第二章参数估计

1、第二章 参数估计一、填空题1、总体的分布函数为，其中为未知参数，则对常用的点估计方法有 ， 。2、设总体的概率密度为 而是来自总体的简单随机样本，则未知参数的矩估计量为3、设是来自总体的简单随机样本，且，记， 则哪个是的有偏估计 ，哪个是的较有效估计 。4、随机变量的分布函数中未知参数的有效估计量和极大似然估计量的关系为 。5、随机变量的分布函数中未知参数的有效估计量和最优无偏估计量的关系为 。6、称统计量为可估函数的（弱）一致估计量是指 。7、判断对错：设总体，且与都未知，设是来自该总体的一个样本，设用矩法求得的估计量为、用极大似然法求得的估计量为，则=。 _8、是总体未知参数的相合估计量的

2、一个充分条件是_ .解：9、已知是来自总体的简单随机样本，。令，则当 时，为总体均值的无偏估计。10、 设总体，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为则参数的矩估计为 。11、 设与都是总体未知参数的估计，且比有效，则与的期望与方差满足_ .解：12、设和均是未知参数的无偏估计量，且，则其中的统计量 更有效。13、在参数的区间估计中，当样本容量固定时，精度提高时，置信度 。14、设是来自总体的样本，则的置信度为0.95的置信区间为 。15、设是来自总体的样本，其中未知，则的置信度为0.95的置信区间为 。16、设是来自总体的样本，其中未知，则的置信度为0.95的置信区间为 。17、设服从参

3、数为的指数分布，是来自总体的样本，为其样本均值，则服从 分布。18、设总体服从正态分布，且未知，设为来自该总体的一个样本，记，则的置信水平为的置信区间公式是_；若已知，则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2，则样本容量至少要取多大_。18、为估计大学生近视眼所占的百分比，用重复抽样方式抽取200名同学进行调查，结果发现有68个同学是近视眼。则大学生近视眼所占的百分比的95%的置信区间为 。19、设总体未知参数为，为样本均值, 若近似服从，则的一个双侧近似1-置信区间为 。20、设总体为样本，则的矩估计量为 ，极大似然估计量为 。21、设总体为样本，、 未知，则的置信度为1的置信区间为 。22

4、、设总体X在区间上服从均匀分布，则的矩估计 ； 。23、设总体，若和均未知，为样本容量，总体均值的置信水平为的置信区间为，则的值为_； 24、在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。二、简述题1、描述矩估计法的原理。2、描述极大似然估计法的原理。3、极大似然估计法的一般步骤是什么？4、评价估计量好坏的标准有哪几个？5、什么是无偏估计？6、什么是较有效？7、什么叫有效估计量？8、判断可估函数是有效估计量的充要条件是什么？9、什么是最优无偏估计量？10、什么是一致最小方差无偏估计量？11、有效估计量和最优

5、无偏估计量的关系是什么？12、什么叫均方误差最小估计量？13、叙述一致估计量的概念。14、试述评价一个置信区间好坏的标准。15、描述区间估计中样本容量、精度、置信度的关系。三、单选题1、设总体未知参数的估计量满足,则一定是的( )A 极大似然估计 B 矩估计 C 无偏估计 D 有效估计2、设总体未知参数的估计量满足,则一定是的( )A 极大似然估计 B 矩估计 C 有偏估计 D 有效估计3、设为来自均值为的总体的简单随机样本，则（ ）A是的有效估计量 B是的一致估计量C是的无偏估计量 D不是的估计量4、估计量的有效性是指( )A.估计量的抽样方差比较小B.估计量的抽样方差比较大C.估计量的置信

6、区间比较宽D.估计量的置信区间比较窄5、若置信水平保持不变，当增大样本容量时，置信区间（）A将变宽 B将变窄 C保持不变 D宽窄无法确定6、一个95%的置信区间是指（ ）A总体参数有95%的概率落在这一区间内B总体参数有5%的概率未落在这一区间内C在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间包含该总体参数D在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间不包含该总体参数7、置信度表示区间估计的（ ）A精确性B显著性 C可靠性D准确性8、抽取一个容量为100的随机样本，其均值为=81，标准差s =12。总体均值的99%的置信区间为（ ）其中：。A 811.97 B 812.35

7、C 813.09 D 813.52四、计算题1、设是来自总体X的样本X的密度函数为 试求的极大似然估计量。2、设总体X服从参数为的泊松分布，求未知参数的矩估计量。3、 设总体X服从参数为的泊松分布，求未知参数的有效估计量。4、设总体的概率密度为是未知参数,是来自的样本，求的矩估计量 5、设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为其中 未知， 0。试求 的矩估计和极大似然估计。6、设 是取自总体X的一个样本，X的密度函数为 其中 未知， 试求的矩估计。7、设总体的概率密度为是未知参数,是来自的样本，（1）求的矩估计量；（2）求的最大似然估计量；（3）和是不是的无偏估计量（说明原因）？8、设总体，且

8、与都未知，设为来自总体的一个样本，设，。求与的极大似然估计量9、设总体的概率分布为01221-3其中是未知参数,利用总体的如下样本值0，1，1，0，2，0，2，1，1，2（1）求的矩估计值；（2）求的最大似然估计值。10、设随机变量的分布函数为 其中参数. 设为来自总体的简单随机样本,(1) 当时, 求未知参数的矩估计量;(2) 当时, 求未知参数的最大似然估计量; (3) 当时, 求未知参数的最大似然估计量. 11、 设为来自总体N(0,)的简单随机样本，为样本均值，记求：（1） 的方差； （2）与的协方差 （3）若是的无偏估计量，求常数c. 12、设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总

9、体的简单随机样本，记为样本值中小于1的个数.（1） 求的矩估计；（2）求的最大似然估计13、设总体的概率密度为为来自总体的简单随机样本，是样本均值.（1）求参数的矩估计量；（2）判断是否为的无偏估计量，并说明理由.解：（1），令，代入上式得到的矩估计量为（2），因为，所以故不是的无偏估计量14、设总体服从上的均匀分布，是来自总体的一个样本，试求参数的极大似然估计解：的密度函数为似然函数为显然时，是单调减函数，而，所以是的极大似然估计15、 设总体的概率密度为 .是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为_. 解:似然函数为 解似然方程得的极大似然估计为 .16、设总体的概率密度为 试用来自总体

10、的样本，求未知参数的矩估计和极大似然估计. 解：先求矩估计 故的矩估计为 再求极大似然估计 所以的极大似然估计为 .17、已知分子运动的速度具有概率密度 为的简单随机样本 （1）求未知参数的矩估计和极大似然估计； （2）验证所求得的矩估计是否为的无偏估计。 解：（1）先求矩估计 再求极大似然估计 得的极大似然估计 ， （2）对矩估计 所以矩估计 是的无偏估计.18、假设、是来自总体的简单随机样本值.已知服从正态分布（1） 求的数学期望值（记为）；（2） 求的置信度为的置信区间；（3） 利用上述结果求的置信度为的置信区间.19、设是来自正态总体的样本, 方差未知，总体均值的置信度为的置信区间的长

11、度记为，求。20、某出租车公司欲了解从财大南校到火车站乘租车的时间，随机地抽查了9辆出租车，记录其从财大南校到火车站的时间，算得（分钟），修正样本方差的标准差。若假设此样本来自正态总体，其中与均未知，试求的置信水平为0.95的置信下限。21、已知两个总体与独立，,，未知，和分别是来自与的样本，求的置信度为的置信区间.解：设 ，则，所求的置信度为的置信区间为 22、一批糖袋的重量（单位：千克）服从正态分布。现在从该批糖袋中随机抽取12袋，测得这12糖袋的平均重量为，方差为0.1291求这批糖袋的平均重量的置信度为95%的置信区间，并计算估计的精度。求这批糖袋的重量方差的置信度为95%的置信区间。23、设总体（方差已知），问需抽取容量多大时，才能使得总体均值的置信度为的置信区间的长度不大于L？五、证明题1、设是从总体抽取的一个样本，的密度函数为证明样本均值是未知参数的无偏、有效、一致估计量；2、设是总体为的简单随机样本.记， （）证 是的无偏估计量.（）当时 ，求.3、设从均值为，方差为>0的总体中分别抽查容量为的两独立样本。和分别是两样本的均值。试证明：对于任意