离散时间信号的时域变换

1、第七章离散信号与系统时域分析7-1离散信号及其时域特性、离散时间信号如果信号仅在一些离散的瞬间具有确定的数值，则称之为离散时间信号。 若选取的离散瞬间是等间隔的，则一般常用 f(kT)表示，其中k=0, ±1,±2, ； T为离散间隔。一般把这 种按一定规则有秩序排列的一系列数值称为序列，简记为f(k) o22_-本书仅讨论这种等间隔的离散时间信号。离散时间信号可用序列f(k)表示。比如A- < 122也可以用数据表格形式给出，如图7-1(a)所示，或以图形方式表示，如图7-1(b)所示。可见,f(k)具有两重意义：既代表一个序列，又代表序列中第k个数值。离散时间信号

2、获取的方式常有两种：一种是连续时间信号离散化，即根据抽样定理对连续时间信号进行均匀时间间隔取样，使连续时间信号在不失去有用信息的条件下转变为离散时间信号，这是目前信号数字化处理中最常用的方法之一。另一种是直接获取离散信号，比如计算机系统中记忆器件上储存的记录，地面对人造地球卫星或其他飞行体的轨道观测记录以及一切统计数据等，这都是一些各不相同的离散时间信号。、离散时间信号的时域运算离散时间信号常有以下几种运算。1.相加观看动画两个离散信号fi(k)和f2(k)相加是指它们同序号的值逐项对应相加，其和为一新的离散信号f(k)，即f(k)=fi(k)+f2(k)(7-1)例如，图7-2(a)，(b)

3、所示的离散时间信号k <10疋+1-和r_20<k<4其它进行相加，其结果为2+-2冷*3)+恥用图形表示如图7-2(c)所示。离散时间信号的相加可用加法器实现。24 * :3.5 : :_ -1 0 1 2(a)-1 o1 2(c)J-1 0a 7-2两个离散信号fi (k)和f2(k)相乘是指它们同序号的值逐项对应相乘，其积为一新的离散信号f(k),即f(k)=fi(k)f2(k)(7-2)例如，图7-2(a),(b)中的fi(k)和f2(k)相乘，其结果为jt=L2k=3 其他用图形表示如图7-2(d)所示。离散时间信号的相乘可用乘法器实现。3. 数乘数乘是指对离散信号

4、f(k)每一个取样值均乘以一个实常数a,而得到一个新的离散信号y(k)，即通常可用数乘器或比例器来实现这种运算。4. 累加和离散信号f(k)的累加和是指对f(k)进行多项值累加而得到一个新的离散信号y(k)，即朋书他(7-4)累加和的运算可用累加器实现。三、离散时间信号的时域变换离散时间信号时域变换主要有以下几种。1护*观看动画移位是指将离散信号f(k)沿k轴逐项依次移m位而得到一新的离散信号y(k)，即式中，m为大于零的整数。-10 12 3 4 5y(k)(k+2)右y(k)=f(k+m)，贝U y(k)比f(k)提前m位，对应图形左移m位；右y(k)=f(k-m)，贝Uf(k)，即y(k

5、)比f(k)延迟m位，对应图形右移 m位。例如图7-3(a)所示离散信号1 <k<4其他其图形相对f(k)右移0<<3= 7(-2)=3-203 <k<6其他2个序号，如图7-3(b)所示。2+3其图形相对f(k)左移X) = /( + 2) =1-20其他2个序号，如图7-3(c)所示。折叠是将离散信号f(k)中变量k用-k取代而得到一新的离散信号y(k)，即从图形上看是将f(k)以纵坐标为轴翻转。例如对图7-3(a)所示的f(k)进行折叠变换，所得结果y(k)=f(-k)，其图形与图7-3(c)所示图形相同。3. 倒和倒相是将离散信号f(k)乘以-1后而

6、得到的另一离散信号y(k)，即从图形上可以看出，倒相是将f(k)以横坐标为轴进行翻转的一种变换。例如图7-3(a)所示f(k)的倒相结果如图7-4 (a)所示。(c)S 7 -4展缩是指将离散信号f(k)在时间序号上进行压缩或扩展，即式中，a为非零值的正实常数。若a > 1,贝U所得y(k)在时间上比f(k)压缩a倍；若Ov av 1,其他2-40* = 4,8其他则y(k)比f(k)在时间序号上扩展了1/a倍。需要注意的是，对f(k)进行展缩变换后所得序列y(k)可能会出现k为非整数情况，在此情况下舍去这些非整数的k及其值。例如图7-3(a)所示f(k)，即2+1 2-20这里k不取奇

7、数。其图形如图7-4(b)所示，可见y(k)比f(k)在时间序号上扩展了2倍。而-l<k <1-<k<22其他>+1y(k) = f(2k)<2-k0其图形如图7-4(c)所示。由于出现："I的非整数序号，故舍去该点及其值，所得结果应为> + 1-l<k <1y = f(2<2-kl<i<20 其他可见，y(k)比f(k)在时间序号上压缩了 1/2。还应指出，对于离散信号压缩后再展宽不能恢复原序列。5. 辛分离散时间信号的差分是指序列 f(k)与其移位序列f(k ± m)的运算。一般有两种:(1) f(

8、k)的后向差分，记(一阶后向差分)(二阶后向差分)f(k)的前向差分，记W) = >+l)-/W(一阶前向差分)M (切=/(* + 2)- 2/伙+1)+y(t) (二阶前向差分)可见，差分实际上是离散信号时域变换与运算的综合形式。四、常用的离散时间信号i.片位列单位序列匚：定义为$(口)其图形如图7-5所示。可见该序列仅在k=0处取单位值，其余点均为零值，因此又称之为“单位取样序列”、“单位函数”、“单位脉冲序列”等。单位序列作用类似于连续时间信号中的汛，也具有抽样性，即他鍬）訂（0）鍬）j伙）3优一 m）二-酬）但是 :与丿:有本质的差别-I是一个奇异信号，可理解为无穷小、幅度无穷

9、大、面积为1的窄脉冲，实际中无法实现。而个在 t=0处宽度是一个非奇异信号，它在k=0处取有限值1,这在实际工程中是完全存在的。单位阶跃序列定义为冋）a 7-6其图形如图7-6所示。可见单位阶跃序列类似于连续时间信号中的单位阶跃函数止，它也是有截除性。即可将一个双边序列截为一个单边序列仗）=0k<0同样 皿) 与】 > 也有本质的差别:是- -种奇异信号，它在t=0 处发生跃变，一广一1；而是一种非奇异信号，它在k=0处明确定义为1。U(k) 与：. 有如下关系：卑)=附如)'U(k) = 丫 S(n) =为鍬-加曲d3.弋矩疗"训(门序列)-: '-单位

10、矩形序列定义为fl験)二缶其他(M)对应图形如图7-7所示。若用单位阶跃序列表示，则列)二u(炉m4. 单边实十數序如实指数序列是指序列值随序号变化而按指数规律变化的离散时间信号，常用的实指数序，即(盘为实数)(7-15>0P<0列为单边实指数序列，即当k v 0时，f(k)=0若I1> 1,则f(k)为一个发散序列，如图7 -8 所示;若|v 1,则f(k)为一个收敛序列，如图7 -8 (b)所示;当 | = 0 时，f(k)=U(k)。如果.厂F叫厂£，则当|a| v 1时，f(k)为发散序列；当|a| > 1时，f(k)为收敛序列。5. 止眩序傀正弦序列定义为或/(k) = j4sin(AQ0 +S)式中，-1为正弦序列的数字角频率；A，或-为正弦序列的振幅和初相。典型正弦序列如图 7-9所示。5)T.=T =当 为整数时，正弦序列f(k)为一个周期性离散时间信号，重复周期为° O0为有理数时，正弦序列f(k