二重积分的对称性

1、整理课件例例 设积分区域设积分区域 D 关于关于 x 轴对称，轴对称，D1 是是 D 中对应于中对应于 y 0 的部分，证明：的部分，证明：是是偶偶函函数数，即即关关于于若若被被积积函函数数 ),( )1(yyxf).,(),(yxfyxf . ),(2 ),( 1 dyxfdyxfDD 则则是奇函数，即是奇函数，即关于关于若被积函数若被积函数 ),( )2(yyxf).,(),(yxfyxf . 0 ),( dyxfD则则整理课件例例 设积分区域设积分区域 D 关于关于 x 轴对称，轴对称，D1 是是 D 中对应于中对应于 y 0 的部分，证明：的部分，证明：是是偶偶函函数数，即即关关于于若

2、若被被积积函函数数 ),( )1(yyxf).,(),(yxfyxf . ),(2 ),( 1 dyxfdyxfDD 则则证证（1）积分区域如图：）积分区域如图： ).()(,:21xyyxybxaD由积分区域由积分区域 D 关于关于 x 轴对称性轴对称性).()(21xyxy oxyab)(1xyy )(2xyy 1D整理课件 )()(21),( ),( xyxybaDdyyxfdxdyxf dxdyyxfbaxyxy )()(22),( 是偶函数是偶函数关于关于 ),( )()(22yfdyyxfxyxy )(02),(2xydyyxf证证（1）积分区域如图：）积分区域如图： ).()(,

3、:21xyyxybxaD由积分区域由积分区域 D 关于关于 x 轴对称性轴对称性).()(21xyxy oxyab)(1xyy )(2xyy 1D整理课件 )()(21),( ),( xyxybaDdyyxfdxdyxf dxdyyxfbaxyxy )()(22),( 是偶函数是偶函数关于关于 ),( )()(22yfdyyxfxyxy )(02),(2xydyyxf于是，于是， dyxfD ),( dxdyyxfbaxyxy )()(22),( dxdyyxfbaxy )(02),( 2 dyxfD ),(2 1 整理课件是奇函数，即是奇函数，即关于关于若被积函数若被积函数 ),( )2(y

4、yxf).,(),(yxfyxf . 0 ),( dyxfD则则证证（2）积分区域如图：）积分区域如图： ).()(,:21xyyxybxaD由积分区域由积分区域 D 关于关于 x 轴对称性轴对称性).()(21xyxy )()(21),( ),( xyxybaDdyyxfdxdyxf oxyab)(1xyy )(2xyy 1D整理课件 dxdyyxfbaxyxy )()(22),( 是奇函数是奇函数关于关于 ),( )()(22yfdyyxfxyxy . 0证证（2）积分区域如图：）积分区域如图： ).()(,:21xyyxybxaD由积分区域由积分区域 D 关于关于 x 轴对称性轴对称性)

5、.()(21xyxy )()(21),( ),( xyxybaDdyyxfdxdyxf oxyab)(1xyy )(2xyy 1D整理课件 )()(21),( ),( xyxybaDdyyxfdxdyxf dxdyyxfbaxyxy )()(22),( 是奇函数是奇函数关于关于 ),( )()(22yfdyyxfxyxy . 0于是，于是， dyxfD ),( dxdyyxfbaxyxy )()(22),( dxba 0 20. 整理课件积分区域积分区域 D 关于关于 x 轴对称轴对称，D1 是是 D 中对应于中对应于 y 0 的部分，则：的部分，则：是是偶偶函函数数，即即关关于于若若被被积积

6、函函数数 ),( )1(yyxf).,(),(yxfyxf . ),(2 ),( 1 dyxfdyxfDD 则则是奇函数，即是奇函数，即关于关于若被积函数若被积函数 ),( )2(yyxf).,(),(yxfyxf . 0 ),( dyxfD则则是是偶偶函函数数 y是是奇奇函函数数 y二重积分的轮换对称性：二重积分的轮换对称性：整理课件积分区域积分区域 D 关于关于 y 轴对称轴对称，D1 是是 D 中对应于中对应于 x 0 的部分，则：的部分，则：是是偶偶函函数数，即即关关于于若若被被积积函函数数 ),( )1(xyxf).,(),(yxfyxf . ),(2 ),( 1 dyxfdyxfD

7、D 则则是奇函数，即是奇函数，即关于关于若被积函数若被积函数 ),( )2(xyxf).,(),(yxfyxf . 0 ),( dyxfD则则是是偶偶函函数数 x是是奇奇函函数数 x整理课件103 页页 2（2）. 4 : , )2(222轴轴围围成成的的右右半半闭闭区区域域及及 yyxDdxyD xyo22422 yx1D解解D 区域关于区域关于 x 轴对称，且轴对称，且.),( 2xyyxf 设设),(),(yxfyxf dxydxyDD 1222而而 . 20,40:21yyxD整理课件 dxydxyDD 1222而而 . 20,40:21yyxD dxydxyDD 1222因此，因此，.1564 dxxydyy 2402202 2022)4(dyyy整理课件103 页页 2（3）. 1 : , )3( yxDdeDyx 解解xyo111 1 xy 11 xyxy 11 xy1D deDyx deDyx 12整理课件103 页页 2（3）. 1 : , )3( yx