2020高考(文)数学刷题考点测试19三角函数的图象与性质文含解析

1、1 考点测试19三角函数的图象与性质 咼考概览 本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、解答题，分值 5 分、12 分，中等难度 考纲研读 1. 能画出y = sin x, y = cosx, y = tan x的图象，了解三角函数的周期性 2理解正弦函数、余弦函数在 0,2 n 上的性质(如单调性，最大值和最小值，图象与 第佻步 彳狂刷小题*基础练 、基础小题 2 n 1. 函数y= 3cos x 卡的最小正周期是( ) 5 6 2 n 5 n A. B .二C . 2 n D . 5 n 5 2 答案 D 2n 解析 由T=5n，知该函数的最小正周期为 5n .故选 D. 5 2. 已知

2、 f (x) = sin ix+专,g(x) = cosix亍，贝 U f(x)的图象( ) A. 与g( x)的图象相同 B. 与g( x)的图象关于y轴对称 C. 向左平移 寺个单位，得到g(x)的图象 D. 向右平移 扌个单位，得到g(x)的图象 答案 D 解析 因为g(x) = cos x n = cos 2 x = sin x,所以f (x)向右平移 专个单位，可 得到g(x)的图象，故选D. 7 n 13 n 3. 函数y= 2sinx 1, x , 的值域是( ) 6 6 A. 3,1 B . 2,1 C . ( 3,1 D . ( 2,1 x轴的交点等)，理解正切函数在区间 内

3、的单调性 2 答案 D3 解析 由y= sin x在 7 n 13 n t . 1 萨上，一 1 1 Sin x2, 7 n 所以函数 y = 2sin x 1, x 罟的值域是（一 2,1.故选 D. 4.函数 y= cos2x 2sin x的最大值与最小值分别为 A. 3, 1 B . 3, 2 C . 2, 1 D . 2, 2 答案 2 x 2sin x + 1,令 t = sin x,则 t 1,1 , y= t2 2t + 1= (t + 1)2+ 2,所以最大值为 2,最小值为一 解析 2 2 y = cos x 2sin x= 1 sin x 2sin x = sin 2 .故

4、选 D. n 5.若函数f (x) = sin x + a 12 为偶函数，则 C0S2 a的值为（ 答案 解析 由题意 n n 乜=空+ kn, k Z,所以 7n V + 2 2k n k Z,所以 cos2 a 7 n cos = cos 6. A. B. C. D. 7t # .故选 C. n 函数y=2sin2sin石-2 2x的单调递增区间为 答案 解析 5 n 12 , 5 n kn +-(k Z) n kn +(k Z) kn + 7 7n(k Z) n k n + -(k Z) n n y = 2sin 2x = 2sin2 x云, 2 x 3 n 6 2+ 2k n (k

5、Z)，即 ， 5 jn kn + x k n +-(k Z)，即增区间为 k n 3 6 7t 5 n + -(k Z).故选 A. 7.函数 y= sinx cosx+ sin xcosx 的值域为 1 答案 一 2 2, 1 解析 设 t = sin x cos x,则 t = 2sin x, t 2, 2 , t2 = sin 2x + cos2x 4 答案 3 5 f(X)max= + 2= 4 .故选 B. tan x 1111.(2018(2018 全国卷川) )函数f( (x) )=y y 列最小正周期为( () n n A. B . C . n D . 2 n 答案 C sin

6、 x 1 t2 2sin xcosx, sin xcosx= - t2 t 11 2 , y= 2 +1 + 2= 2( t 1) +1 .当 t = 1 时, ymax= 1 ；当 1 t = 2 时，ymin= 2 2 .函数的值域为一 2- 2 2，1 1. &函数y= lg (sin2 x) + 9 x2的定义域为 八”.,、: n t、 n 答案 *x 3 x 或 0 x0, 2k n 2x0 得3 xW 3. n亠 n 3 x 2或 0 x2 . 函数y = lg (sin2 x) + 9- /的定义域为 n亠 n 3w x或 0 x0 且 aw，即 a 的最 3 n 大值

7、为丁.故选 C. 4 13. (2017 全国卷川)设函数f(x) = cos x + n，则下列结论错误的是( ) A. f(x)的一个周期为一 2n 8 n B. y = f (x)的图象关于直线 x=亍对称 冗 C. f(x+ n )的一个零点为x = 6 D. f(x)在专,n单调递减 答案 D 解析 f (x)的最小正周期为 2n,易知 A 正确；f8 = cos8 +专=cos3 n = 1,为 冗 冗 f (x)的最小值，故 B 正确； f(X + n ) = cosx+ n + = COSX+p , ” n nn n 2 n 2 n n f + n = cos + = cos

8、= 0, 故 C 正确；由于 f = cos + = cos n = 6 6 3 2 3 3 3 n 1，为f (x)的最小值，故f (x)在2 , n上不单调，故 D 错误. 14. _ (2018 江苏高考)定义在区间0,3 n 上的函数y = sin2 x的图象与y= cosx的图象 的交点个数是 _ . 答案 7 解析 在同一平面直角坐标系中作出 y = sin2 x与y= cosx在区间0,3 n 上的图象(如 图).由图象可知，共有 7 个交点.6 6 三、模拟小题 n 15. (2018 江西六校联考)下列函数中，最小正周期是 n，且在区间, n上是增函 数的是( ) A. y

9、= sin2 x B . y= sin x x C. y = tan q D . y = cos2 x 答案 D 解析 y = sin2 x在区间n, n上的单调性是先减后增；y= sin x的最小正周期是 T= 2 co x n =2 n ; y = tan石的最小正周期是 T= 2 n ; y= cos2 x满足条件.故选 D. 2 o n 16. (2018 安徽联考)已知函数y= 2cosx的定义域为 , n，值域为a, b，则b a 的值是( ) A. 2 B . 3 C . 3 + 2 D . 2 3 答案 B n 解析 因为函数y= 2cosx的定义域为,n，所以函数y = 2c

10、osx的值域为2,1, 所以 b a= 1 ( 2) = 3,故选 B. n 17. (2018 福建六校联考)若函数f(x) = 2si n( o x+ $ )对任意x都有f专+ x = f( x), n 则 =() A. 2 或 0 B . 0 C. 2 或 0 D . 2 或 2 答案 D n 解析 由函数f(x) = 2sin( o x + $ )对任意x都有 fy + x= f ( x)，可知函数图象的一 7 3 1 n n n 条对称轴为直线 x= 3=6 .根据三角函数的性质可知， 当x=时，函数取得最大值或 最小值. fn= 2 或2.故选 D.8 18. (2019 河北衡水

11、中学调研 )已知函数f(x) = 2nsi nx ncosx，直线x= n是函数f(x) 3 图象的一条对称轴，则 n=() A. B . 3 C .甘 D . # 答案 C 解析 若x =夕是函数f(x)图象的一条对称轴，则是函数f(x)的极值点.f(x) 3 3 n n n 3 n T T = 2 2ncoscos7 7 +nsi nsi n3 3 = nTTn=0 0,所以 m m= x, x0, 19. (2018 衡阳二模)已知函数f(x) = * 则下列结论错误的是( ) sin x, xw 0, A. f(x)不是周期函数 n B. f (x)在一2，上是增函数 C. f(x)的

12、值域为1 ,+8) n n 由图可知，A, B, C 正确；对于D,当 0 xsin x,当x 时，一Ksin xw 1, x0 时，y= si nx与y= x无交点，故f (x)的图象上不存在不 . n n n 20. (2018 南昌一模)已知f( x) = cos2x + acosq + x在区间,上是增函数，则实 数a的取值范围为( ) A. 2,+) B . ( 2,+) C. ( a, 4) D . ( a, 4 答案 D 解析 f (x) = cos2x+ acos nn + x = 1 2s in 2x asi nx 在才，专上是增函数， y = sin x 在=2mcosx

13、+ nsin x，故 f 而x1，所以xsin x,所以当 同的两点关于原点对称，所以 D 错误.故选 D. D. f(x)的图象解析 9 n, -2 上单调递增，且 sin x 2 1 令 t = sin x, t 1 1, 1，贝 V y = - 2t2-at + 1 在 1 上 a 单调递增，则一 4A1,因而a (汽一 4 故选 D. 第2步 *精做大题*能力练 、高考大题 1 (2018 北京高考)已知函数 f(x) = sin 2x+ 3sin xcosx. (1) 求f (x)的最小正周期； n 3 (2) 若f (x)在区间一,m上的最大值为 2，求m的最小值. 1 1 (1)

14、 f(x) = 2 qcos2x+ =sin2sin2x-n+2. 2 n 所以f(x)的最小正周期为 T= 2 2n= n . (2)由(1)知 f(x) = sin2 x- 由题意知一 w x m 3 5 n n n 所以一 W2x nr，即诈号. 6 2 3 所以m的最小值为nn. 2. (2017 浙江高考)已知函数 f (x) = sin 2x- cos2x- 2 3sin xcosx( x R). (1) 求的值； (2) 求f(x)的最小正周期及单调递增区间. & 丄 2n 血 2 n 1 解 (1)由 sin =-，cos 丁 =-2， 2 n 32 12 3 1 2

15、n f2 2r=T-2 一2 2 3r x-1，得 fT=2 2. sin2 x 10 (2)由 cos2x = cos2x- sin 2x 与 sin2 x = 2sin xcosx 得11 f (x) = cos2 x - ?3sin2 x = 2sin2 x 6 所以f(x)的最小正周期是 n . 由正弦函数的性质得 n n 3 n + 2k n2 x + W + 2k n , k Z, 2 6 2 2 解得 n + k n W xW -F kn , k Z. 6 3 所以，f(x)的单调递增区间是 2 n + k n , + k n ( k Z). 3. (2016 天津高考)已知函数

16、f (x) = 4tan xsin (1)求f (x)的定义域与最小正周期； 讨论f(x)在区间|- -4, -4 上的单调性. _ r jr 解 f(x)的定义域为cx x工亍+ k n , k Z =4sin x cosx + sin x : Q 2 丿 w =2sin xcosx + 2-j3sin 2x 3 =sin2 x + 3(1 cos2 x) 3 所以，f(x)的最小正周期T=牛=n . (2)令z= 2x 寺，易知函数y = 2sinz的单调递增区间是| 扌+ 2k n ,寺+ 2kn k 5 n 由一+ 2kn W2x 3 W + 2k n , k Z,得一匚+ k nW

17、xW 片+ k n , k 乙 . 十 I 7t 设 A= J ， 7t -cos f (x) = 4tan xcosxcos =4sin xcos =sin2 2sin 12 n . 5 n 12+ k nW xw 12- + k n , k Z 易知 An B= |-12, 单调递减. 二、模拟大题 c 4 _ . 2 x+ 5sin x一 4 6cos 4. (2018 福建福州月考)已知函数f (x)= ，求f (x)的定义域，判断 n COS2XM0 得 2x丰 kn +迈,k Z, 2 上 6cos x+ 5sin x 4 6cos x + 5 5cos x 4 f(x)= 2 2

18、 2cos x 1 3cos x 1 i 2 2 = 3cos x 1. 2cos x 1 1 1 所以f (x)的值域为y 1 y0)的最小正周期为 n . (1)求函数y = f(x)图象的对称轴方程; n 讨论函数f (x)在 0,上的单调性. 解 (1) T f (x) = sin w x cos w x= J2sin w x ，且 T= n ,二 w = 2.于是 f (x)=2 所以，当x 于,于时, f (x)在区间12, 4上单调递增，在区间|4, :，-12 B= x 它的奇偶性, 并求其值域. cos2x 解得 k n n + 4，k Z, 所以 f(x)的定义域为*x x

19、 R,且x丰 因为 f( -x)= f (x)的定义域关于原点对称，且 4 2 6cos x + 5sin x 4 cos 2x 小 4 _ 2 , 6cos x+ 5sin x 4 =f ( (x) ). cos2x 所以f(x)是偶函数当卅牛+才， k Z 时, 2cos2x 1 cos2 x 13 sin2sin2x亍14 令 2x_n = kn+守你 Z)，得 x=学+年(“ Z), k n 3 n 故函数f (x)的对称轴方程为 x = + (k Z). 2 8 n iT TT 令 2k n W2x -4 W2kn + (k Z), n 3 n n 得函数f (x)的单调增区间为 kn 8 , k n +育(k Z).注意到x 0,，令k = 0, 3 n 0, ;其单调减区间为 8 6. (201