解三角形专题

1、解三角形专题2、基础知识:ab c1、 正弦定理：2R，其中R为L ABC外接圆的半径sin A sinB sinC正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具 备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行2 2 2 2 2 2例如：（1） sin A si n B -si n As in B = sin C：= a b ab 二 c（2）bcosC ccosB=a= sinBcosC sinCcosB=sin A （恒等式） “、bc sinBsinC（3）a sin AA是钝角还是锐角2、 余弦定理：a 2(2) a2 = b c -2

2、bc 1 cosA 二 b2 c2 -2bccosA变式：.2 2 2/八八b +c -a(1) cos A2bc 此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出当b2 c2 a2时，cos A 0，即A为锐角;2 2 2当b c = a （勾股定理）时,cosA =0，即A为直角;当 b2 c2 : a2 时，cosA ： 0，即 A 为钝角 观察到分式为齐二次分式，所以已知a,b,c的值或者a:b:c均可求出cosA此公式在已知b - c和bc时不需要计算出b,c的值，进行整体代入即可3、三角形面积公式：1S a h （ a为三角形的底，2111S absinC bcsin AacsinB2

3、221S a b c r （ r为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径） 2(1)(2)(3)(4)海伦公式：Sh为对应的高）二 p p -a p -b p -c , p W a b c证明：S 十bsi心 S2#a2b2sin2C#a2b21-cos2C向量方法：S2 2-a b （其中a,b为边a, b所构成的向量，方向任意）1匚 22呷叫二 S=§y(ab) -(abcosC )，而 a b =abcosC(5)44a-b_ 12S=2忡 H _（a b）坐标表示：耳吟1a =（为， ）,b（X2,y2 ），则 S = - x2 x?%4、三角形内角和 A亠B亠C =二

4、（两角可表示另一角）sin（A B） =sin：y实-C =sinC cos（A B） =cos*t - C = -cosC5、确定三角形要素的条件：（1）唯一确定的三角形： 已知三边（SSS :可利用余弦定理求出剩余的三个角 已知两边及夹角（SAS：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求 出剩余两角 两角及一边（AAS或ASA：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边（2）不唯一确定的三角形 已知三个角（AAA）:由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个。由正弦定理可得：已知三个角只能求出三边的比例：a:b:c = sinA:sin B:sinC 已

5、知两边及一边的对角（SSA）：比如已知a,b,A，所确定的三角形有可能唯一，也有可能是两个。其原因在于当使用正弦定理求B时，一asinB，而sin A sinBaB io,，二 时，一个sinB可能对应两个角（1个锐角，1个钝角），所以三角形可12丿a丿能不唯一。（判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点，具体可参考例1）6、解三角形的常用方法：（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求 解 7、三角形的中线定理与角平分线定理（1）三角形中线定理：如图，设 AD为L ABC的一条中线, 则 AB

6、22AC =AD DC -2 AD DC cos ADC ?D为BC中点 BD二CD* ADB ADC 二二 cosADB = - cosADC-可得：AB2 AC2 =2 AD2 BD2 AC2 =2 AD2 BD2（知三求一）证明：在LABD中222AB 二 AD BD -2AD BDcosADB Lead为等腰三角形 .ea = edBDBEbe而由L BED | BAC可得：BEABDCAEEDEDACABBDAC_CD、典型例题：（2）角平分线定理：如图，设AD为L ABC中.BAC的角平分线，则AB BDAC CD证明：过D作DE / AC交AB于EBDDCBEAE.EDA=/DA

7、C7 AD为.BAC的角平分线EAD "DACEDA/EADA例1 ：（ 1）LABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若c 2,b “ 6, B = 60：，则c =（2）ABC的内角 代B,C所对的边分别为a,b,c，若c = J2b=/Co。，则B=思路：（1）由已知B,b,c求C可联想到使用正弦定理：sincSjn-BsinB si nCb1代入可解得：sinC。由c : b可得：C . B =60，所以C = 30:2答案：C -30c（2）由已知C,b,c求B可联想到使用正弦定理： csin B-P匹sinB si nCc代入可解得：sin B -，贝U B =6

8、0；或B =120；，由c ： b可得：C . B，所以B =60：和2B =120均满足条件答案：B =60：或 B =120：小炼有话说：对比（1）（ 2）可发现对于两边及一边的对角，满足条件的三角形可能唯一确定，也有可能两种情况，在判断时可根据“大边对大角”的原则，禾U用边的大小关系判断出角之间的大小关系，判定出所求角是否可能存在钝角的情况。进而确定是一个解还是两个解。例2:在L ABC中，BC=2, B=60，若L ABC的面积等于，则AC边长为2思路：通过条件可想到利用面积 S与BC厂B求出另一条边 AB，再利用余弦定理求出 AC即解: Sabc = 2AB BC sinB 訂AB

9、2 今撐.AB =1Ac2"b2 BC2-2ABBCcos" 4-22!3AC答案:,3（2012课标全国）已知a,b,c分别为LABC三个内角A,B,C的对边，且有acosC '一3asinC -b -c =0(1)求 A（2）若a = 2，且LABC的面积为.3，求b,c（1）思路：从等式 acosC 、.3asinC-bc = 0入手，观察每一项关于 a,b,c齐次，考虑利用正弦定理边化角:acosC3asi nCbc=0二 si n AcosC 、3si n Asi nCs in Bs in C=0，所涉及式子与A,C关联较大，从而考虑换掉 sinB二sin

10、 A C，展开化简后即可求出A解: a cosC - , 3asin C - b - c = 0 =sin AcosC 、3sin AsinC -sinB sinC = 0二 sinAcosC -3sin AsinCsin A C sinC =0二 si nAcosC3si n As in C -si n AcosCsi nCcosA-s inC =0(31 )(n1A-=1 =:si n 1 A -l=-6I 62即 '一 3sin A-cosA =1= 2sin5'xA或A(舍)6 6 6 6jiA -3ji（2）思路：由（1）可得A ，再由Sabc3定理可列出b,c的两个

11、方程，解出b,c即可=3， a =2可想到利用面积与关于A的余弦解:1Sabcbcsin A = 13= bc =42 2 2 2 2a b e 2bccosA= 4=b c beb2 c2-bc*= b2 c8 可解得 b=2be =4be =4c=2小炼有话说：通过第（1）问可以看出，在遇到关于边角的方程时，可观察边与角正弦中是否具备齐次的特点，以便于进行边角互化。另一方面当角A,B,C同时出现在方程中时，通常要从所给项中联想到相关两角和差的正余弦公式，然后选择要消去的角sin C的值为思路：求sinC的值考虑把和 BDC，在 L BDC 中，例 4 :如图，在 ABC 中，D 是边 AC

12、 上的点，且 AB =AD,2AB =.；.：3BD,BC =2BD，则C放入到三角形中，可选的三角形有L ABC已知条件有两边 BD,BC，但是缺少一个角（或者边），看能否通过其它三角形求出所需要素，在Labd中，三边比例已知，进而可求出.BDA，再利用补角关系求出 BDC，从而BDC中已知两边一角，可解出 C解：由 2AB f ；3BD 可设 BD =2k 则 AB =£3kAD 二.3k,BC =4k在L ADB 中，cosADBAD2 BD2 - AB22AD BD（V3k：+（2k）2-（T3k）2 73-32、3k 2kcosBDC 二-cosADB =3.6在BDC中，

13、由正弦定理可得：BDBC. c BD sinBDC -.6sin CsinC sin BDCBC63小炼有话说：（1）在图形中求边或角，要把边和角放入到三角形当中求解，在选择三角形时尽量选择要素多的，并考虑如何将所缺要素利用其它条件求出。（2）本题中给出了关于边的比例，通常对于比例式可考虑引入一个字母（例如本题中的k），这样可以将比例转化为边的具体数值，便于计算例5：已知LABC中，a,b,c分别是角 代B,C所对边的边长，若L ABC的面积为S，且2 22S=（a+b） c2，贝U tanC 等于2 2 1思路：由已知2S =a b ； -c可联想到余弦定理关于 cosC的内容，而Sabsi

14、nC，所以可以得到一个关于 sinC,cosC的式子，进而求出tanC2 2 1 2 2 2解：2S = a b c ：= 2 absin C 二 ab- c 2ab, 2 2 2 2 2 2而 c =a b -2abcosC . a b - c =2abcosC 代入可得:absin C =2ab 2abcosC 二 sin C = 2 2cosC4si nC =2 2cosCsin 2C cos2CsinC =5C 3cosC =5tanC - -434答案：tanC =-一3例6：在ABC中，内角代B,C所对的边分别为a,b,c，已知 ABC的面积为3、15 ，1b -c 二 2,cos

15、A ,贝U a 的值为.b,c的值，所以寻找解出 b,c的条件,二5代入可得be = 24，再由b - c = 244思路：已知cosA求a可以联想到余弦定理，但要解出S abc = 1 besin A = 3.15，而 sin A = 1 - cos2 A =2可得 a2 = b2 c2 - 2bccosA = b - c $ 2bc - 2bccosA 二 64，所以 a =8答案：8例7:设LABC的内角 A,B,C所对边的长分别为a,b,c，若bsin A -3acosB = 0 ,且2a亠cb = ac，贝y的值为（）bA. B. 2C.2D.42思路：由 bsin A - . 3a

16、cosB =0 可得：sin Bsin A - . 3sin AcosB = 0 ,从而 tan B = . 3 ,解得B，从b2二ac可联想到余弦定理：b2二a2 c2 - 2accosB二a2 c2 - ac，所以322J 22a + c有 a2c2ac二 ac= ac0，从而 a =c再由b2二 ac可得 a = b =c，所以的b值为2答案：Ca + e小炼有话说：本题的难点在于公式的选择，b2 = ae以及所求也会让我们想到正弦定理。b但是通过尝试可发现利用角进行计算较为复杂。所以在解三角形的题目中，条件的特征决定 选择哪种公式入手；如果所给是关于边，角正弦的其次式，可以考虑正弦定理

17、。如果条件中 含有角的余弦，或者是边的平方项，那么可考虑尝试余弦定理。例&设LABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，且 b2A.6B.C.2 二 亠=a be, A ，则 C -（）6二或3_或 4D.思路：由a2 =b2 - be的结构可以联想到余弦定理:2 2 2a b e -2bccos A，可以此为突破口，即 b2 -be =b2 c2 -2bccos A，代入解得:.c = . 3 -1 b，进而求出a3"b，得到a,b,c比例代入余弦定理可计算出C解：由 b2 =a2 bc可得：a2 =b2 -be ,2 2 2：a 二 b c -2bccosA2 2

18、 2.b bc=b c -2bccosAa2 bc4 2.3b_、31b2 -三c2 3 -1 be . c =3 -1 b 代入到 b2可得：a2 =b2 - .3 -1 b2- a = , 2 - 3b =二 a: b: c =亦 一1V2cosC -a2 b2 -c22ab23二1TtC =-4例9:已知L ABC的余弦值是(A. 34思路：不妨考虑理d泄二a sin A sin A的三边长为三个连续的自然数,)且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角710a : b c，将三个边设为a = x -1,b = x,e = x 1，则C = 2A，想到正弦定sin 2 A2cosA，再将co

19、sA利用余弦定理用边表示，列方程解出x，从而求B.C.D.出 cosA解：设 a : b : c，则 a = x -1,b 二 x,c 二 x 1si nC sin Asin2Asi nA=2cosAcb2 c2 - a2b2 c2 - a22代入 a = x - 1,b = x,c = x 1 可得:2a2bcbc代入 a = x-1,b = x,c = x 1 可得2 ,2 ,2x 1 XX 1 1 Ix -1解得：x=5 ?x -1x x 1a = 4,b = 5,c = 6,222小A b+ca3.cosAbc 4答案：A小炼有话说：本题的特色在于如何利用“最大内角是最小内角2倍”这个

20、条件，可联想到正余弦的二倍角公式。本题采用正弦二倍角公式，在加上余弦定理可之间与题目中边的条件找2到联系。如果采用余弦二倍角公式， 则有cosC =2cos A -1，即便使用余弦定理也会导致方 程次数过高，不利于求解。面积为3 - .3， 则 N BAC =例 10：在 L ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD rCD,. ADB =120, AD =2，若L ADC 的思路：要求出.BAC，可在ABC中求解，通过观察条件ADB =120：( ADC =120), AD =2,SADC =3-、3，可从L ADC可解，解出AD, AC，进而求出BD，再在L ABD中解出AB，从而ABC三

21、边齐备，利用余弦定理可求出BACA解：* S adc - AD DC sin ADC = 3 -、322 3-3ji2 sin3=2 .3-1AC2-AD2 DC2 -2AD DC cosADC= 22：；2 .3-2 22 2 2同理 AB =AD DB -2ADDB cosADBcosBAC = AB AC2 一 BC22AB AC6 6 . 3 - n -3一1 $ 1答案：.BAC =60小炼有话说：（1）本题与例4想法类似，都是把所求要素放入到三角形中，同时要通过条件 观察哪个三角形条件比较齐备，可作为入手点解出其他要素（2）本题还可以利用辅助线简化运算，作ADC =60AD =2

22、得 AM =3, DMAM _ BC于M，进而利用在 RL ADM 中=1，再用 S ADC = 3 - 3 解出 CD = 23 - 1进 而 BD = -、3 -1， 则BM 二 BD DM 二,3,CM =CD - DM所以 BAM=45-tMAC=CMMAC =15，所以 BAC =60三、近年好题精选设L ABC的内角A,B,C所对边的长分别为 a,b,c，且a=1,B，Sabc41、=2,贝y sin A 二A.210B.50C.8282D.丄102、设L ABC的内角A, B,C所对边的长分别为a,b,c，且 b =3,c =1,A=2B，贝U a 的值为A.B.C.D.233、

23、在L ABC中，D为BC边上一点,DC =2BD, AD 二.2, ADC = 45：，若 AC 二,2AB，A. 2B.C.2 .5D.3 .54、（2015，北京）在 |_ABC 中,a = 4,b = 5,c = 6 ,sin2Asi nC 15、（ 2015,广东）设L ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a 3,si nB,C =,2 6则b=6、（2015，福建）若锐角|_ABC的面积为10J3，且AB=5,AC=8，则BC等于 答案：77、（2015,天津）在L ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知L ABC的面积为3._75，1b c = 2,cos

24、A = 一，贝U a 的值为418、（ 2014，天津）在 LABC中，内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，已知b-c a ,42sinB = 3sinC，则 cosA的值为9、（2014，山东）在ABC中，已知TBTC . tan A，当 A 二时，L ABC的面积为已知10、（ 2014 ,辽宁）在L ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,且a . c ,1BA BC = 2,cosB ,b =3，求：3（1） a,c的值（2） cos B-C 的值11、 （2015，陕西）设 LABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，向量 耕N.ajb与n 二 cosA,si

25、n B 平行（1）求 A（2）若 a h$7,b =2，求 L ABC 的面积12、（2015，新课标II ）在ABC中，D是BC上的点，AD平分 BAC , L ABD的面积 是L ADC面积的2倍（1）求sin Bsin C若AD=1,DC，求BD,AC的长213、（2015 ,安徽）在 L ABC 中,A = 一，AB 二 6, AC = 3 2 ,点 D 在 BC 边上，AD 二 BD , 4求AD的长14、（2015，江苏）在 LABC 中，已知 AB =2,AC =3,A 二一3（1）求BC的长（2）求sin2C的值ACD解析:1S abcacsin B = 2= c = 42飞2

26、.b2二 a2 c2 2accosB代入可得：b2 =1 32 -2 1 4.22 = 252习题答案：1、答案：Ab =5asin A旦=sinA 工 sinB 二乜sinBb102、答案：D解析：；A=2B sin A=sin2B = 2sin BcosB.a =2bcosBcosBa2 c2 -b2ac2aa =2b c2 -b22ac2aa2 = 3 a2 -B. 2a? =24= a =2、33、答案：C解析：设BD = x，则CD = 2x，由余弦定理可得:AB2 = AD 2 + BD|2 -2 AD BD cos135AC2 =|AD2 +|CD2 2 AD CD cos45，

27、代入可得:2 2II AB =2+x2+2xf 22I AC =2+4x-4xT AC =T2|AB21 2 x 2x的/曰2 解得:2 2 4x2 -4x解析：sin2Asin Ab2 c2 -a2 a2536 -16 42cos A221sinCsinC2bcc2 5 664、答案：15、答案：1兀2兀B ,从而A ,由正弦定理可得:631 兀解析：由sinB及C 可得:2 6a bsin A sinB解得b= 16、答案：7sin A = 3，即2A '，再由余弦定理可计算31解析：由S ABC AB ACsin A,可得:2BC =、AC2 AB2 2AB ACcosA = 7

28、7、答案：81./2j'/T5解析:cosA = -: sinA = .1 cos A =44S abc = bcsinA=3-15= bc=2422 2 2 2由余弦定理可得：a-b c - 2bccosA - c i 亠 2bc 1-cosA=64 .a =818、答案：一丄4 1解析：由2sin B = 3sinC可得2b=3c代入到b-ca即可得到a:b:c = 4:3:2，不妨4设 a = 4k, b = 3k, c = 2k，则 cosA 二2_a2bc2 2 29k 4k -16k2 3k 2k19、答案：丄6sin A 解析：AB AC 二 tanA= bccosAcosAsin A.bc2cos A112 sinA1 21S abcbcsin A 2= -tan A =二22cosA2610、解析：由 BA BC = 2 可得：accosB =2-ac 二 62 2由余弦定理可得：b2 =(a+c) 2ac(1+cosB )即 9 = (a+