微分方程习题课学习教案

1、会计学1微分方程微分方程(wi fn fn chn)习题课习题课第一页，共53页。基本概念基本概念一阶方程一阶方程(fngchng) 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.可化为齐次可化为齐次方程方程5.5.全微分方程全微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)6.6.线性方程线性方程7.7.伯努利方程伯努利方程(fngchng)(fngchng)可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4欧拉方程欧拉方程二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构

2、方程解的结构特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式高阶方程高阶方程待定系数法待定系数法特征方程法特征方程法一、主要内容一、主要内容第1页/共52页第二页，共53页。微分方程解题微分方程解题(ji t)思路思路一阶方程一阶方程(fngchng)高阶方程高阶方程(fngchng)分离变量法分离变量法全微分方程全微分方程常数变易法常数变易法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法非全微分方程非全微分方程非变量可分离非变量可分离幂级数解法幂级数解法降阶降阶作变换作变换作变换作变换积分因子积分因子第2页/共52页第三页，共53页。1 1、基本概念

3、、基本概念微分方程凡含有微分方程凡含有(hn yu)(hn yu)未知函数的导数或微分的方未知函数的导数或微分的方程叫微分方程程叫微分方程微分方程的阶微分方程中出现微分方程的阶微分方程中出现(chxin)(chxin)的未知的未知函数的最函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数函数(hnsh)(hnsh)称为微分方程的解称为微分方程的解 第3页/共52页第四页，共53页。通解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任通解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程

4、的阶数相同，这样意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样(zhyng)(zhyng)的解叫做微分方程的通解的解叫做微分方程的通解特解确定了通解中的任意常数特解确定了通解中的任意常数(chngsh)(chngsh)以后得以后得到的解，叫做微分方程的特解到的解，叫做微分方程的特解初始条件用来确定初始条件用来确定(qudng)任意常数的条件任意常数的条件.初值问题初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题初值问题第4页/共52页第五页，共53页。dxxfdyyg)()( 形形如如(1) 可分离变量可分离变量(binling)的微分方的微分方程程解解法法(j

5、i f) dxxfdyyg)()(分离分离(fnl)变量法变量法2 2、一阶微分方程的解法、一阶微分方程的解法)(xyfdxdy 形如形如(2) 齐次方程齐次方程解法解法xyu 作变量代换作变量代换第5页/共52页第六页，共53页。1)0()5(yyydxdy0dd35yxy第6页/共52页第七页，共53页。)(111cybxacbyaxfdxdy 形如形如齐次方程齐次方程(fngchng),01时时当当 cc，令令kYyhXx ,（其中（其中(qzhng)h和和k是待定是待定的常数）的常数）否则否则(fuz)为非齐次为非齐次方程方程(3) 可化为齐次的方程可化为齐次的方程解解法法化为齐次方程

6、化为齐次方程第7页/共52页第八页，共53页。35xyxydxdy第8页/共52页第九页，共53页。)()(xQyxPdxdy 形形如如(4) 一阶线性微分方程一阶线性微分方程(wi fn fn chn), 0)( xQ当当上方程上方程(fngchng)称为称为齐次的齐次的上方程上方程(fngchng)称为非齐称为非齐次的次的., 0)( xQ当当齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey（使用分离变量法）（使用分离变量法）解法解法第9页/共52页第十页，共53页。非齐次微分方程非齐次微分方程(wi fn fn chn)的通解为的通解为 dxxPdxxPeCdxexQy)()()(

7、（常数（常数(chngsh)变易法）变易法）(5) 伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程(fngchng)nyxQyxPdxdy)()( 形如形如)1 , 0( n方程为线性微分方程方程为线性微分方程.时时，当当1 , 0 n 方程为非线性微分方程方程为非线性微分方程.时时，当当1 , 0 nxyxy25edd第10页/共52页第十一页，共53页。解法解法 需经过变量需经过变量(binling)(binling)代换化为线性微分代换化为线性微分方程方程,1 nyz 令令. )1)()()1()()1(1 cdxenxQezydxxPndxxPnn0),(),( dyyxQdxyxP其中其

8、中(qzhng)dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 形如形如(6) 全微分方程全微分方程(wi fn fn chn)第11页/共52页第十二页，共53页。xQyP 全全微微分分方方程程注意注意(zh y)：解法解法(ji (ji f)f)应用曲线积分与路径应用曲线积分与路径(ljng)无关无关. yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxPdyyxQxxyy .),(cyxu 用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法.通解为通解为第12页/共52页第十三页，共53页。(7) 可化为全微分方程可化为全微分方程(wi fn fn chn).

9、(xQyP 非全微分方程非全微分方程0),(),( dyyxQdxyxP形如形如 若若0),( yx 连连续续可可微微函函数数，且且可可使使方方程程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx 成成为为全全微微分分方方程程.则则称称),(yx 为为方方程程的的积积分分因因子子.第13页/共52页第十四页，共53页。公式公式(gngsh)法法:)(1xQyPQ 若若)(xf ;)()( dxxfex 则则)(1yPxQP 若若)(yg .)()( dyygey 则则观察法观察法: :熟记常见函数的全微分熟记常见函数的全微分(wi fn)表达式，通过观察直接找出积分因子表达式，通过观察

10、直接找出积分因子第14页/共52页第十五页，共53页。常见常见(chn jin)的全微分表达式的全微分表达式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xyarctgdyxydxxdy22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122可选用可选用(xunyng)积分因子积分因子.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx 第15页/共52页第十六页，共53页。0d)ln(d3yxyxxy0dd)2(yxxyx第16页/共52页第十七页，共53页。3 3、可降阶的高阶微分方程、可降阶的高阶微分方程(wi fn

11、 fn (wi fn fn chn)chn)的解法的解法解法解法(ji f),(xPy 令令特点特点(tdin). y不不显显含含未未知知函函数数),()2(yxfy 型型)()1()(xfyn 接连积分接连积分n次，得通解次，得通解 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得).(,(xPxfP ,Py 第17页/共52页第十八页，共53页。),(xPy 令令特点特点(tdin). x不显含自变量不显含自变量),()3(yyfy 型型解法解法(ji f)代入原方程代入原方程(fngchng), 得得).,(PyfdydpP ,dydpPy 、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结构（1 1）

12、二阶齐次方程解的结构）二阶齐次方程解的结构: :)1(0)()( yxQyxPy形形如如第18页/共52页第十九页，共53页。定定理理 1 1 如如果果函函数数)(1xy与与)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的两两个个解解, ,那那末末2211yCyCy 也也是是( (1 1) )的的解解. .（21,CC是是常常数数）定定理理 2 2：如如果果)(1xy与与)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解, , 那那么么2211yCyCy 就就是是方方程程( (1 1) )的的通通解解. .（2 2）二阶非齐次线性方程）二阶非齐次线性方程(xin xn

13、 fn (xin xn fn chn)chn)的解的结构的解的结构: :)2()()()(xfyxQyxPy 形如形如第19页/共52页第二十页，共53页。定理定理 3 3 设设*y是是)2(的一个特解的一个特解, , Y是与是与(2)(2)对应对应的齐次方程的齐次方程(1)(1)的通解的通解, , 那么那么*yYy 是二阶是二阶非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程(2)(2)的通解的通解. .定理定理 4 4 设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函数之和数之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程,

14、, )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. .第20页/共52页第二十一页，共53页。011122xtdtdxttdtxd , , tet111122txtdtdxttdtxd试验(shyn)证有基本(jbn)解组并求方程(fngchng) 的通解。第21页/共52页第二十二页，共53页。、二阶常系数齐次线性方程、二阶常系数齐次线性方程(xin (xin xn fn chn)xn fn chn)解法解法)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn 形形如如n阶常系数阶常系数(xsh)线性微

15、分方程线性微分方程0 qyypy二阶常系数二阶常系数(xsh)齐次线性方程齐次线性方程)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.第22页/共52页第二十三页，共53页。02 qprr0 qyypy 特特征征根根的的情情况况 通通解解的的表表达达式式实实根根21rr 实实根根21rr 复复根根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 特征方程为特征方程为第23页/共52页

16、第二十四页，共53页。01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 jk复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110推广：推广： 阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法n第24页/共52页第二十五页，共53页。、二阶常系数非齐次线性微分方程、二阶常系数非齐次线性微分方程(wi (wi fn fn chn)fn fn chn)解法解法)(xfqyypy 二阶常系数二阶常系数(xsh

17、)非齐次线性方程非齐次线性方程型型)()()1(xPexfmx 解法解法(ji f)待定系数法待定系数法., )(xQexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根 2,10k第25页/共52页第二十六页，共53页。型型sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 设设次次多多项项式式，是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max .1;0是特征方程的单根时是特征方程的单根时不是特征方程的根时不是特征方程的根时 jjk第26页/共52页第二十七页，共53页。7 7、欧拉方程、欧拉方程(fngc

18、hng)(fngchng) 欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换 可化为常系数微分方程可化为常系数微分方程.xtextln 或或)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn 的方程的方程(fngchng)(其其中中nppp21,形如形如叫欧拉方程叫欧拉方程(fngchng).为常数为常数)，第27页/共52页第二十八页，共53页。texdtdxdtxd22256135622xeydxdydxydx第28页/共52页第二十九页，共53页。 当微分方程当微分方程(wi fn fn chn)的解不的解不能用初等函数或其积分表达时能用初等函数或其

19、积分表达时, 常用幂级数解常用幂级数解法法.8 8、幂级数解法、幂级数解法(ji (ji f)f)求方程(fngchng)2dyxydx经过(0,0)的第三次近似解 注意：解的存在唯一性定理条件及意义第29页/共52页第三十页，共53页。二、典型二、典型(dinxng)例例题题.)cossin()sincos(dyxyxxyyxdxxyyxyxy 求求通通解解例例1 1解解原方程原方程(fngchng)可化为可化为),cossinsincos(xyxyxyxyxyxyxydxdy 第30页/共52页第三十一页，共53页。,xyu 令令.,uxuyuxy 代入原方程代入原方程(fngchng)得

20、得),cossinsincos(uuuuuuuuxu ,cos2cossinxdxduuuuuu 分离分离(fnl)变量变量两边两边(lingbin)积积分分,lnln)cosln(2Cxuu ,cos2xCuu ,cos2xCxyxy 所求通解为所求通解为.cosCxyxy 第31页/共52页第三十二页，共53页。.32343yxyyx 求求通通解解例例2 2解解原式可化为原式可化为,32342yxyxy ,3223134xyxyy 即即,31 yz令令原式变为原式变为,3232xzxz ,322xzxz 即即对应对应(duyng)齐方通解为齐方通解为,32Cxz 一阶线性非齐方程一阶线性非

21、齐方程(fngchng)伯努利方程伯努利方程(fngchng)第32页/共52页第三十三页，共53页。,)(32xxCz 设设代入非齐方程代入非齐方程(fngchng)得得,)(232xxxC ,73)(37CxxC 原方程原方程(fngchng)的的通解为通解为.73323731xCxy 利用利用(lyng)常数变易法常数变易法第33页/共52页第三十四页，共53页。. 0324223 dyyxydxyx求求通通解解例例3 3解解)2(3yxyyP ,64yx )3(422yxyxxQ ,64yx )0( y,xQyP 方程方程(fngchng)为全微为全微分方程分方程(fngchng).第

22、34页/共52页第三十五页，共53页。(1) 利用利用(lyng)原函数法求解原函数法求解:,2),(3yxxuyxu 则则设设原原函函数数为为),(),(32yyxyxu ,求导求导两边对两边对 y),(33142422yyxyxyyu ,1)(2yy 解解得得,1)(yy 故方程故方程(fngchng)的通解为的通解为.1232Cyyx 第35页/共52页第三十六页，共53页。(2) 利用利用(lyng)分项组合法求解分项组合法求解:原方程原方程(fngchng)重新组合重新组合为为, 0)1()(32 ydyxd即得即得, 01)32(2423 dyydyyxdxyx故方程故方程(fng

23、chng)的通解为的通解为.1232Cyyx 第36页/共52页第三十七页，共53页。(3) 利用曲线利用曲线(qxin)积分求解积分求解:,32422),()1 ,0(3Cdyyxydxyxyx ,312142203Cdyyxydxxyx 即即.113212Cyxyxyy 故方程故方程(fngchng)的通解为的通解为.1232Cyyx 第37页/共52页第三十八页，共53页。. 0)2()2(2222 dyxyxdxyyx求通解求通解例例4 4解解, 22 yyP, 22 xxQ,xQyP 非全微分方程非全微分方程(wi fn fn chn).利用积分利用积分(jfn)因子法因子法:原方程

24、原方程(fngchng)重新组合为重新组合为),(2)(22xdyydxdydxyx 第38页/共52页第三十九页，共53页。222yxxdyydxdydx ,)(1)(22xyxyd ,ln11lnCxyxyyx 故方程故方程(fngchng)的通解为的通解为.yxyxCeyx 第39页/共52页第四十页，共53页。.212yyy 求通解求通解例例5 5解解.x方方程程不不显显含含,dydPPyPy 令令代入方程代入方程(fngchng)，得，得,212yPdydPP ,112yCP 解解得得，, 11 yCP, 11 yCdxdy即即故方程故方程(fngchng)的通解为的通解为.1221

25、1CxyCC 第40页/共52页第四十一页，共53页。. 1)1()1(,2 yyexeyyyxx求求特特解解例例6 6解解特征方程特征方程, 0122 rr特征特征(tzhng)根根, 121 rr对应对应(duyng)的齐次方程的通解为的齐次方程的通解为.)(21xexCCY 设原方程设原方程(fngchng)的的特解为特解为,)(2*xebaxxy ,2)3()(23*xebxxbaaxy 则则,2)46()6()(23*xebxbaxbaaxy 第41页/共52页第四十二页，共53页。代入原方程比较系数得代入原方程比较系数得将将)( ,)( ,* yyy,21,61 ba原方程原方程(

26、fngchng)的一个特的一个特解为解为,2623*xxexexy 故原方程故原方程(fngchng)的通解为的通解为.26)(2321xxxexexexCCy , 1)1( y, 1)31(21 eCC,6)1()(3221xexxCCCy 第42页/共52页第四十三页，共53页。, 1)1( y, 1)652(21 eCC,31121 eCC,651221 eCC由由解得解得 ,121,61221eCeC所以所以(suy)原方程满足初始条件的特原方程满足初始条件的特解为解为.26)121(61223xxxexexexeey 第43页/共52页第四十四页，共53页。).2cos(212xxy

27、yy 求求解解方方程程例例解解特征方程特征方程, 042 r特征特征(tzhng)根根,22,1ir 对应对应(duyng)的齐方的通解为的齐方的通解为.2sin2cos21xCxCY 设原方程设原方程(fngchng)的特解为的特解为.*2*1*yyy ,)1(*1baxy 设设,)(*1ay 则则, 0)(*1 y，得得代代入入xyy214 ，xbax2144 第44页/共52页第四十五页，共53页。由由，04 b，214 a解得解得，0 b，81 a;81*1xy ),2sin2cos()2(*2xdxcxy 设设,2sin)2(2cos)2()(*2xcxdxdxcy 则则,2sin)

28、44(2cos)44()(*2xdxcxcxdy ，得得代代入入xyy2cos214 第45页/共52页第四十六页，共53页。故原方程故原方程(fngchng)的通解的通解为为.2sin81812sin2cos21xxxxCxCy ,2cos212sin42cos4xxcxd 由由，04 c，214 d即即，81 d，0 c;2sin81*2xxy 第46页/共52页第四十七页，共53页。.)(),(1)()(2此此方方程程的的通通解解（）的的表表达达式式；（），试试求求：的的齐齐次次方方程程有有一一特特解解为为，对对应应有有一一特特解解为为设设xfxpxxxfyxpy 例例解解（）由题设可得：（）由题设可得： ),()1)(2, 02)(223xfxxpxxxp解此方程组，得解此方程组，得第47页/共52页第四十八页，共53页。.3)(,1)(3xxfxx （）原方程（）原方程(fngchng)为为.313xyxy ，的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解程程