电磁学习题与讨论课学习教案

1、会计学1电磁学习题电磁学习题(xt)与讨论课与讨论课第一页，共31页。有一外半径有一外半径R1、内半径、内半径R2的金属球壳的金属球壳, 其中放一半径为其中放一半径为R3的金属球，球壳和球的金属球，球壳和球均带有电量均带有电量(dinling)10-8C的正电荷。的正电荷。问：问：(1) 两球电荷分布。两球电荷分布。(2) 球心的电势球心的电势。(3) 球壳电势。球壳电势。(1)电荷分布如图所示球面电荷分布如图所示球面(qimin)q, 壳内表壳内表(2) 面面-q,壳外表面壳外表面2qR3由高斯由高斯(o s)定律可得：定律可得：)(033RrE)(423202RrRrqE)(0121RrR

2、E)(421200RrrqE(2)0dlEUo3023121RRRRRR10232d0d0RRRrErE12023204d24dRRRrrqrrq12302114RRRq(3)rrqURd4212011042Rq第1页/共31页第二页，共31页。求半径求半径(bnjng)为为R 、带电量为、带电量为q的均匀带电的均匀带电细圆环轴线上的电场。细圆环轴线上的电场。ORx P解：在圆环上取电荷解：在圆环上取电荷(dinh)元元dqqdEdrlRqlqd2dderqE204dd 各电荷元在各电荷元在P点点 方向不同，分布于方向不同，分布于一个圆锥面上。一个圆锥面上。EdqdEdrEd/dE/dddEE

3、E由对称性可知由对称性可知(k zh)0dEE cos4d20/rqEErxRlqr2d4120 d2142030RlRrqx23220)(4Rxqx23220)(4RxiqxE：1、环心处环心处0E2、0 Ex3、令、令 0ddxE处处E有极大值有极大值 2 Rx第2页/共31页第三页，共31页。均匀带电均匀带电(di din)圆平面的电场圆平面的电场(电荷面密度电荷面密度)。OxrdrP叠加原理思想叠加原理思想(sxing)：圆盘圆盘 由许多均匀带电圆环组成。由许多均匀带电圆环组成。解：任取半径解：任取半径(bnjng)为为r的圆环的圆环rrqd 2d由上题结果由上题结果23220)(4R

4、xiqxE得：得：23220)(4ddrxqxE )(4d2R023220rxrrxE1 2220Rxx：1、 x0，或，或 R时，时，02E无限大带电无限大带电平面的电场平面的电场2、 x R时，想一想时，想一想?E2204xRE204xq 简化为点电荷简化为点电荷21222122)1 ()(xRxRx2)(211xR第3页/共31页第四页，共31页。 真空中静电场内，通过任意封闭真空中静电场内，通过任意封闭曲面曲面(高斯面高斯面)的电通量等于该封闭曲的电通量等于该封闭曲面所包围的电量代数和的面所包围的电量代数和的 倍：倍：01讨论讨论(toln)：1. 式中各项的含义式中各项的含义(hny

5、)S：封闭曲面封闭曲面；E：总场：总场, S内外所有电荷均有贡献；内外所有电荷均有贡献；)CmN(1085. 8221120真空电容率（介电常数）真空电容率（介电常数）内qS内的净电荷；内的净电荷； :e只有只有S内电荷有贡献。内电荷有贡献。2. 揭示了静电场中揭示了静电场中“”和和“” 的关系的关系静电场的重要性质之一：静电场的重要性质之一： 静电场是静电场是3.利用高斯定理可方便求解具有某些利用高斯定理可方便求解具有某些 对称分布的静电场对称分布的静电场成立条件成立条件：静电场静电场求解条件：求解条件：电场分布具有某些对称性电场分布具有某些对称性选择恰当的高斯面，使选择恰当的高斯面，使sS

6、Ed中的中的以标量形式提到积分号外，以标量形式提到积分号外，从而从而简便地求出简便地求出 分布。分布。ESeSdE分立iq01连续dq01第4页/共31页第五页，共31页。SSdE中的中的 能以标量能以标量E当场源电荷分布具有某种对称性时，当场源电荷分布具有某种对称性时，应用高斯定律，选取应用高斯定律，选取(xunq)适当的高斯面，适当的高斯面，使面积分使面积分形式形式(xngsh)提出来，提出来，均匀均匀(jnyn)带电球壳带电球壳均匀带电无限大平板均匀带电无限大平板均匀带电细棒均匀带电细棒ElS eOrpEQopeESSeSdE 即可求出场强。即可求出场强。常见类型：常见类型：场源电荷分布

7、场源电荷分布球对称性球对称性轴对称性轴对称性面对称性面对称性第5页/共31页第六页，共31页。例题例题 求电量为求电量为Q 、半径、半径(bnjng)为为R的均匀的均匀带电球面的场强分布。带电球面的场强分布。源球对称源球对称场球对称场球对称RrSeSdE Rr 0 0RrQ0 0 SdSE2 24 4 rE ERr 0RrrQ2 20 04 4 r0ER选高斯选高斯(o s)面面EEEESd 第6页/共31页第七页，共31页。求均匀带电球体求均匀带电球体(qit)(Q、R)的电场分的电场分 布。布。oqP解：对称性分析解：对称性分析(fnx)作以作以O为中心为中心(zhngxn), r为半径的

8、球形面为半径的球形面S，SrES面上各点彼此等价，面上各点彼此等价，E大小相等，大小相等，方向方向沿径向。沿径向。以以S为高斯面：为高斯面：sSEdsSEdcos0sSE d24rE由高斯定理：由高斯定理：sSEd24rEniiq101内24rqE0内 :qqRr内333434 :rRqqRr内304RqrE内令令334Rq体电荷密度体电荷密度rE03内204rqE外第7页/共31页第八页，共31页。1. 求均匀带电球面求均匀带电球面( )的电场分布的电场分布，并画出，并画出 曲线。曲线。qR ,rE E0 )( Rr 4 30rrq )( Rr rROE21 r2. 如何理解带电球面如何理解

9、带电球面 处处 值突变？值突变？ERr 带电面上场强带电面上场强 E 突变是采用面模型的结果，突变是采用面模型的结果，实际问题中计算带电层内及其附近的准确实际问题中计算带电层内及其附近的准确(zhnqu)场强时，应放弃面模型而还其体密度分场强时，应放弃面模型而还其体密度分布的本来面目。布的本来面目。3、计算带电、计算带电(di din)球层球层(R1, R2, )的电场分布。的电场分布。1R2Ro解：解：选一半径为选一半径为r 的球形高斯面的球形高斯面SSr由高斯定理由高斯定理SSEd24 rE内q01内qrE0241)(01Rr )( )(3212310RrRrRr)( 43)( 22020

10、3132RrrqrRR第8页/共31页第九页，共31页。rP对称性分析对称性分析(fnx)：EEddqOqddddEEP点处合场强垂直于带电点处合场强垂直于带电(di din)直线直线,与与P 地位等价的点的集合为以带电地位等价的点的集合为以带电直线为轴的圆柱面直线为轴的圆柱面。高斯面：高斯面：取长取长 L 的圆柱面，加上的圆柱面，加上底、下底构成高斯面底、下底构成高斯面S。SLSESd上SEd下SEd侧SEdrLESE2d0cos侧=0=0由高斯定理由高斯定理0012LqrLE内rE02 rOE第9页/共31页第十页，共31页。1. 无限长均匀无限长均匀(jnyn)带电柱面的电场分布？带电柱

11、面的电场分布？P视为无限长均匀带电直线的集合。视为无限长均匀带电直线的集合。EdEdrEEddO选同轴圆柱型选同轴圆柱型高高斯斯面面rl高高斯斯面面lrrERrERr02:0:ErRO 当带电直线，柱面，柱体当带电直线，柱面，柱体不能视为无限长时，不能视为无限长时， 能否能否用高斯定理求电场分布？用高斯定理求电场分布？第10页/共31页第十一页，共31页。对称性分析对称性分析(fnx)：PPOEdEdEdEd 方向垂直于带电平面，离带电平面方向垂直于带电平面，离带电平面距离相等的场点彼此距离相等的场点彼此(bc)等价。等价。E选择圆柱体表面为高斯面，如图：选择圆柱体表面为高斯面，如图： SSE

12、Sd左SEd右SEd侧SEd=0SE 2根据高斯定理根据高斯定理SE 2内q010S02E得得均匀电场均匀电场其方向由其方向由的符号决定的符号决定第11页/共31页第十二页，共31页。1. 电势电势(dinsh)(electric potential)零势点ppplEqWdUo单位单位(dnwi)：伏特（：伏特（V） 静电场中某点电势等于单位正电荷静电场中某点电势等于单位正电荷在该点具有在该点具有(jyu)的电势能，或将单位正电的电势能，或将单位正电荷由该点移至零势点过程中静电力所荷由该点移至零势点过程中静电力所做的功。做的功。2. 电势差电势差(electric potential diff

13、erence)BABAABlEUUUd 点电荷点电荷q在静电场中在静电场中a沿任意路径移沿任意路径移至至b过程中静电力做的功：过程中静电力做的功：)(dABABAABUUqlEq电势和电势差电势和电势差讨论：讨论：（1） U 为空间标量函数；为空间标量函数；（2）U 具有相对意义，其值与零势具有相对意义，其值与零势 点选取有关，点选取有关， 但但Uab与零势点与零势点 选取无关。选取无关。（3）电势遵从叠加原理：电势遵从叠加原理：即：点电荷系场中任一点的电势等于即：点电荷系场中任一点的电势等于 各点电荷单独存在时在该点产生各点电荷单独存在时在该点产生 的电势的的电势的代数和代数和。iUU(零势

14、点相同零势点相同)（4）由保守力与其相关势能的关系：由保守力与其相关势能的关系：3. 静电力做的功静电力做的功第12页/共31页第十三页，共31页。常选无穷远或地球电势为零。电势差与电势的零点常选无穷远或地球电势为零。电势差与电势的零点(ln din)选取无关。选取无关。(3) 由电势由电势(dinsh)定义计算定义计算零势点零势点ppplElEU dcosd1.场强积分法场强积分法(由定义求由定义求)(1) 首先确定首先确定 分布分布;E(2) 选零势点和便于计算的积分路径选零势点和便于计算的积分路径;2.2.利用电势叠加原理利用电势叠加原理QrdQ04iiirQ04pU点电荷系点电荷系连续

15、分布的带电体连续分布的带电体第13页/共31页第十四页，共31页。RqorPEro21rER选择同心选择同心(tngxn)球面为高斯面，球面为高斯面，S根据根据高斯定律得高斯定律得SSEd24rE 内q0134341433021rRqrERrRqrE3014RrrqE2024:Rr rlEUd1RrrE d1RrE d23200dd44RrRqrqrrRr30228)3(RrRq:Rr rqrrqrEUrr020224d4dr1rRoRq04U第14页/共31页第十五页，共31页。xaOa 解：解： 电场电场(din chng)分布分布) , ( 0 )( 0axaxaxaE 因为电荷无限分布

16、因为电荷无限分布(fnb)，故在有限远，故在有限远处选零势点处选零势点.令令O点电势为零。点电势为零。0OU沿沿X 轴方向积分：轴方向积分： ax区域：区域：axaxExEU0dd a)(000a ：区域区域axa000 )(dxxxEUx ax 区域：区域： dd 0axaxExEU00)(0aa Ux曲线如图曲线如图Uxaoa第15页/共31页第十六页，共31页。例例1. 求无限求无限(wxin)长载流圆柱形导体的长载流圆柱形导体的磁场分布。磁场分布。orPIR解：解：磁场分布磁场分布(fnb)分析分析横截面图横截面图.Ir作半径为作半径为r 的圆环为积分的圆环为积分(jfn)回路回路LL

17、LdlBrB 2根据安培环路定理根据安培环路定理rB 2内I0内内IrB2 0rrIB120外外:Rr II 内:Rr 2222 RIrrRII内内rRIrB202内内第16页/共31页第十七页，共31页。lRon解：解： 分析分析(fnx)磁场分布磁场分布B作安培回路作安培回路abcd如图：如图：PablBdLbalBdcblBddclBdadlBdabBlBba000d根据安培环路定理根据安培环路定理abnIabB0nIB0abnII 内内第17页/共31页第十八页，共31页。1RIN2RroR1R2解：解： 分析分析(fnx)磁场分布磁场分布对称性对称性L相等相等 点的集合点的集合B同心

18、圆环同心圆环以中心以中心(zhngxn)O,半径半径 r 的圆环为安培环路的圆环为安培环路LLdlBrB 2根据安培环路定理根据安培环路定理rB 2内I0内内IrB2 00外外B: , 21RrRr0内内I:21RrRrNIB20内内NII内内第18页/共31页第十九页，共31页。IlHLdNILHLNIHBr0r0截面截面(jimin)磁场磁场近似均匀近似均匀BSm30mr104.78NISL解：选如图所示的安培解：选如图所示的安培(npi)环路环路rNOL第19页/共31页第二十页，共31页。r=0.10m，B=0.50T,转速转速(zhun s)n=3600转转/分。分。电路总电阻电路总

19、电阻(dinz)为为1000。求感应电动势。求感应电动势和感应电流以及最大感应电动势和最和感应电流以及最大感应电动势和最大感应电流。大感应电流。 rB依题意依题意-1s 120602ncosBSSBtrBcos22根据法拉第电磁感应定律得根据法拉第电磁感应定律得tiddtrBsin22RIiitRrBsin22最大最大感应电动势和最大感应电流为：感应电动势和最大感应电流为：V96. 2mimA96. 2miI第20页/共31页第二十一页，共31页。例例5. 一长直导线通以电流一长直导线通以电流 (I0为常数为常数)。旁边有一个边长分别为。旁边有一个边长分别为l1和和l2的矩形线圈的矩形线圈ab

20、cd与长直电流共面，与长直电流共面，ab边边距长直电流距长直电流r。求线圈中的感应电动势。求线圈中的感应电动势。tIisin01l2lrx处的磁感应强度处的磁感应强度(qingd)为：为：xiB20如图取如图取dS=l2dxSSBd120d2lrrxlxirlrtlI1200lnsin220t方向方向(fngxing)时时根据法拉第电磁感应定律得根据法拉第电磁感应定律得tiddrlrtlI1200lncos2根据楞次定律可知根据楞次定律可知为逆时针转向为逆时针转向时，时，当当00cos20itt为顺时针转向为顺时针转向时，时，当当00cos2itt第21页/共31页第二十二页，共31页。Iva

21、cd 解：在解：在cd上任取上任取dlvB方向xIB20 x根据根据(gnj)动生电动势公式得：动生电动势公式得：dlxIdi)90cos(90sin2000cossin20dxxIdxtgxILaaicos02aLatgIcosln20方向方向(fngxing)：c至至d。第22页/共31页第二十三页，共31页。StBlESLdd感电磁场的基本电磁场的基本(jbn)方程之一方程之一可见可见(kjin)：(1) 变化的磁场能够激发电场。变化的磁场能够激发电场。(2) “-”的含义：的含义： tB感E负右手螺旋负右手螺旋(3)感生电场的性质：感生电场的性质：0d SSE感StBlESLdd感(4

22、) 对场中电荷的作用力：对场中电荷的作用力：感感EqF1. 定义求解：定义求解：LilEd感LilEd感2. 法拉第电磁感应定律求解：法拉第电磁感应定律求解：SiSBttddddd第23页/共31页第二十四页，共31页。tBddL感生感生(n shn)电场的方向如图：电场的方向如图：感感E感感E感感EStBlESLdddd感StBrESddd2感，Rr 2dd2rtBrE感tBrEdd2感，Rr 2dd2RtBrE感tBrREdd22感第24页/共31页第二十五页，共31页。BobaRch感生电场感生电场(din chng)分布：分布：tBrEdd2内tBrREdd22外bcab感ldldr外Er内EcbbalElEdd外内cosddd2ltBrbacosddd22ltBrRcbrhRhRlhrcos 23 )2(222ltBhRddd20感lRlhtBhRRRd)2(1dd22222tBRtBRdd12dd4322tBRdd12332)( ), ( ca第25页/共31页第二十六页，共31页。BobaRch连接连接 , 形成闭合回路形成闭合回路OcOa,Oac感E半径半径(bnjng)内E内E外E0OcOaacOcacOaOac通过通过 的磁通量的磁通量:Oac)1233(2RB)(d扇SS