f'(x)>0,当一<x< 1 时 f'(x)<0,故 f(x) max =f(-

20、)=,即 | PA| ?| PQ | 的最大值为一【例11.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率且椭圆上的点到点的距离的最大值为.求椭圆的方程；在椭圆 上，是否存在点，使得直线与圆O : X2 + y2 =1相交于不同的两点、，且的面积最大？若存在，求出点 的坐标及对应的的面积;若不存在，请说明理由.解答】解：(1)由得a2=3b 2,椭圆方程为x2+3y2=3b 2椭 圆 上 的 点 到 点 Q 的 距 离当-b0-1时，即b1,得b=1当-b> - 1时，即b<1,得b=1(舍)b=1椭圆方程为一假设M(m,n)存在，则有m2+n2>1.| AB产 ，点O到直线l距离 :

21、 m2+n2>1.0<<1,.,.当且仅当，即m 2+n2=2 >1时,Saob取最大值一,又二一解得：所以点 M 的坐标为一一或 一一或 一或 ,AAOB 的面积为一.的离心率为一，是椭圆的右焦【例12.已知点A(0,-2)，椭圆 一 一点，直线的斜率为,为坐标原点.求的方程；设过点的直线与相交于 两点，当的面积最大时，求的方程.【解答】解：(1)设F(c,0),由条件知，得一 又一 一，所以 a=2,b2=a2-c2=1,故 E 的方程一.(5 分)依题意当l，x轴不合题意，故设直线l:y=kx - 2,设P(xi,yi),Q(X2,y2)将y=kx - 2代入一阳

22、1+4k2)x2 16kx+12=0,当=16(4k 2 3)>0,即一时,从而又点O到直线PQ的距离 ，所以4OPQ的面积 -=,，则t>0,当且仅当t=2,k= 土一等号成立，且满足AA。，所以当ZXOPQ的面积最大时，1的方程为:y= x - 2或y=x- 2.【例13.已知椭圆一 一的焦距为，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆 的标准方程；设 为椭圆 的左焦点，为直线上任意一点，过 作的垂线交椭圆 于点证明：平分线段(其中 为坐标原点)；当一最小时，求点的坐标.【解答】解：(1)依题意有一解得所以椭圆C的标准方程为一+=1.(2)设 T(-3,t),

23、P(xi,yi),Q(X2,y2),PQ 的中点为 N(xo,y。),证明:由F(-2,0)，可设直线PQ的方程为x=my -2,则PQ的斜率 一由？(m2+3)y2 4my 2=0,所以于是 ，从而 ,即，则直线ON的斜率 一，又由PQ XTF知，直线TF的斜率 一一，得t=m.从而，即kOT=kON,所以O,N,T三点共线，从而OT平分线段PQ,故得证.由两点间距离公式得,由弦长公式得=所以，则一（当且仅当x2=2时，取“二”所以当 最小时，由x2=2=m 2+1，得m=1或m= - 1,此时点T的坐标为（-3,1）或（-3,- 1).【例14.已知抛物线 的顶点为原点，其焦点到直线的距离

24、为一，设 为直线 上的点，过点 作抛物线 的两条切线，其中 为切点.求抛物线的方程；当点P(Xo,y0 )为直线 上的定点时，求直线AB的方程；当点在直线上移动时，求的最小值.【解答】解:(1)焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y - 2=0的距离一 ，解得c=1,所以抛物线C的方程为x2=4y,设 -,由得抛物线C的方程为-，所以切线PA,PB的斜率分别为-,所以PA:- 一PB: 一 -联立可得点P的坐标为，即 ,又因为切线PA的斜率为- ，整理得-，直线AB的斜率7-,所以直线AB的方程为-，整理得 一 一 一，即 一 ,因为点P(xo,yo)为直线l:x - y - 2=0

25、上的点，所以xo yo 2=0,即yo=x 0-2,所以直线AB的方程为xOx-2y - 2y0=0.(3)根据抛物线的定乂，有-，所以=-,由(2)得 xi+X2=2x 0,xiX2=4y o,xo=y o+2,所以-= .所以当 -时，的最小值为一第二节：定点、定值【例1】.已知三点-，曲线 上任意一点满足.(1)求曲线的方程；动点Q(%,y0)(-2<X0<2)在曲线 上，曲线 在点 处的切线为直线：是否存在定点< ，使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比是常数？若存在，求的值.若不存在，说明理由.【解答】解：(1)由 =(-2-x,1 -y),=(2x,1y)可得

26、+=( - 2x,2 - 2y), I + 产？(+)+2=(x,y) ?(0,2)+2=2y +2.由题意可得=2y+2,化简可得x2=4y.假设存在点P(0,t)(t <0),满足条件,则直线PA的方程是y=，直线PB的方程是y=''' 2<X0<2,；< <当-1<t<0 时，<<,存在 xo C( - 2,2)，使得. l / PA, .当-1 <t<0时，不符合题意；当t0 -1时,<一,l与直线PA,PB 一定相交，分别联立方程组，解得D,E的横坐标分别是 V | FP| =-=X. X

27、0G(-2,2),AQAB与4PDE的面积之比是常数,解得 t= - 1,.QAB与4PDE的面积之比是2.【例2.如图，椭圆 一 一的离心率是一,点在短轴上，且？求椭圆的方程；设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于、两点.是否存在常数，使得?为定值？若存在，求 的值;若不存在，请说明理由.【解答】解:(1)根据题意，可得C(0, b),D(0,b),又.(0,1)，且？ = - 1,，解彳3a=2,b=椭圆E的方程为:一+=1;(2)结论:存在常数/=1，使得 ？ +入？ 为定值-3.理由如下:对直线AB斜率的存在性进行讨论当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx +1,A(xi,y

28、i),B(X2,y2),联立 ，消去 y 并整理得:(1+2k2)x2+4kx - 2=0,=(4k) 2+8(1 +2k2)>0,xi+x2=,xix2=,从而 ？+ 入 ？ =x ix2+yiy2+% xix2+(yi 1)(y 2 1)=(1 + H(1+k2)xix2+k(xi+x2)+1=入2.当人 =1时,入2= 3,此时 ？ +入？ =-3为定值；当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD,此时？+入？=+=21=3;故存在常数/=1，使得？ +入？ 为定值-3.【例3.如图，在平面直角坐标系中,椭圆一 一的左、右焦点分别为Fi(-c,0),F2(G。).已知和 一都在

29、椭圆上，其中 为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程；设 是椭圆上位于 轴上方的两点，且直线AFi与直线BF2平行，AF2与BFi交于点.(i)若AFi- BF2 =,求直线AFi的斜率;(ii)求证:PF1+PF2是定值.【解答】（1）解：由题设知a2=b2+c2,e=一,由点（1,e）在椭圆上，得 b=1,c 2=a2 - 1.由点（e,一）在椭圆上，得 一 , a2=2椭圆的方程为一.解:由（1）得 F1（-1,0）,F2（1,0）,又V直线AF1与直线BF2平行,设AF1与BF2的方程分别为x+1=my,x - 1=my.设 A（x1,y1）,B（x2,y2）,y1>0,y2>

30、0,由，可得（m2+2）- 2my 1 - 1=0. （舍），-' | AF1I =X | 0 - y1| =同理| BF2| =(i)由彳4|AFi| TBF2|=,.- ,解得 m2=2.; 注意至 1 m>0, m= .直线AFi的斜率为.另解:设直线AFi的方程为(t为参数,a为倾斜角),代入椭圆方程，可得(cos 2 a+2sin 2 a)t2 - 2tcos a 1=0,可设 AFi=t 1,.ti=AFi在x轴上方,t2在x轴下方，设直线FiA交椭圆于C,则FiC=F2B,由于对称，B、C座标互为相反数， .t2= - BF2.由题意可得 tl+t2=,解得 cos

31、 a=,sin a=，即有 tan a=.直线AFi的斜率为一.(ii)证明：.直线AFi与直线BF2平行,一.一一，即 .由点B在椭圆上知，-,.- -.同理 -. .PFi+PF2= =由得， , . PFi+PF2= . ; PF1+PF2 是定值.【例4.已知椭圆 过点两点.(1)求椭圆 的方程及离心率；设 为第三象限内一点且在椭圆上，直线与 轴交于点，直线 与 轴交于点，求证:四边形的面积为定值.【解答】(1)解:二.椭圆C：+=1过点A(2,0),B(0,1)两点，a=2,b=1,贝U二椭圆C的方程为一，离心率为e=一;证明:如图，设P(xo,yo),则,PA所在直线方程为y=,取

32、 x=0,得 ;B,pb所在直线方程为,取 y=0,得.|AN|=,| BM | =1 -.四边形ABNM的面积为定值2.【例5】.已知抛物线C : y2 =2px经过点 ，过点 的直线 与抛物线 有两个不同的交点，且直线交轴于，直线 交轴于.求直线 的斜率的取值范围；设 为原点，求证:-为定值.【解答】解:(1)二.抛物线C:y2=2px经过点P(1,2), . .4=2p,解彳# p=2,设过点(0,1)的直线方程为y=kx +1,设 A(xi,yi),B(X2,y2)联立方程组可得，消 y 可得 k2x2+(2k - 4)x+1=0, .=(2k 4)2 4k2>0,且 kw0 解

33、得 k<1,且 kW0,x1+x2= -,x1x2=,又V PA、PB要与y轴相交，.直线l不能经过点(1, - 2)，即k W - 3,故直线l的斜率的取值范围(-00,-3) U(-3,0) U (0,1);(2)证明:设点 M(0,y M),N(0,yN),则 =(0,y m - 1),=(0, - 1)因为 二入，所以yM- 1= yM 1,故/=1-yM，同理仙=1 yN,直线 PA 的方程为 y-2=(x-1)=(x- 1)=(x-1),令 x=0，得yM =，同理可得 yN =，因为【例6.已知椭圆 一 一的离心率为，的面积为.求椭圆的方程；设是椭圆上一点，直线 与轴交于点

34、，直线 与轴交于点.求证：|AN |?| BM | 为定值.【解答】解:(1)由题意可得e= _=一,XAOAB的面积为1,可得ab=1,且 a2 - b2=c2,解得 a=2,b=1,c=,可得椭圆C的方程为一+y2=1;(2)证法一:设椭圆上点P(x0,y0),可得 xo2+4yo2=4,直线 PA:y=(x - 2),令 x=0,可得 y= ,则 | BM | = | 1 +1 ；直线 PB:y=x+1，令 y=0,可得 x=,则|AN| = |2+| .可得 | AN | ?| BM | = | 2+1 ?| 1+1=| | = |=|1 =4,即有|AN|?| BM|为定值4.证法二

35、:设 P(2cos 9,sin 9),(0 < 9<2 兀)，直线 PA:y=(x - 2),令 x=0,可得 y=-则 |BM|=|1;直线PB:y=x+1，令 y=0,可得 x=则 | AN | 二|.即有 | AN | ?| BM | = |1?1二2|=2|I =4.则| AN | ?| BM |为定值4.【例7】.设椭圆M：的左顶点为A、中心为O,若椭圆M过点求椭圆M的方程;的顶点Q也在椭圆M上，试求面积的最大值;过点A作两条斜率分别为的直线交椭圆M于，求证：直线 DE恒过一个定点.解： 由又A点坐标为 因为椭圆M过P点，故一所以椭圆M的方程为的方程为二所以一 分 一当&

36、#163;,即- 时，取最大值.由于Q是椭圆M上的点，故可设分故 的最大值为一- 分直线AD方程为，代入，可得又 ，故 ， 分同理可得 ，又且 ，可得 一且，所以 ，二 ,直线DE的方程为 ， 分令 ，可得 -故直线DE过定点 ，分法二若DE垂直于y轴，则，此时 与题设矛盾.若DE不垂直于y轴，可设DE的方程为，将其代入，可得，可得， 分可得， 分故 ,可得 或，又DE不过A点，即 ，故所以DE的方程为，故直线DE过定点 ，分【例8.已知椭圆：一 一的离心率为一，四个顶点构成的菱形的面积是4,圆M:过椭圆C的上顶点A作圆M的两条切线分别与椭圆 C相交于，两点不同于点，直线的斜率分别为求椭圆C的

37、方程;当r变化时， 求 的值；试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.解：由题设知，-，又，解得 ，故所求椭圆C的方程是一:,则有=，化简得，对于直线AD ：,同理有，于是，是方程的两实根，故考虑到 时，D是椭圆的下顶点，B趋近于椭圆的上顶点，故 BD若过定点，则猜想定点在 y轴上.由_，得，于是有 ，.直线BD的斜率为，直线BD的方程为 ，令 ，得 -,的离心率是一，一个顶点是故直线BD过定点 ，-.【例9.如图，已知椭圆C：I求椭圆C的方程；n设， 是椭圆C上异于点b的任意两点，且试问:直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由.I解：设椭圆

38、C的半焦距为 依题意，得 ， 分且 一一分解得分所以，椭圆C的方程是一分n证法一：易知，直线 PQ的斜率存在，设其方程为分将直线PQ的方程代入，消去y,整理得分设， ，则， 分因为，且直线，的斜率均存在，所以，整理得分因为，所以，将代入，整理得分将代入，整理得分解得 二或 舍去.所以，直线PQ恒过定点，- 分证法二：直线，的斜率均存在，设直线 BP的方程为分将直线BP的方程代入，消去y,得分解得 ，或 分设 ，所以 一，一，所以 ， 分以-替换点P坐标中的k,可得一，一 分从而，直线PQ的方程是一.依题意，若直线 PQ过定点，则定点必定在 y轴上 分在上述方程中，令，解得所以，直线PQ恒过定点

39、，- 分【例10.已知椭圆C： ,四点 ，一，一中恰有三点在椭圆 C上.求C的方程；设直线l不经过 点且与C相交于，两点若直线 与直线 的斜率的和为，证明：l过定点.解： 根据椭圆的对称性，一， ，一两点必在椭圆C上，又的横坐标为，椭圆必不过，,，,，三点在椭圆C上.把， ，二代入椭圆C,得：_ _ ，解得 ，椭圆C的方程为一证明：当斜率不存在时，设1:,直线 与直线的斜率的和为，解得 ，此时1过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.当斜率存在时，设1:,联立,存在k,使得直线l的方程为当 时，过定点 ，【例11 1.已知椭圆C：的左、右顶点分别为,其离心率 -，点P为椭圆上的一个动点,面积的

40、最大值为I求椭圆的标准方程；n动直线1过椭圆的左焦点，且1与椭圆C交于， 两点，试问在x轴上是否存在定点 D,使得为定值？若存在，求出点 D坐标并求出定值；若不存在，请说明理由.由题意,椭圆的标准方程为n假设存在定点，使得向量为定值n.当直线1的斜率不为。时，椭圆C左焦点,消去X,得设直线1的方程为若为定值n,则-，即一，此时 .当直线l的斜率为0时， ， 一，亦符合题意；存在点 一，使得向量为定值 .【例12.已知定点，定直线l:，动点P到点F的距离与到直线l的距离之比等于-.I求动点P的轨迹E的方程；n设轨迹E与X轴负半轴交于点 A,过点F作不与x轴重合的直线交轨迹 E于两点B、C,直线A

41、B、AC分别交直线l于点M、 试问：在x轴上是否存在定点 Q,使得？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解： I 设点 ，依题意，有两边平方，整理得一一所以动点P的轨迹E的方程为一 一n设bc的方程为，代入椭圆方程，整理得，设，则，, 直线AB的方程为 ，直线AC的方程为 ，从而 ，即， 或7时，综上所述，在x轴上存在定点，或，使得【例13.如图，点F是抛物线的焦点，点A是抛物线上的定点，且点，是抛物线上的动点，直线求抛物线的方程；n若，点D是点，为S,证明S为定值.解：I设，可知,斜率分别为，.处切线的交点，记的面积_，代入，得抛物线的方程为n过D作y轴的平行线交BC于点E,并设

42、，一，一，由I得，.直线一 一，直线一 一，解得.直线BC的方程为，将代入得.的面积为值【例14.已知定直线1：，定点 ，以坐标轴为对称轴的椭圆I求椭圆的标准方程；n椭圆的弦 ， 的中点分别为 ，若mn平行于1,则， 斜%7EC过点A且与1相切.率之和是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由.解：I设椭圆的标准方程为，椭圆C过点A,所以， 分将代入椭圆方程化简得：，因为直线l与椭圆C相切，所以，分解 可得，所以椭圆方程为一一；分n设点 ， ，则有 ，由题意可知，所以，设直线PQ的方程为，代入椭圆方程并化简得：由题意可知分通分后可变形得到 分将式代入分子所以，斜率之和为定值分【例15.已知抛物线G：，过焦点F的动直线l与抛物线交于， 两点，线段AB的中点为M.当直线l的倾斜角为一时,求抛物线G的方程;为定值，并求出该定值.对于 问中的抛物线G,若点 ，求证:解： 抛物线G:，知