2016微积分复习题及答案试题库带答案考试题答案

1、微积分基础知识复习资料目录一、不定积分 3（一）不定积分概念，第一换元积分法 3（二）第二换元积分法，分部积分法 4二、定积分 错误！未定义书签。（一）定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质 错误!未定义书签。（二）定积分的几何定义 错误！未定义书签。（三）定积分的基本性质 错误！未定义书签。三、反常积分错误！未定义书签。（一）无穷限的反常积分 错误！未定义书签（二）无界函数的反常积分 错误！未定义书签四、微分方程 错误！未定义书签（一）微分方程的基本概念 错误！未定义书签（二）可分离变量的微分方程 错误！未定义书签四、齐次方程 错误！未定义书签（一）齐次方程 错误！未定义书签（二）可化

2、为齐次的方程 错误！未定义书签五、一阶线性微分方程 错误！未定义书签（一）线性方程 错误！未定义书签（二）伯努利方程 错误！未定义书签六、可降阶的高阶微分方程 错误！未定义书签（一）y（n） = f（x）型的微分方程 错误！未定义书签（二）y“ = f（x，y）型的微分方程 错误！未定义书签（三）y* 二 f（y，y）型的微分方程 错误！未定义书签七、题型分析 错误！未定义书签(一)不定积分概念，第一换元积分法(1)原函数与不定积分概念设函数F (x)与f (x堆区间(a,b)内有定义，对任意的 xw (a,b),有F (x)=f(x)或 dF(x)=f(x)dx,就称F (x)是f (x)在

3、(a,b)内的一个原函数。如果F (x )是函数f (x )的一个原函数，称f (x )的原函数全体为f (x )的不定积分，记作f x dx = F x C,(2)不定积分得基本性质ddxj f (x)dx = f (x )2。jF (x px = F (x )+C3。j Af (x )+Bg (x )1 dx = A f (x )dx +B jg(x )dx.(3)基本不定积分公式表(1 )kdx k仪(C常数 (2 ) xd/、 1 dx=lIx C,(4)dxa r c Xa Cdx.ha r csi C(6)c xdx =s i iC(7)s Xdx 二 一xo C(8)dx2 c

4、o sx2sexdx = xaC(9) dxs i n x2c sxdx - - x o C(10) sx? an xdx = secx C,(11) cscxcot xdx = -cscx C,a_(12) axdx = aC,In a(13) shxdx = chx C,(14) chxdx = shx C,1(15) 2 dx =thx C, ch x1(16) i2 dx = -cthx C. sh x(3)第一换元积分法(凑微分法)设f (u出有原函数，u = 邛(x )可导,则有换元公式Jf 丁(x 严(x)dx = f (u )du lux .(二)第二换元积分法，分部积分法(1

5、) 第二换元积分法设x=(t)是单调的、可导的函数，并且中产o.又设f y (t)?。)具有原函数，则有换元公式f x dx=_ f _1' t ' t 出口x，其中中, (x )是x =中(t )的反函数.(2) 分部积分法设函数u =u(x)及v =v(x )具有连续导数，那么，I''uv = uv uv ,移项，得uv =(uv ) -u v.对这个等式两边求不定积分，得'.'.|uv dx =uv - u vdx.这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式：judv =uv - |vdu.(3) 基本积分公式表二(17)jtanxdx

6、= -ln cosx +C,(18) cotxdx = In |sin x +C,(19) jsecxdx = In sec- tan x + C,(20) f cscxdx = ln |cscx cot x| + C,dx1 , x仆(21) i22arctan-C,a xa adx ,1 x-a 仆(22)2 dx = ln C,x -a 2a x a(23) < / dx 2 = arcsin- + C, a - xaC,C.(24) dxln x x2 a2-x2 a2(25* / dx 2 =ln x + Vx vx -a(3)有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些简单无理

7、式的积分-、有理函数的积分一 .、 P x两个多项式的商 一称为有理函数，又称为有理分式.我们总假定分子多项式P(x)Q x与分母多项式 Q (x )之间是没有公因式的 .当分子多项式 P( x )的次数小于分母多项式Q(x )的次数时，称这有理函数为 真分式，否则称为假分式.利用多项式的除法，总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式，由于多项式的积分容易求，故我们将重点讨论真分式的积分方法.对于真分式_px；,首先将Qm(x )在实数范围内进行因式分解，分解的结果不外乎两种k.91类型：一种是(xa),另外一种是(x2 + px+q)淇中k,1是正整数且 p24q<0；其

8、次，根据因式分解的结果，将真分式拆成若干个分式之和.具体的做法是：k若Qm (x )分解后含有因式(x - a )，则和式中对应地含有以下 k个分式之和：A A2 2 x-ax-a+用+Akk , x-a其中：AJ|,Ak为待定常数21若Qm (x )分解后含有因式(x + px + q )，则和式中对应地含有以下 1个分式之和M1x N1 2x px qM2xN2- MlxNl222 IH-2 J11x px q ix px q其中：Mi，Ni (i =1,2,|,1 )为待定常数，所以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和以，有理函数的积分最终归结为部分分式

9、的积分二、可化为有理函数的积分举例例 4 求 f 5 x dx.sin x 1 cosx解 由三角函数知道，sin x与cosx都可以用tan_x的有理式表示，即2tanx2_1 + tan2'22x 2 tanx x 2sinx = 2sin cos=222 xsec2一 2 x _._2 x cosx = cos sin222 x1 - tan 一22 x sec 一22 x1 - tan 一22 x1 tan -222u1 - usin x 2 ,cosx =2 ,1 u1 u而 x =2arctan u,从而dx - 一21 u2du.日ZE1 sin xsin x 1 cos

10、xdx2u 2du2u1 u21 -u1 /1=一.u 十2 十一 du 2 A1 一 一 一 一+2u +ln u +C2<212 x x 1 x _=tan +tan + In tan +C.十、x-1求 dx.x设 xx -1 = u，于日ZEu2 +1, dx = 2udu,从而所求积分为2Fu 2udu = 2 及 du u2 1u2 1c ,1, c八=2 11 du = 2 u - arctanu C ,1 u2=2 i x -1 - arctan % x -1C.求一dx=. . 1 +Vx +2解设3'x+2 = u，于32是x = u 2,dx = 3u du,从而所求积分为重要说明?为保障该（Word）文档的安全性和保 密性，作者在制作过程中采用了特殊 处理方法，用户只有在下载后才能打 开并浏览、编辑整个（Word）文档。2016散积分期末复习资第9页共30页第10页共