2020年(新课改)数学高考总复习小测：解三角形的实际应用

1、A. 50 m,100 m B. 40 m,90 m 课时跟踪检测（二十八）解三角形的实际应用 、题点全面练 1. 如图，两座灯塔 A 和 B 与河岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观 察站南偏西 40 灯塔 B 在观察站南偏东 60则灯塔 A 在灯塔 B 的（ A .北偏东 10 B.北偏西 10 C .南偏东 80 解析：选 D 由条件及题图可知， / A=Z B= 40又/ BCD = 60所以/ CBD = 30 所以/ DBA = 10因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80 2. 如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B, C 的俯角分别为75 30此时气 球的高是 60

2、m，则河流的宽度 BC 等于（ A. 240( .3- 1)m C. 120( 3- 1)m B. 180( 2- 1)m D. 30( 3 + 1)m 解析：选 Ctan 15 二 tan(60 45=黑：；60 署舊BC = 60tan 60 60tan 15 = 120（ 3 1）（）（m）. 3. 一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某 人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45,沿点 A 向北偏东 30前进 100 m 到 达点 B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30则水柱的高度是（ ） A. 50 m B. 100 m C. 120

3、m D. 150 m 解析：选 A 作出示意图如图所示，设水柱高度是 h m，水柱底 端为 C,则在 Rt BCD 中，BC=（5h，在 ABC 中，A= 60 AC = h, AB = 100,根据余弦定理得，（V3h）2= h2+ 1002 2 h 1 00 os 60 , 即 h2 + 50h 5 000= 0,即（h 50）（）（h+ 100） = 0,即卩 h = 50,故水柱的 高度是 50 m. 4. 地面上有两座相距 120 m 的塔， 在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为 矮塔塔顶的仰角为 寸，且在两塔底连线的中点 O 处望两塔塔顶的仰角互为余角， 则两塔的高 度分别为（ ）D .南

4、偏西 80 a,在高塔塔底望 a ) h 60 120 r J 20 D m H 60 金 得 60= A. 50 5 m 解析：选 B 设高塔高 H m，矮塔高 h m,在 O 点望高塔塔顶的仰角为 3 则tan心金，tan尹蛊 h 2 120 h 2 %预厂 . 1- 根据三角函数的倍角公式有着 角为- 3 联立解得 H = 90, h= 40. C. 40 m,50 m D. 30 m,40 m 因为在两塔底连线的中点 O 望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在 O 点望矮塔塔顶的仰 H 由 tan 3= 60，tan 即两座塔的高度分别为 40 m,90 m. B. 50 .7 m C. 5

5、0 . 11 m D. 50 19 m 即 1502+ 1002- 2X 150 X 100X1 = r2, 2 解析：在厶 ACM 中，/ MCA = 60 - 15 = 45 Z AMC = 180 60 = 120 由正弦定理得 厲=眾，即竽=AC，解得 AC= 60 砸 2 2 解析：选 B 设该扇形的半径为 r(m)，连接 CO,如图所示. 由题意，得 CD = 150(m), OD = 100(m), Z CDO = 60 在厶 CDO 中，由余弦定理，得 CD2+ OD2- 2CD OD cos 60 = OC2, 解得 r = 50 7(m). 的仰角为 30塔底 C 与 A

6、的连线同河岸成 15角，小王向前走了 1 200 m 到 达 M 处，测得塔底 C 与 M 的连线同河岸成 60角，则电视塔 CD 的高度为 5.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120。的扇形 AOB , C 是该 小区的一个出入口， 且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 min，从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 min.若此人步行的 速度为 50 m/min，则该扇形的半径的长度为 ( ( 6.如图，为了测量河对岸电视塔 CD 的高度，小王在点 A 处测得塔顶 仁 ACD 中，tan / DAC = AC 汀 解析：依题意知，在 A

7、CD 中，/ DAC = 30由正弦定理得AC = CD 需=2,2， 在厶 BCE 中，/ CBE = 45由正弦定理得 BC= 严严=3 2.在 ABC 中，由余弦定理 sin 45 V 得 AB2 = AC2 + BC2- 2AC BC cos/ ACB= 10,解得 AB = 10. 答案：帀 8. 如图所示，在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25 m 的 建筑物 CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角 0,在山坡的 A 处测 得/ DAC = 15沿山坡前进 50 m 到达 B 处，又测得/ DBC = 45根据 以上数据可得 cos 0= _ . 解析：由/DAC =

8、 15 / DBC = 45 可得/ DBA = 135 / ADB = 30 即 siS? =siflT， 所以 BD = 100sin 15 = 100 X sin(45 -30 = 25( . 6- 2). 25 = 25(/6-V2 ) sin 45 sin/ BCD 解得 sin/ BCD = 3- 1. 所以 cos 0= cos(/ BCD - 90= sin/ BCD = 3-1. 答案：3- 1 9. 如图所示，在一条海防警戒线上的点 A, B, C 处各有一个 DC = 600 6 X 600 2. 答案：600 2 7. 如图，为了测量河对岸 A, B 两点之间的距离，观

9、察者找到一个点 C,从 C 点可以观察到点 A，B;找到一个点 D，从 D 点可以观察到点 A, C;找到一个点 E，从 E 点可以观察到点 B, C.测量得到：CD = 2, CE = 2 书，/ D= 45 / ACD = 105 / ACB = 48.19 / BCE = 75 / E = 60则 A, B 两点之间的距离为 _ .取 cos 48.19 = 在厶 ABD 中，根据正弦定理可得 AB = BD sin/ ADB = sin/ BAD 在厶 BCD 中，由正弦定理得 CD sin/ DBC BD sin/BCD 3 水声监测点，B, C 两点到点 A 的距离分别为 20 k

10、m 和 50 km.某时a 刻，B 收到发自静止目标 P 的一个声波信号，8 s 后 A, C 同时接收到该声波信号，已知声 波在水中的传播速度是 1.5 km/s. (1) 设 A 到 P 的距离为 x km，用 x 表示 B，C 到 P 的距离，并求 x 的值； (2) 求静止目标 P 到海防警戒线 AC 的距离. 解：依题意，有 PA= PC= x, PB= x 1.5 X 8= x 12. 仁 PAB 中, AB= 20, cos/ PAB= PA2ABA-PB2= 爲爲- -12： 3x + 32 2PA AB 2x 20 同理，在 PAC 中，AC = 50, PA2+ AC2 P

11、C2 x2+ 502 x2 25 cosZ PAC= 2PA AC = 2x 50= T 因为 cos/ PAB= cos/ PAC, 所以眯=孚解得x=31. 作 PD 丄 AC 于点 D(图略) )，在 ADP 中, 25 由皿 PAD= 25, 得 sin/ PAD= 1 co / PAD = 4321, 3 1 顶 A, B 之间的距离. 解：在 Rt AMP 中，/ APM = 30 AM = 100,. PM = 100 .3. 连接 QM(图略) )，在 PQM 中，/ QPM = 60 PQ = 100,3, PQM 为等边三角形，. QM = 100,3. 在 Rt AMQ

12、中，由 AQ2= AM2+ QM2, 得 AQ= 200. 在 Rt BNQ 中，tan 0= 2, BN = 200, BQ= 100 5, cos 0= . 5 在厶 BQA 中，BA2= BQ2+ AQ2 2BQ AQ cos 05x 所以 PD = PAsin/ PAD= 31 X 43吕=4 21(km). 故静止目标 P 到海防警戒线 AC 的距离为 10.已知在东西方向上有 M , N 两座小山，山顶各有一座发射塔 A, B,塔顶 A, B 的海拔高度分别为 AM = 100 m 和 BN = 200 m, 测量 车在小山 M 的正南方向的点 P 处测量车向北偏西 60方向行驶了

13、 100 3 m 后到达点 Q,在点 Q 处测得发 射塔顶 B 处的仰角为且/ BQA = 0,经测量 tan 0= 2，求两发射塔 =（100 5）2, BA= 100 5. 即两发射塔顶 A, B 之间的距离是 100 5 m. 二、专项培优练 （一 ）易错专练一一不丢怨枉分 1一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75距灯塔 68 n mile 的 M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则此船航行的速度为 _ n mile/h. 解析：如图，由题意知/ MPN = 75 + 45 = 120 / PNM = 45 又由 M 到 N 所用的时间为 14

14、- 10= 4 小时， 此船的航行速度 v = 34 6= 17 6 n mile/h. 4 2 答案：吟6 2. 如图，一位同学从 P1处观测塔顶 B 及旗杆顶 A,得仰角分别为 a和90 a后退 l m 至点 P2处再观测塔顶 B，仰角变为原来的一半， 设塔 CB和旗杆 BA 都垂直于地面，且 C, P1, P2三点在同一条水平 线上，则塔 BC 的高为 _ m ;旗杆 BA 的高为 _ m（用含有 l 和a的式子表示） 解析：在 Rt BCP1 中，/ BP1C = a. 亠 a 在 Rt P2BC 中，/ P2 = 2. / BP1C = / P1BP2+Z P2, P1BP2 = a

15、，即厶 P1BP2为等腰三角形， BP1= P*2= l, - BC= lsin a. 2 2 / . _ .人 _ cr r+r AC . o 、 . _ lCOS a E - -亠 rc lcos a 在 Rt ACP1 中， = = tan(90 a)，AC= ,贝V BA= AC BC = CP1 lcos a sin a Sin a Kcos a sin2 a l cos 2a lsin a= sna. 答案： lsin a lcos2a sin a 在厶 PMN 中, MN sin 120 PM sin 45， MN = 68 x （二 ）素养专练一一学会更学通 3. 直观想象、数

16、学建模为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器 科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器， 这种仪器可以弹射到空中 进行气象观测如图所示， A, B, C 三地位于同一水平面上，这种仪器 在 C 地进行弹射实验，观测点 A, B 两地相距 100 米，/ BAC= 60 .在 A 2 地听到弹射声音的时间比 B 地晚;2 秒在 A 地测得该仪器至最高点 H 处的仰角为 30。（已知 17 声音的传播速度为 340 米/秒） （1）求 A, C 两地的距离； 求这种仪器的垂直弹射高度 HC. 解：（1）由题意，设 AC = x，因为在 A 地听到弹射声音的时间比 B 地晚吕秒， 17 在厶 ABC

17、 内，由余弦定理得 BC2= AC2+ BA2-2BA AC cos/ BAC , 即 (x - 40)2= x2+ 10 000 - 100 x，解得 x = 420. 故 A, C 两地的距离为 420 米. (2)在 Rt ACH 中，AC= 420,/ CAH = 30 , 所以 CH = AC tan/ CAH = 140 3 米. 故该仪器的垂直弹射高度 CH 为 140 3 米. 4. 数学建模如图所示，经过村庄 A 有两条夹角为 60 的公路 AB , AC ,根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂 P，分别在两条公路 边上建两个仓库 M , N（异于村庄 A）,要求 PM = PN = MN = 2（单位：千 米）.记/ AMN = 0. （1）将 AN , AM 用含0的关系式表示出来； 如何设计（即 AN , AM 为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小 （即工厂与 村庄的距离 AP 最大）? 解： / AMN = 0, MN AN 仁AMN中，由正弦定理，得 siMN0 =sAN0 所以 AN = sin 0, AM = 433sin(120 - 0. 3 3 所以 BC = x初 340 = x- 40 , AM