2020新课标高考数学二轮讲义：第二部分专题七第3讲分类讨论、转化与化归思想

1、第 3 讲 分类讨论、转化与化归思想 分类讨论的原则 分类讨论的常见类型 1.由数学概念而引起的分类讨论 1.不重不漏 2.由数学运算要求而引起的分类讨论 2标准要统一，层次要分明 3由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论 3.能不分类的要尽量避免，决不 无原则的讨论 4. 由图形的不确定性而引起的分类讨论 5. 由参数的变化而引起的分类讨论 分类与整合的思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题 的解答来实现解决原问题的策略 应用一 由概念、法则、公式引起的分类讨论 典型例题 【解析】 由an是等比数列，Sn0,可得 ai = S10, q 丸，当 q= 1 时，

2、S = nai0. 当 q丰1 时，Sn = 3 也0, i - q 即上 = 1, 2, 3,), i - q 1q0, 1q0, 1 qn0. 由得一 1q1. 故 q 的取值范围是(一 1, 0)U (0, +s). 【答案】(1, 0) U (0, +8) 设等比数列an的公比为 q，前 n项和 30(n = 1, 2, 3,)，贝 U q 的取值范围是 a1 (1 qn) 题根据等比数列前 n项和公式的使用就要分 q= 1,3= nai和 1, Sn= 进行讨论. i q 对点训练 1 .一条直线过点(5, 2)，且在 x 轴，y 轴上的截距相等，则这条直线的方程为 ( ) A .

3、x + y 7 = 0 B. 2x 5y= 0 C. x+ y 7 = 0 或 2x 5y= 0 D. x + y+ 7 = 0 或 2y 5x= 0 解析：选 C.设该直线在 x轴，y 轴上的截距均为 a,当 a= 0 时，直线过原点，此时直线 2 x y 方程为 y=x,即 2x 5y= 0;当 a丰0 时，设直线方程为匚+：= 1,则求得 a=乙 直线方程为 5 a a x+ y 7 = 0. 2.若函数 f(x)= ax(a0, a* 1)在1, 2上的最大值为 4,最小值为 m,且函数 g(x)= (1 4m)寸殳在0,+ )上是增函数，则 a= _ . 解析：若 a1,则 a2=

4、4, a1= m,故 a= 2, m =1,此时 g(x)= x,为减函数，不合 题意；若 0a1， 1 答案：1 4 应用二由参数变化引起的分类讨论 典型例题 侧 已知 f(x) = x aex(a R , e 为自然对数的底数). (1) 讨论函数 f(x)的单调性； 若 f(x) e2x对 x R 恒成立，求实数 a 的取值范围. 【解】(1)由题知，fx)= 1 aex, 当 a0,函数 f(x)是(一汽 +P 上的单调递增函数； 当 a0 时，由 f x)= 0 得 x= ln a, 若 x (, ln a),则 fx)0 ; 若 x ( ln a, +),则 fx)0，得 q 的范

5、围，这种解答是不完备的. 则 a-1 = 4, a2= m,故 a =1, m=,检验知符合题意，所以 a=三. 4 16 4 x 1 一 e 一 x 设 g(x)=exex,则 gx(= -x . 当 x0, g x)0, 所以 g(x)在( a, 0)上单调递增. 当 x0 时，1 e2x0, g x) 1. 故 a 的取值范围是1, + a). (1) 参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、 函数等. 解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率 k 存在或不存在，涉及直线与圆锥曲线 位置关系要进行讨论. (2) 分类讨论要标准明确、统一 ，层次分明，分类

6、要做到“不重不漏”. 对点训练 x, 1 1 .设 f(x)= 若 f(a)= f(a +1)，则 f( 1)=( ) 2 (x 1), x 1. a A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解析：选 C.当 0a1 , f(a)= ,a, f(a+1) = 2(a + 1 1) = 2a, 因为 f(a)= f(a + 1),所以.a = 2a, 1 解得 a= 4 或 a = 0(舍去). 所以函数 f(x)在(汽 ln a)上单调递增，在(ln a, + )上单调递减. (2) f(x)w e2x? a 二ex, 1 所以 f(；)= f(4) = 2 X (4 1) = 6. a 当

7、a1 时，a + 12,所以 f(a) = 2(a 1), f(a +1) = 2(a + 1 1) = 2a,所以 2(a 1) = 2a, 无解. /宀 1 综上，f(a)=6. 2.设函数 f(x)=ax2 (3a+ 1)x+ 3a + 2ex. (1) 若曲线 y= f(x)在点(2 , f(2)处的切线斜率为 0,求 a; (2) 若 f(x)在 x= 1 处取得极小值，求 a 的取值范围. 解：因为 f(x)= ax2 (3a + 1)x+ 3a+ 2ex, 所以 fx( ax2 (a + 1)x+ 1ex. f (2) (2a 1)e2. 1 由题设知 f (2=)0, 即(2a

8、 1)e2= 0,解得 (2)由(1)得 fx)= ax2 (a+ 1)x+ 1ex = (ax 1)(x 1)ex. 1 若 a1,则当 x -, 1 时，f刈0. 所以 f(x)在 x= 1 处取得极小值. 若 aw 1,则当 x (0, 1)时，ax 1x10. 所以 1 不是 f(x)的极小值点. 综上可知，a 的取值范围是(1, +8). 应用三由图形位置或形状引起的分类讨论 典型例题 述 J 设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1, F2,若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1| : |F1F2| : |PF2|= 4 : 3 : 2,则曲线 C 的离心率等于 _ . 【解析】 不

9、妨设 IPFg 4t, |F1F2|= 3t, |PF2| = 2t,其中 t 工 0. 若该曲线为椭圆,则有|PF1|+ |PF2|= 6t= 2a, c 2c 3t 1 lF1F2匸 3t = 2c, e= a=石=6 = 2； 若该曲线为双曲线，则有|PF1| |PF2|= 2t= 2a, c 2c 3t 3 |F1F2匸3t=2c, e=訐才沪 2 1 3 【答案】2 或 3 (1)圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按 焦点的位置不同来分类讨论. (2)相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论. 对点训练 2 1.过双

10、曲线 X2- y2 = 1 的右焦点 F 作直线 I交双曲线于 A, B 两点，若|AB|= 4,则这样的 直线 I有( ) A . 1 条 B . 2 条 C. 3 条 D . 4 条 解析：选 C因为双曲线的两个顶点之间的距离是 2,小于 4,所以当直线 I与双曲线左、 右两支各有一个交点时，过双曲线的右焦点一定有两条直线满足条件； 当直线 I与实轴垂直时， v2 一 有 3 2 = 1 ,解得 y= 2 或 y= 2,此时直线 AB 的长度是 4,即只与双曲线右支有两个交点 的所截弦长为 4 的直线仅有一条. 综上，可知有 3 条直线满足|AB| = 4. 2 设 F1, F2为椭圆扌+

11、 4 = 1 的两个焦点，点 P 为椭圆上一点.已知 P, F1, F2是一个 9 4 直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，则器的值为 _ 解析：(1)若/ PF2F1= 90 则 |PF=|PF2|2+ |F1F2|2, 又因为 |PF11 +|PF2|= 6, |F1F2|= 2 .5, 解得|PF1| =晋，眄2|= 4,所以常=纟 若 / F1PF2= 90 ,则 |F1F2|2= |PF1|2+ |PF2|2 , 万世点 所以 |PF1|2+ (6 |PF1|)2= 20 , 所以 |PF1|= 4 , |PF2|= 2,所以 卜 2. 综上知，*冒的值为 2 或 2. 答案

12、：7 或 2 二、转化与化归思想 转化与化归的原则 常见的转化与化归的方法 1.熟悉化原则 2简单化原则 3.直观化原则 4正难则反原则 1直接转化法 2换兀法 3数形结合法 4. 构造法 5.坐标法 6.类比法 7.特殊化方法 8.等价问题法 9.加强命题法 10.补集法 转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时， 米用某种手段将问题通过变换使之转化， 进而使问题得到解决的一种数学思想方法 应用一 一般与特殊的相互转化 典型例题 例 HI过抛物线 尸 ax3 4(a0)的焦点 F，作一直线交抛物线于 P, Q 两点.若线段 PF 与 1 1 FQ 的长度分别为 p, q,则-+ -等于(

13、 ) 1 A . 2a B. 2a 3 1 所以 p+q=4a. (2)由题意，不妨设 b= (2, 0), a= (cos 0, sin 0), 贝 U a + b = (2 + cos 0 sin 0), a b= (cos 2, si n 0), 令 y= |a + b|+ |a b| =( 2 + cos0)?+ sin? 0 + p(cos0 2)2 + sin? 0 = 5 + 4cos 0+ 5 4cos 0, 则 y2= 10+ 2- 25 16COS20 16, 20. 由此可得(|a + b|+ |a b|) max = 20 = 2 5, (|a+ b|+ |a b|)m

14、in = .16= 4, 即|a + b|+ |a b|的最小值是 4,最大值是 2 .5. 4 C. 4a D - a (2)已知向量 a, b 满足|a|= 1, |b|= 2，则|a + b|+ |a b|的最小值是 _ ，最大值是 1 1 【解析】(1)抛物线 y= ax2(a0)的标准方程为 x2 = _y(a0),焦点 F 0, a 4a 一 1 过焦点 F 作直线垂直于 y 轴，则|PF|=|QF|=亦， 【答案】(1)C (2)4 2 5 smci (1) 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单特殊问题一般化 ，可以使我们从宏观 整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理

15、问题的效果. (2) 对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时 ， 可以把题中变化的量用特殊值代替 ，即可得到答案. 对点训练 已知函数 f(x) = (a 3)x ax3在1,1上的最小值为一 3,则实数 a 的取值范围是( ) A ( m, 1 B 12 ,+8 ) 3 “ C. 1 , 12 D 2，12 解析：选 D.当 a= 0 时，函数 f(x) = 3x, x 1, 1,显然满足条件，故排除 A、B; (注意，对于特殊值的选取，越简单越好，0, 1 往往是首选.) 3 3 c 9 当 a = 3时,函数 f(x) = 2x3 2x, f，x(= 2

16、x2 2= |(x2 1), 3 | 当1W x 0 在(t, 3)上恒成立,或g，x)w 0 在(t, 3)上恒成立. 2 2 由得 3x2 + (m + 4)x 20,即 m+ 4一 3x 在 x (t, 3)上恒成立,所以 m + 47 3t x t 恒成立，贝 U m+ 4 1,即 m一 5; 2 由得 m+ 4 一一 3x在 x (t, 3)上恒成立， x 2 37 则 m+ 4W 3 9,即 mW . 37 所以函数 g(x)在区间(t, 3)上总不为单调函数的 m 的取值范围为一*m 5. 3 37 【答案】(37 5) tamo (1)本题是正与反的转化，由于函数不为单调函数有

17、多种情况，所以可先求出其反面情况， 体现“正难则反”的原则. (2)题目若出现多种成立的情形 ，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此， 间接法多用于含有 “至多”“至少”及否定性命题情形的问题中. 对点训练 1 .由命题存在 xo R，使 exo 1| m 0”是假命题，得 m 的取值范围是(汽 a), 则实数 a的取值是( ) B. ( , 2) C. 1 解析： 选 C.由命题“存在 xo R,使 eX。1| m0”是真命题，可得 m 的取值范围是( 1),而( a)与( , 1)为同一区间，故 a = 1. 2.若二次函数 f(x) = 4X2 2(p 2)x 2p2 p+ 1

18、 在区间1, 1内至少存在一个值 c,使得 f(c)0 ,则实数 p 的取值范围是 f ( 1) W 0, pW 2或p 5, 解析：如果在1, 1内没有值满足 f(x)0,则 ？ ？ pw f (1)W 0 pw 3 或 pI 3 或 p3,故实数满足条件的 p 的取值范围为 3, 2 . 5 3 答案：3, 2 应用三 常量与变量的相互转化 典型例题 斑可 已知函数 f(x) = x3 + 3ax 1, g(x)= fx) ax 5,其中 fx)是 f(x)的导函数对任意 a 1, 1,都有 g(x)0，则实数 x 的取值范围为 【解析】 由题意，知 g(x) = 3x1 6 ax+ 3a

19、 5, 令 Q(a)= (3 x)a+ 3x2 5, 1w aw 1. 0( 1) 0, 3x2 x 20 , 2 由题意得 即 解得一3x1. 0 ( 1) 0, 3 + x 80 , 2 故 x的取值范围为一 3 i. 2 【答案】2，i (1)本题是把关于 x 的函数转化为1, 1内关于 a 的一次函数的问题. 在处理多变元的数学问题时 ，我们可以选取其中的常数 (或参数),将其看成“主元”， 而把其他变元看成常量，从而达到减少变元简化运算的目的. 对点训练 1 .对于满足 Ow p4x+ p 3 成立的 x的取值范围是 解析：设 f(p) = (x 1)p+ x2 4x + 3, 则当

20、 x= 1 时，f(p)= 0.所以XM 1. f (0) 0 , ( x 3)( x 1) 0, f(p)在 0w pw 4 时恒为正等价于 即 解得 x3 或 x0 , x2 10 , 故 x的取值范围为(一R, 1) U (3, +). 答案：( R, 1) U (3,+ ) 2 .设 y= (log2x)2 + (t 2)log2x1+ 1，若 t 在2, 2上变化时，y 恒取正值，则 x 的取值 范围是 _ . 解析：设 f(t)= (Iog2x 1)t + (log 2x)2 2log2x+ 1, 即 0 x8 , f ( 2) 0, 贝 U f(t)是一次函数，当 t 2 , 2

21、时，f(t)0 恒成立，贝 U 即 f (2) 0, (log2x) 2 4log2x+ 30, 解得 log2x3, (log2x) 2 10, 1 故 x的取值范围是 0, 2 U (8, . 1 答案：0, 1 U (8,+ ) 应用四 形、体位置关系的相互转化 典型例题 -I 4 在平行六面体 ABCD-AiBiCiDi 中，AAi = AB, ABi 丄 BiCi. 求证：(i)AB /平面 AiBiC； 因为 AB?平面 AiBiC, AiBi?平面 AiBiC, 所以 AB /平面 AiBiC. 在平行六面体 ABCD-AiBiCiDi中，四边形 ABBiAi为平行四边形. 又因

22、为 AAi = AB,所以四边形 ABBiAi为菱形， 所以 ABi丄 AiB. 因为 ABi 丄 BiCi, BC/BiCi, 所以 ABi丄 BC. 又因为 AiBABC = B, AiB?平面 AiBC, BC?平面 AiBC, 所以 ABi丄平面 AiBC, 又因为 ABi?平面 ABBiAi, 所以平面 ABBiAi丄平面 AiBC. 形体位置关系的转化是针对几何问题采用的一种特殊转化方法.主要适用于涉及平行、 垂直的证明，如线面平行、垂直的推理与证明就是充分利用线面位置关系中的判定定理、性 质定理实现位置关系的转化. 对点训练 1.如图，在棱长为 5 的正方体 ABCD AiBiC

23、iDi中，EF是棱 AB 上的一条线段，且 EF =2,点 Q 是 AiDi的中点，点 P 是棱 CiDi上的动点，则四面体 PQEF 的体积（ ） A 是变量且有最大值 B 是变量且有最小值 C.是变量且有最大值和最小值 D 是常数 解析：选 D.点 Q 到棱 AB 的距离为常数，所以 EFQ 的面积为定值.由 CiDi/EF ,可得 棱 CiDi /平面 EFQ ,所以点 P 到平面 EFQ 的距离是常数，于是可得四面体 PQEF 的体积为常 数. 2 .已知三棱锥 P ABC 中，FA = BC = 2.34, PB = AC= i0 , PC = AB = 2 4i，则三棱锥 P ABC的体积为 _ . 解析：因为三棱锥 P ABC 的三组对边两两相等，故可将此三棱锥放在一个特定的长方 体中（如图所示）,把三棱锥 P ABC 补成一个长方体 AEBG-FPDC , 易知三棱锥 P ABC 的各棱分别是此长方体的面对角线. 不妨令 PE= x, EB= y, EA =乙 则由已知，可得 2 2 x2 + y = i00, x= 6, x2 + 2= i36, ? y= 8, y2 + z2= i64 z= iO. 从而知 VP ABC = VAEBG FPDC VP AEB VC ABG VB PDC VA FPC= VAEBG FPDC