2020年高中数学新教材人教A版必修第2册练习十三余弦定理正弦定理应用举例--距离问题89

1、-1 - 课时素养评价十三 余弦定理、正弦定理应用举例一一距离问题 基础练 （25 分钟 50 分） 一、选择题（每小题 4 分，共 16 分） 1.（2019 诸暨高一检测）如图所示，设 A, B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在 的河岸边选定一点 C,测得 AC 的距离为 50 m,Z ACB=45 , / CAB=105，贝 U A, B 两点间的距离为 （ ） A. 50 m B.50 m 25乎 2 C.25 m D. m 【解析】 选 A.由题意知，在 ABC 中，AC=50 m / ACB=45，/ CAB=105，所以/ CBA=180 -45 -105 =30

2、,所以由正弦定理可得, 2 50X AC sin/-A CB 2 =5ogm). 某人从 A 处出发，沿北偏东 60行走 3 km 到 B 处，再沿正东方向 A.4 km C.7 km 行走 2 km 到 C 处，则 A, C 两地距离为 2.（2019 苏州高一检测 B.6 km D.9 km f - 7 -2 - 【解析】选 C.如图所示，由题意可知 AB= , BC=2 / ABC=150 , 由余弦定理得 AC=27+4- 2X3 X 2X cos 150 =49, 所以 AC=7,所以 A, C 两地距离为 7 km. 3. 台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动

3、，离台风中心 30 千米内的地区为 危险区，城市 B 在 A 的正东 40 千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为 （ ） A.0.5 小时 B.1 小时 C.1.5 小时 D.2 小时 【解析】选 B.设 t 小时后，B 市恰好处于危险区内，则由余弦定理得：（20t） 2+402- 2X 20t X 40cos 7 2 2 :2 .;2 4 45 =30 .化简得：4t-8lt+7=0，所以 ti+t2=2 , t it2=. 从而|八 U: i九 4. 如图，某炮兵阵地位于 A 点，两观察所分别位于 C, D 两点已知 ACD 为正三角形，且 DC=、 km,当目标出现在 B 点时，测得

4、/ CDB=45，/ BCD=75，则炮兵阵地与目标的距离是 （ ） A.1.1 km B.2.2 km C.2.9 km D.3.5 km 【解析】 选 C. / CBD=180 - / BCD-/ CDB=60 .在厶 BCD 中由正弦定理得 -3 - CDsinlS- J6 + sin60 2 BD= = 在厶 ABD 中，/ ADB=45 +60 =105 , 由余弦定理，得 AB=AD+BD-2AD BDcos 105 卜f I 2 丿 3 2 4 =3+ +2X x _ x =5+2 I 所以 AB=l 2.9（km）. 答：炮兵阵地与目标的距离约为 2.9 km. 二、填空题（每

5、小题 4 分，共 8 分） 5九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题， 2019 年第 1 号台风“帕布”（热带风暴级） 登陆时再现了这一现象，不少大树被大风折断 某路边一树干被台风吹断后 （如图所示，没有 完全断开），树干与地面成 75角，折断部分与地面成 45角，树干底部与树尖着地处相距 10 米，则大树原来的高度是 _ 米（结果保留根号）. 【解析】如图所示，设树干底部为 0,树尖着地处为 B,折断点为 A,则/AOB=75 , / ABO=45 , 所以/ OAB=60 . 0A AB 10 由正弦定理知， 10 15壬 + 5禺 33 所以 OA= 米，AB= 米， （5J2 + 5J

6、6） 所以 OA+AB= 米 -4 - 答案：（5 J +5 ） 6.（2019 宁德高二检测）一艘船以每小时 20 km 的速度向东行驶，船在 A 处看到一灯塔 B 在 北偏东 60,行驶 2 h后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15,这时船与灯塔的距离 为 _ km.-5 - B, 在货轮南偏东 60 .求: A 处与 D 处的距离. 灯塔 C 与 D 处之间的距离. 【解析】由题意，画出示意图，如图所示 (1)在厶 ABD 中, 由已知/ ADB=60，/ DAB=75 , 则 B=45 .北 H 【解析】由题意知， ABC 中，AC=20 2=40, / BAC=30 , /

7、B=180 -30 -(90 +15 )=45 , ACsinZ-BAC 由正弦定理得, 1 40X2 BC=川山 2 V迄 2 JL =20、 (km), JL 20 km. 所以船与灯塔的距离为 答案：20 - 三、解答题（共 26 分） 7.（12 分）海上某货轮在 A 处看灯塔 B,在货轮北偏东 75，距离为 12 n mile ;在 A 处看 灯塔 C，在货轮的北偏西 30，距离为 8、 n mile ;货轮向正北由 A 处航行到 D 处时看灯塔 -6 - ABsin45o 由正弦定理，得 AD= 八山 =24（n mile）. 答：A 处与 D 处之间距离为 24 n mile.

8、在厶 ADC 中，由余弦定理，得 CDUAEJ+AC2-2AD ACcos 30 =242+（8 2-2X 24X8 宀=（8）2, 答：灯塔 C 与 D 处之间的距离为 8 n mile. 【加练固】 如图所示，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树 C, D（CD 与河岸平行 选取岸边两点 A,B（AB 与河岸平行），测得数据：AB=6 m / ABD=60 , / DBC=90 试求 C, D 间的距离. 【解析】/ ABC=/ ABD+Z DBC=60 +90 =150 ,所以/ C=18C -150 =30 , / ADB=180 -75 -60 =45 . AB.sinZ-ABD 由

9、余弦定理得 JAD+AB2 - 2AD.AB.cosZDAB BD= =3+3 .在 Rt BDC 中, BD CD= =6+6 , 即 CD 的长为（6+6、J） m. 8.（14 分）（2019 眉山高一检测）如图，某海轮以 30 海里/小时的速度航行，在 上油所以 CD=& J （n mile） ）之间的距离, Z DAB=75 . ABD 中， 由正弦定理得 AD= sinZ-ADB A 点测得海面 0,海轮改 HT -7 - 井 P 在南偏东 60,向北航行 40 分钟后到达 B 点，测得油井 P 在南偏东 为北偏东 60的航向再行驶 80 分钟到达 C 点，求 P, C 间

10、的距离.-8 - 40 60 【解析】在厶 ABP 中，AB=3(K =20, / APB=30，/ BAP=120 , 由正弦定理得 20吟 ABsin/-BAP 1 BP= 3 心 = 2 =20 80 由已知/ PBC=90，所以 PC= =、一 ，7 =20、（海里）. 答：P, C 间的距离为 20 海里. 能力练 （15 分钟 30 分） 1.（4 分）如图所示为起重机装置示意图 货物与岸的距离 AD 为（ ） 15 A.30 m B. m C. 15 m D.45 m k 1 A 1东 在厶 BPC 中，BC=301. 在厶 OCD 中,由题意易得/ COD=3 , OD=20

11、x CD=60(x-2). 由余弦定理，得 cD=OD+Od2OD OCcos/ COD 所以 3 602(x-2) 2=(20 x) 2+(60 I ) 2-2X 20 xX 60 X cos 30 .解得 x=3 或 x=,因为 x1 ,所以 x=3. 所以快艇驶离港口 B 后，至少要经过 3 小时才能和考察船相遇 1 10 2 + 1 -2X 解得J (km/h). -14 - 【加练固】-15 - 变航向，继续向南航行，有无触礁的危险? 【解题指南】 船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于 A 到直线 BC 的距离与 38n mile 的 大小，于是我们只要先求出 AC 或 AB 的大小，再计算出 A 到 BC 的距离，将它与 38n mile 比 较大小即可. 【解析】在厶 ABC 中，BC=3Q B=30 , / ACB=135，所以/ BAC=15 , BC AC 由正弦定理，得 5y；， 30 AC 即十门=汕刊）， 所以 AC=60cos 15 =60cos(45 -30) =60(cos 45 cos 30 +sin 45 sin 3