f分布t分布与卡方分布

1、§ 1.4常用的分布及其分位数1.卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导生的分布, 它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。当X1、X2Xn相互独立且都服从 N(0,1)时，Z=£ Xi2的i分布称为自由度等于 n的/ 2分布，记作Z2 2(n),它的分布密度P(z 0其他,n'J ' 11.Gamma®数，且：1 =1,式中的r n =( u2 e du,称为、2J °*j= «。z 2分布是非对称分布，具有可加性，即当丫与Z相互独立，且 Y2 2(n) , Z，2(n),贝U Y+Z2 2(n+m。证明：

2、先令X1、X2、Xn、Xn+1、Xn+2、Xn+m相互独立且都服从N(°,1),再根据 独立性，令2分布的定义以及上述随机变量的相互y=x 2+X2+. +X3 z=x2/X2+2+xn+m，Y+Z= X 12+X2+X2+X2 +1+X2 +2+ - +Xn+m，即可得到Y+Z 2(n+mX N(°,1) , Y2. t 分布若X与Y相互独立，且Y的分布称为自由度等 n于n的t分布，记作Zt ( n),它的分布密度P(z尸产)rz2 v，2 14 ”4)<请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当 n>3°时，t分布与标准正态分布 N(°,1

3、)的密度曲线几乎重叠为一。这时,t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。3. F分布若X与Y相互独立，且 X- 7 2(n) , Y2(m),则2=%/工的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于 mn m的F分布，记作 ZF ( n, m ,它的分布密度P(z尸工m220,n1 z2n m,(m n z) 2z 0其他。请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当 ZF ( n, m时，工F ( m ,n)4. t分布与F分布的关系若 Xt( n),则 Y=X2 F(1,证：Xt( n) , X的分布密度n) op(x)=n+1'r f2 2 J

4、x21 -nY=X 2 的分布函数 FY ( y) =PY< y=PX 2 <y。当 y«0 时,Fy”。, py(y)=0；当 y>0 时，FY(y) =P- Vy<X<Jy 二1，p(x)dx=210y p(x)dx,Y=X 2的分布密度pY(y尸n二1 +n :n2r k 2 1Twny、2)山1-1y21 n(n y) 2与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度 相同，因此Y=X2F(1, n) o为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自 的函数值表中查由o 但是，解应用问题时，通常是查分位数表 有关分位数的概念如下:4

5、.常用分布的分位数1）分位数的定义分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即 a分位数、上侧a分位数与双侧a 分位数，它们的定义如下：当随机变量X的分布函数为F（ X）,实数a满足0 < a <1时，a分位数是使PX< X & =F（ X a）= a的数X 口，上侧a分位数是使PX >入=1 - F（入户a的数人，双侧a分位数是使PX<入1=F（入1）=0.5 a的数人1、使PX> 入 2=1 - F（入 2）=0.5 a 的数入 2。因为1- F（入户a , F（入）=1 - a ,所以上侧a分位数人就是1-o分位

6、数X 1- % ；F（入1）=0.5 a , 1- F（入2）=0.5 a ,所以双侧a分位数入1就 是0.5a分位数X 0.5 口，双侧灯分位数入2就是1- 0.5民分位数 X 1- 0.5 a。2）标准正态分布的a分位数记作U8 ,0.5 a分位数记作U 0.5PX<U 0.5 a = F 0,1 (U 0.5 a )=0.5 a ,PX<U 1- 0.5 a= F 0,1 (u 1- 0.5 a 尸1-。.5 a。根据标准正态分布密度曲线的对称性，当 5 =0.5 时，Ua =0;当 a <0.5 时，U” <0oua =- u 1- a。如果在标准正态分布的分布

7、函数值表中没有负的分位数，则先查由U 1- a ,然后得到U =- U 1- / °论述如下：当 XN(0,1)时，PX< U 0= F 0,1 (U a 尸 a ,PX< U 1- a= F 0,1 (U 1- a )=1 - a ,PX> U 1- 口户-F 0,1 (U 1- 口 尸。，故根据标准正态分布密度曲线的对称性，Ua =- U1-例如， U 0.10 =- U 0.90 =- 1.282 ,U 0.05 =- U 0.95 =- 1.645 ,U 0.01 =- u 0.99 =- 2.326 ,U 0.025 =- U 0.975 =- 1.960

8、 ,U 0.005 =- U 0.995 =- 2.576 。又因为P|X|< U 1- 0.5/=1 - 口，所以标准正态分布的双侧民分位数分别是U 1- 0.5 a和-u 1- 0.5 a。标准正态分布常用的上侧 a分位数有：a =0.10 , U 0.90=1.282 ;a =0.05 , u 0.95=1.645 ;a =0.01 ,U 0.99 =2.326 ;a =0.025 ,U 0.975=1.960 ;a =0.005 ,U 0.995 =2.576 o3)卡平方分布的a分位数记作三2 (n) o C/v7 2 a (n)>0，当 X？ 2(n)时，PX<

9、/ 2 a (n)= a。例如，Z 2 0.005 =0.21 , 7 2 0.025 =0.48 ,2 2 0.05 =0.71 , 2 2 0.95 =9.49 ,Z 20.975 (4)=11.1 ,2 0.995 (4)=14.9。4) t分布的a分位数记作t a (n)。当Xt (n)时，PX<t a(n)=民,且与标准正态分布相类似，根据t分布密度曲线的对称性，也有t a (n户-t 1- a (n),论述同 ua =- u 1- a。例如，t 0.95 (4)=2.132 , t 0.975 (4)=2.776 ,t 0.995 =4.604 , t 0.005 (4)=

10、- 4.6。4 ,t 0.025 (4)= - 2.776 , t 0.05 (4)= - 2.132。另外，当n>30时，在比较简略的表中查不到ta(n),可用ua作为t &的近似值。5) F分布的a分位数记作Fa ( n , m)。Fa (n , m>0 ,当 XF (n , m 时，PX<Fa (n , m)二 a。另外，当a较小时，在表中查不由 F0(n, m),须先查F1- a(m n),再求 Fa (n, m)=。论述如下：F1(m , n )当 XF(m n)时，PX< F 1- a(m n)=1 - a,P>1=1 - a , P <

11、1= a ,X F 1-： (m, n)X F 1一:(m, n)又根据F分布的定义， 。F(n, m, P-<Fa (n, m) = a, XX1因止匕F a (n, m=。Fi-： (m , n )例如，Fo.95 (3,4)=6.59, F 0.975 (3,4)=9.98,F 0.99 (3,4)=16.7, F 0.95 (4,3)=9.12,19.12F 0.975 (4,3)=15.1, F 0.99 (4,3)=28.7,F 0.01 (3,4户, F 0.025 (3,4户 ，F 0.05 (3,4户28.715.1【课内练习】1. 求分位数 /2 0.05 (8),

12、72 0.95 (12)。2. 求分位数 t 0.05(8), t 0.95 (12)3. 求分位数 F0.05 (7,5)， F0.95(10,12)4. 由u 0.975 =1.960写生有关的上侧分位数与双侧分位数5. 由t 0.95 (4)=2.132写生有关的上侧分位数与双侧分位数6. 若X”(4) , PX<0.711=0.05 , PX<9.49=0.95 ,试写由有关的分位数。7. 若XF(5,3) , PX<9.01=0.95 , YF(3,5) , Y<5.41=0.95 ,试写由有关的分位数。8. 设Xi、X2、X10相互独立且都服从 N(0,0.09)分布， 试求 P £ Xi2>1.44。习题答案：1.2.73 , 21.0。2.-1.860 , 1.782。3.工，3.37。4. 1.960 为上侧0.025分位数，-1.960与1.960