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文档简介
1、教案用微积分推导Newton的万有引力定律复旦大学於崇华Newton万有引力定律宇宙万物之间都存在相互的引力,其作用方向在 两者的连线上,其大小与两者质量的乘积成正比而和 两者距离的平方成反比。比例系数是绝对常数为了推导内在的定量关系即数学规律,先要将行星运动定律用数学形式表达出来。Kepler第一定律:行星围绕太阳运动的轨迹是一个椭太阳在椭圆的一个焦点上。以太阳为极点,椭圆的长轴为极轴建立极坐标,则行星的轨道方程为r = P91 一 ecosQ这里p =是焦参数,e= J1-4是离心率,°和分别是椭圆的半 aV a-长轴和半短轴。设在/时刻:行星与太阳的距离为r = r (0,它们
2、的连线与极轴的夹角 为8 = 8(0,则行星的坐标可以用向量记号表示成r = (r cos 0, r sin 0) o先从Newton第二运动定律F = ma入手将r分解成水平分量r cos 0和垂直分量r sin 0 ,利用运动 的独立性原理,用Newton第二运动定律_ d2rF = ma -,d t分别求它们的二阶导数后再合成。记行星沿极径方向的速度: 黑三/ (称为径向速度)d 2 r .加速度:了7丁三厂(称为径向加速度),d e 八Ci3 _ 角速度:y三3角加速度:吊J2(rcos0)ItJ2(rsiii0)dt利用复介函数的求导法则V和&都是/的函数),行星在x方向和
3、方向上的加速度分量分别为r cos0 一 2rco siii 0 一 rcb sin 0 + co2 cos0= (r-/xo2)cos0-(2n» + Hi)siii0;-rsiiiO +2hbcos0+rcbcos0 -co2 siiiO=(2rco + rco)cosO + (r 一 rco2)sin0 c记r方向上的单位向量G = 7=(cos0,siiiO),则加速度向量d2rdr2r-n»2)厂oz 2rco+ rco 、.+()roco(1)为了得到行星运动规律,必须求出厂一如2与 ,CO 而求这两个量只能借助其它的关系式试着将Kepler的行星运动第二定律用
4、数学形式表达出来:Kepler第二定律:单位时间中,极径扫过的那块椭圆的131记d A是极径转过角度d。所扫过的那块椭圆的面积,则由 极坐标下的面积公式的微分形式,d A = r1 d0 ,因此,单位时间中扫过的面积dA 1记行星绕太阳运行一周的时间为厂,则经过丁时间极径所 扫过的面积恰为整个椭圆的而积兀ab ,由定积分的定义和性 质,利用微元法,即得因此常数两边求导后得到(r2co)z = 2rrco + r2cb = 02r co + r cd = 0这样,(i)的最后一项就去掉了,等式成为a = =(r-7XD2)ro(2)这表示:行星在任一点的加速度的方向(也就是受力的方向)恰 与它的
5、极径同向。从求加速度分量的过程可以发现,加速度的值亍一皿2来自对rcos。(或rsin 0 )求二阶导数,而椭圆方程p = r(l -cos9)中恰含有厂cos。项。这提示我们,可能可以通过对椭圆方程两 边求二阶导数来计算出 f d 2 (r cos 0 )=r -(r - rco2)ecos0 =(r rco2 )(1 -ecosG) + rco2r rco2 p + rco2所以r-HB2 =(r2co)2 14 兀匕2 夕";=_ T1a3 1(3)=-4k2T2 r2 °Kepler第三定律:椭圆的半长轴a的三次方和运行周期T的平方成正比,即帀=常数,记太阳的质量为
6、M ,有4兀2 a3 MmF = ma = nir-K)rQ = -( yy) 0 ,记万有引力常数4冗2小G =u6.67x 10-炖/kg-s2)9便得到万有引力定律的数学表示Mm宇宙万物之间都存在相互的引力,其作用方向在 两者的连线上,其大小与两者质量的乘积成正比而和 两者距离的平方成反比。比例系数是绝对常数说明(1) 以上只是论证了力有引力定律对太阳行星系统是正确 的。但以后的科学工作者(包括Newton本人)一系列的观测和 实验数据证实,它确实“放Z四海而皆准”,适用范围从天体运 动延展到微观世界,令人信服地辿地解释了许多物理现彖,并 成为探索未知世界的有力工具。其中一些著名的例子:计算出哈雷彗星的轨道和运行周期:发现海王星和冥王星;正确解释了潮汐的起因和规律;计算出第一、第二和第三宇宙速度,指导人类宇航活动。(2) 数学的产生与发展离不开外部世界的推动,是和解决实 际问题紧密联系的。万有引力定律是人类历史上最伟大的数学模 型z。而一个成功的数学模型对文明发展的影响和作用可能无 法估量,因此数学及其应用对整个人类文明进程举足轻重。(3) 一切伟大的科学发现都是站在巨人肩膀上取得的,因此 学好前人的科学总结,即打好基础对于培养创新精神极为重要。(4) 通过此过程可以复习微积分中的一系列重要内容,如: 高阶导数、复合函数求导法则、微元法等,并进一步学会如何具
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