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文档简介
1、专题突破一 三角形中的隐含条件解三角形是高中数学的重要内容,也是高考的一个热点由于公式较多且性质灵活,解题时 稍有不慎,常会出现增解、错解现象,其根本原因是对题设中的隐含条件挖掘不够下面结 合例子谈谈在解三角形时,题目中隐含条件的挖掘.隐含条件1两边之和大于第三边例1 已知钝角三角形的三边 a = k, b = k+ 2, c= k+ 4,求k的取值范围.解 设角A, B, C的对边分别为a, b, c.t c>b>a,且厶ABC为钝角三角形,C为钝角.2 2 2 2 a2 + b2 c2 k2 4k 12由余弦定理得 cos C ='=<0.2ab2k(k+ 2)
2、k2 4k12<0,解得-2<k<6.由两边之和大于第三边得k+ (k+ 2)>k+ 4, k>2,综上所述,k的取值范围为2<k<6.反思感悟虽然是任意两边之和大于第三边,但实际应用时通常不用都写上,只需最小两边之和大于最大边就可以.跟踪训练 1 在厶ABC中,AB = 6, AC = 8,第三边上的中线AD = x,贝U x的取值范围是.答案(1,7)解析 以AB, AC为邻边作平行四边形 ABEC,贝U BE = AC= 8.AE = 2x.2x+ 6 > 8,由 2x+ 8 > 6,解得 1 v xv 7.6 + 8> 2x,
3、 x的取值范围是(1,7).隐含条件2三角形的内角范围例2已知 ABC中,B= 30° AB= 2 3, AC= 2,则厶ABC的面积是答案2 .3或 3解析由正弦定理,得sin C= AB:; B=.AC2 C= 60°或 C= 120°当 C= 60°时,A = 90°则S ABC = |ab AC sin A = 2®当 C= 120°时,A = 30°,则 Sabc = 2ab AC sin A = .3. ABC的面积是2 3或3.反思感悟利用正弦定理解决“已知两边及其中一边对角,求另一角”问题时,由于三
4、角形内角的正弦值都为正的,而这个内角可能为锐角,也可能为钝角,容易把握不准确出错.1跟踪训练2 在厶ABC中,角A,B, C的对边分别为 a, b, c.若asin Bcos C+ csin Bcos A = b,贝H B=.答案n或5 n6 61解析 由正弦定理,得 sin As in Bcos C + sin Cs in Bcos A= s in b./ 0 v B v n sin B 丰 0.1 sin A cos C+ cos Asi n C=夕1 1sin(A+ C) = 2,sin( n B)=夕1sin B= 2.又 B (0, n, B= 或 B= 5 n.2例3在厶ABC中,
5、角A, B, C的对边分别为a, b, c.严A=書,试判断三角形的形状.tan B b2 2解由t黑=醫和正弦定理,得sOsASB=踹又a,Be(o, n,cos B sin A tCOS7=耐'即 sin Acos A=sin Bcos B, 即 sin 2A= sin 2B, /. 2A= 2B 或 2A+ 2B = n.n A= B 或 A + B= 2. ABC是等腰三角形或直角三角形.反思感悟 在厶ABC中,sin A= sin B? A = B是成立的,但 sin 2A= sin 2B? 2A= 2B或2A + 2B= 180 °跟踪训练 3 ABC的内角 A,
6、 B, C的对边分别为 a, b, c.若 c-a = 2acos B,贝U B- 2A答案 0解析 由正弦定理,得 sin C sin A = 2sin Acos B.T A+ B + C= n - C= n (A+ B), sin C sin A= sin(A+ B) sin A=sin Acos B+ cos Asi n B sin A=2si n Acos B, sin Bcos A cos Bsin A= sin A, sin(B A)= sin A./ A, B (0, n . - B A= A 或 B A= n A(舍). B 2A= 0.例4在厶ABC中,角A, B, C的对边
7、分别为a, b, c.B= 3A,求b的取值范围.ab sin B sin 3A解由正弦定理得-= a sin A sin Asin A + 2A sin Acos 2A + cos As in 2Asin Asin A2 2=cos 2A+ 2cos A = 4cos A 1.A+ B + C= 180° B= 3A, A+ B = 4A<180° , 0°<A<45°,才<cos A<1 ,2b 1<4cos A 1<3 , 1<一<3.反思感悟 解三角形问题,角的取值范围至关重要一些问题,角的取
8、值范围隐含在题目的条件中,若不仔细审题,深入挖掘,往往疏漏而导致解题失败.跟踪训练4 若在锐角厶ABC中,B= 2A,则A的取值范围是 .解析答案由厶ABC为锐角三角形,0< A v 2,Ov C= n A B= n- 3A < ?,例5 设锐角 ABC的内角A, B, C的对边分别为 a, b, c,且a = 2bsin A.(1)求B的大小;求cos A+ sin C的取值范围.解 由正弦定理及a= 2bsin A得,壬;=生=2b, sin B =1,sin A sin B2又 b o, n,n n6 2'(2)由厶ABC为锐角三角形,得0< B=2<7o
9、< c=6a < 2,解得n< a < ncos A+ sin C= cos A+ sin < sin A+-2 v 3sin A + 3n 33 V 2. cos A+ sin C的取值范围为反思感悟事实上,锐角三角形三个内角均为锐角对角A的范围都有影响,故C = n A B2 由此得A 3, 2 .跟踪训练5 锐角 ABC中,B = 60° b = 2<sin 2A ,求 ABC面积S的取值范围.解由正弦定理,b近a= sin A= r sin A= 2si n A.sin B_J2同理 c= 2sin C,G 11 - S= jacsin B
10、 = ?2sin A 2sin C sin 60罕訟 1, ¥<¥sinA即S的取值范围为=J3s in As in C,A+ B + C= n C= n A B= 3 A.3又 A, C为锐角,2 n n n n °<2TA<n 6<A<n S= 3s in As in 手-A2 n2 n=,3si n Asin cos A coss in332=jsin Acos A+ ysin A3 3 1 cos 2A=sin 2A+ 丁 2fsin 2A .n n n n 5'6<A<2, ' 6<2A 6
11、<6 n,达标检测1 .在 ABC中,必有()A . sin A+ sin B v 0B. sin A + cos B v 0C. sin A+ cos B> 0D. cos A + cos B> 0答案 D解析 在厶 ABC 中,A+ B V n, 0v Av n- B V n. cos A> cos( n B) = cos B. cos A+ cos B> 0.352 .在 ABC 中,已知 sin A = 5, cos B =石,贝卩 cos C=答案1665解析 若A为钝角,由sin A= gv申,知A >今52351又由 cos B = 13v 2
12、.知B>n从而A+ B> n.与A+ B + C = n矛盾. A为锐角,cos A= 45'亠5/口12由 cos B= 13,得 sin B=石. cos C= cos(A + B) =(cos Acos B sin Asi n B)h'45 3x 入 入.513 51316=65.3. 在 ABC中,C = 120 ° c=Q2a,贝U a与b的大小关系是 ab.答案 >,整理得a2= b2a+ ab>b , a>b. + b2 c2a2 + b2 (J2a解析 方法一由余弦定理cos C =,得cos 120 =2ab2ab方法/
13、 C= 120° A+ B = 60° A> 30° Bv 30° / a> b.4 .在 ABC中,若b2= ac,则b的取值范围是.a答案呼解析 设=q,则由b2= ac,得-=c = q.aa b2 b = aq, c= aq ._ 2a + b> c,a + aq> aq ,由 a + c> b, 得 a + aq2> aq ,.b + c> a,. aq+ aq > a,c5 .在钝角厶ABC中,2B= A+ C, C为钝角,-=m,贝V m的取值范围是 a答案 (2,+R )c sin C又c&
14、gt; nsina = sin A = sin A).12Si n A + "cos Asin A解析 由A + B+ C= 3B= n,知B =才 m (2 , + g).Ln6. 在 ABC中,若c=.2 , C= 4,求a- b的取值范围.解C = :, A + B = 3 n外接圆直径2R= sinea =2Rsin A 2Rs in B=2si n A 2s in B=2sin A 2sin 3T 0 V A V 3n,即 a( 1,2).针对训练一、选择题1 .已知三角形三边之比为5 : 7 : 8,则最大角与最小角的和为 ()A. 90 ° B. 120
15、176; C. 135 ° D. 150 °答案 B0,则由余解析 设最小边为5,则三角形的三边分别为5,7,8,设边长为7的边对应的角为1弦定理可得 49= 25 + 64 80cos0,解得 cos 0= -, / 灰(0 °, 180°), 0= 60°则最大角与最小角的和为180° 60° = 120°2 .在 ABC 中,A = n,BC = 3,AB= .6,则C等于(n 、. 3 nA4或4n nc.4 D.6答案 CBC解析由 AABC,得 sin C=¥sin A sin C2n BC
16、= 3, AB = 6, A>C,贝U C 为锐角,故 C= n.3.在 ABC 中,a= 15, b= 20, A= 30° 贝U cos B 等于()A. ±3 Bl C. 才 D.答案 A2解析由正弦定理得sin B = 2,如图所示.3过 C 作 CD 丄 AH, D 为垂足,在 Rt ACD 中,得 CD = AC in 30 =20X sin 30 = 10,10<15<20, 以C为圆心,以15为半经作弧,该弧与 AH交于两点,即 B有两解. cos B=4. 已知 ABC 中,sin A : sin B : sin C = k : (k+
17、1) : 2k,则 k的取值范围是()A . (2,+s ) B . i, 0) C. -2, 0 D. 2 , +m 答案 Da+ b>c,a+ c>b,解析由正弦定理得 a= mk, b= m(k+ 1), c= 2mk(m>0),m 2k+ 1 >2mk, 即3mk>m k+ 1 ,k>|.J35. 在 ABC中,三边长分别为 a 2, a, a+ 2,最大角的正弦值为 石,则这个三角形的面积为()15A.15.321.335.3B.C.D._444答案B解析-三边不等,最大角大于60 .设最大角为a,故a所对的边长为a + 2, - sin a= 2
18、 , - a= 120°由余弦定理得(a + 2)2= (a 2)2+ a2+ a(a 2),即 a2= 5a,故 a = 5,故三边长为 3,5,7, Sabc =2 X 3X 5X sin 120 ° 宁.则厶ABC的形状是()B .等腰三角形D .直角三角形/ B B=n4'.asin Acsin C sin C= 2sin A = 2sin C = 2-cosC+sin C , cos C = 0,6 . ABC 中,若 lg a Ig c= Ig sin B= lg 2且 B 0,A .等边三角形C .等腰直角三角形答案 C 解析 / lg a lg c=
19、 lg sin B = lg 2,.a2=sin B, sin B =c2=0.n C (0, n) C=-.n A= n B C = 4仏ABC是等腰直角三角形.故选 C.7. (2017 全国 I ) ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c.已知 sin B + sin A(sin C cos C)=0, a= 2, c= 2,贝U C 等于()nnnnA.正B.6 C4 d3答案 B解析因为a = 2, c= 2,所以由正弦定理可知,急=sdC,故 sin A = . 2sin C.又 B= n (A + C), 故 sin B + sin A(sin C cos C
20、) =sin (A + C) + sin Asin C sinAcos C =sin A cos C+ cos Asin C+ sin Asin C sin Acos C =(sin A + cos A)sin C又C ABC的内角,故 sin Cm 0, 则 sin A + cos A= 0, 即卩 tan A = 1.3 n 又 A (0, n,所以 A =.从而 sin C=-sin A=当=1.y/2222由a=3n知,c为锐角,故c=n46故选B.二、填空题1 n8. 设 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a = . 3, sin B= 2,C = 则b=答案 11解析
21、因为sin B=且B (0, n, 所以B=n或宁6 6又因为c=n,6n_2 n所以 B=;, A= n B C=y.63又因为a=3,由正弦定理得asin Absin B,2 nSin亍nsin解得b = 1.1又 sin Bsin C > 0, sin A = 7由余弦定理得2 2 2 b + c a cos A =84门2bc_ bc> , cOs A专,bc= cosA=誓, Sbc = 2bcsin A= 2 x 誓 x 1=2.33 .10 .若 ABC的面积为£2,-24 '(a2 + c2 b2),且C为钝角,则B=;a的取值范围是答案 n(2,
22、+)解析由余弦定理得a2 + c2 b2= 2accos B.3 22.2-S= Y(a + c b ),13 acsin B= 丁 x 2accos B, tan B = 3,又 B (0, n,nB= 3'又TC为钝角,2 nn C= 3- A> 2,c由正弦定理得-a2bc.312cos A + 2sin A131=_+ sin A22 tan A0 < tan A<h,盘 > 3, a>2+于x 3=2,c即 C> 2.ac蔦的取值范围是(2,+s).a 三、解答题2 n11.在 ABC中,设角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知C
23、 = , c= 3,求 ABC周3长的取值范围.解由正弦定理得 聶=snB=sn丁2, / a = 2sin A, b = 2sin B,sin A+ sin则厶ABC 的周长为 L = a + b + c= 2(sin A + sin B) + ,3= 2 =2 sin A + _23cos A *sin A + . 3=2 *sin A+cos A + 3=2si na+n+ 3.n“n八八兀nn 2 n-°<B=亍a<3 , °<a<3 3<A+3<亍, ABC周长的取值范围是(2 3, 2 + 3.b, c已知 bsin A =
24、acos *12 .在 ABC中,内角A, B, C所对的边分别为 a, (1)求角B的大小;设 a= 2, c= 3,求 b 和 sin(2A B)的值.解心ABC中,由正弦定理 黑=壮,可得 bsin A = as in B.又由 bsin A= acos B f ,得 as in B= acos B f , 即 sin B = cos® 所以 tan B =电.又因为B (0 , n,所以B= 3.n(2)在厶ABC中,由余弦定理及 a= 2 , c= 3 , B = 3 , 得 b2= a2 + c2 2accos B = 7 ,故 b = 7.由 bsin A= acos
25、B f,可得 sin A = 因为av c,所以cos A =纟严 因止匕 sin 2A= 2sin Acos A= 41-3 cos 2A= 2cos2A 1 = 1.所以 sin(2A B) = sin 2Acos B cos 2Asin B =亜 1 1 虑=727214 .n13. (2018河北省衡水中学调研)如图,在 ABC中,B= 3,D为边BC上的点,E为AD上 的点,且 AE= 8, AC = 4 10,/ CED =才.(1)求CE的长;若CD = 5,求cos/ DAB的值.解(1)由题意可得/ AEC = n = 3nt,44在厶AEC中,由余弦定理得2 2 2AC =
26、 AE + CE 2AE CEcos/ AEC ,所以 160= 64 + CE2 + 8 2CE,整理得 CE2 + 8 2CE 96= 0,解得 CE = 4 ,2.故CE的长为4 2.CECD在 CDE中,由正弦定理得sDi=爲/DED, 即=:sin / CDE . nsin ,44所以 sin/CDE = 4.5n因为点D在边BC上,所以/ CDE>B = 3,所以/ CDE只能为钝角,3所以 cos/ CDE=5,所以 cos/ DAB = cos / CDE 扌=cos/ CDEcos sin/ CDE sin=3x打4x仝=仁口52 T 5210Q探究与拓展14. (2018福建省三明市第一中学月考)在厶ABC中,角A, B, C的对边分别为 a, b, c,且b2= a2+ be,
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