2020年(新课改)数学高考总复习小测：平面向量的概念及其线性运算

1、课时跟踪检测（二十九）平面向量的概念及其线性运算、题点全面练1.已知 O, A, B 是同一平面内的三个点，直线AB 上有一点 C 满足 2-AC +CB= 0,A.2_OD- ODB.-)A+2C)BD.-iOX +- D -D -D - D -D -D- D - D-D得 OC = OB + BC = OB + 2 AC = OB + 2(OC - OA),所以 OC=2A-COB，故选 A.- D1 -D、 -D- D)在厶 ABC 中，点 D 在边 AB 上，且 BD = DA，设 CB = a, CA=b，贝 V CD=()A.3a + 3 b33-D解析：选 B / BD = DA

2、，二 BD =：BA ,- B -B -B -B1-B -BCD=CB+BD=CB+-BA=CB+33(CA-CD) = 3cD+1_CA=2 2a + b，故选B解析：选 A 依题意,2. （2019 石家庄质检3. （2018 大同一模）在平行四边形 ABCD 中,点 E 为 CD 的中点，BE 与 AC 的交点为4F，设-B = a, D= b，则向量即=（）1 2A A孑 + 3bB.-3解析：选 C 如图，因为点 E 为 CD 的中点，CD / AB,所以 BF = AB- D2-D2 -D -D22,所以 BF = 3 BE = 3( (BC + CE) = 3 b-=-1123a

3、+3b，故-4.PiB + Pe =2-EB，若SAABC=6，则 PAB 的面积为（）B.3- D -D -D - D- D -D- D -D -D -D解析：选 A / PA + PB + PC = 2 AB = 2( PB - PA ),. 3 PA = PB - PC = CB ,- - PA / CB，且方向相同，SABC宀 S SAPAB=33 =2 2.5. (2018 安庆二模) )在厶 ABC 中，点 D 是边 BC 上任意一点，M 是线段 AD 的中点，若- - - 存在实数 入和卩，使得 BM = AAB + ACH 尸()1B.-2-解析：选 B 如图，因为点 D 在边

4、 BC 上，所以存在 t R，使得BD- - -tBC = t( AC AB ).- 1 - - 1 - -因为 M 是线段 AD 的中点，所以 BM = 2( (BA + BD ) = -( AB + tAC tAB)= ?(t 1+ 1) AB + tAC. 1 1又 BM = XAB + C，所以 =尹+ 1),尸尹,1所以入+尸-1 故选 B.6.已知 OABC 内一点，且 2 -AO=OB+6C , NtD =-，若 B, O, D 三点共线，贝 U U t t 的值为_ .- - 解析：设线段 BC 的中点为 M，则 OB + OC= 2OM.因为 2 瓦 O =6B + Oc，所

5、以= OM,- B1-B1 -B - B1J-B1- |1-B1 -B则 AO = 2AM = 4( AB + AC)= 4 AB + AD=4 AB + 石 AD .111由 B, O , D 三点共线，得-+二=1,解得 t=-.44t31答案：- B 1-B7. 在 ABC 中，/ A= 60 / A 的平分线交 BC 于点 D，若 AB = 4，且 AD =:=: AC +- B入 AB (入 R)，则 AD 的长为 _解析：因为 B, D, C 三点共线，所以三+入=1,解得入=f,如图，44过点 D 分别作 AC, AB 的平行线交 AB, AC 于点 M , N ,则ABCBC

6、| CB |33,S SAPABPAB APAP|-X|1 A一A. 2AB P4AM=3 3MB,在 ABC 中，/ A= 60 / A 的平分线交 BC 于点 D,四边形 ANDM 为4菱形， AB= 4,. AN = AM = 3, AD = 3 3.答案：3 38 .在 ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且1BC = 3 C3，点 0 在线段 CD 上(与 点 C, D不重合) )，若13= xAB+ (1 x)忌，贝 U x 的取值范围是 _ .解析：设 CO = y BC ,B B B B B B-B BAO=A +CO=AC+y BC=AC+y( ACAB )=y A

7、B + (1 + y) AC .- - BC = 3 CD，点 O在线段 CD 上(与点 C, D 不重合),- - - - 且 GB= 2GE，设 AB = a, AC = b，试用 a, b 表示 AD , AG. 1 1 1 解：AD =豕 AB + AC ) = ?a + - b. 2 1 AG = AB + BG = AB + - BE = AB + -( BA + BC )332- 1 - - 1- 1- =3AB + 3( AC AB ) = 3 AB + 3 AC - - - - 10.已知 a, b 不共线，OA = a, OB = b, OC = c, OD = d, OE

8、 = e,设 t R，如果 3a = c,2b= d, e= t(a+ b),是否存在实数 t 使 C, D, E 三点在一条直线上？若存在，求出 实数 t 的值，若不存在，请说明理由.解：由题设知， CD3= d c= 2b 3a, CE3= e c= (t 3)a+ tb, C, D , E 三点在一条- -答案：-3 0 x= y, x 9.在 ABC 中，D ,E 分别为 BC, AC 边上的中点，G 为 BE 上一点，0,AB+(1x) ACx因为 a, b 不共线，所以有t 3+ 3k= 0,t 2k = 0,解得 t= *5直线上的充要条件是存在实数k,使得 CE = kCD，即

9、( (t 3)a+ tb= 3ka+ 2kb,整理得(t 3+ 3k)a = (2k t)b.故存在实数 t=6 6使 C, D, E 三点在一条直线上.5二、专项培优练（一）易错专练一一不丢怨枉分a b1 设 a, b 都是非零向量，下列四个条件中，使石成立的充分条件是（）|a| |b|A. a= bB.a / bC.a= 2bD. a / b 且 |a|= |b|解析：选 C 因为向量&的方向与向量 a 相同，向量的方向与向量 b 相同，且厂尸,|a|b|a | |b|所以向量 a 与向量 b 方向相同，故可排除选项 A、B、D.故 a = 2b 是 * 成立的充分条件.|a |

10、|b |AB2.已知 0, A, B 三点不共线，P 为该平面内一点，且 OP = OA +，则（）|AB|A .点 P 在线段 AB 上B.点 P 在线段 AB 的延长线上C .点 P 在线段 AB 的反向延长线上D .点 P 在射线 AB 上- B-B解析：选D由-=10-+，得0-OA=AB,AP= A-,.点P|AIB|AB|AB|在射线 AB 上，故选 D.3.已知向量 a, b 不共线，且 c= ?a+ b, d= a+ （2 1）b，若 c 与 d 反向共线，则实数 入的值为（）1A. 1B.-1D . 1 或2解析：选 B 由于 c 与 d 反向共线，则存在实数k 使 c =

11、kd（kv0），于是 七+ b =ka + （2 入一 1 p.整理得 七+ b = ka + （2 入kk）b.由于 a, b 不共线，所以有1 1得 2?2入一 1 = 0,解得入=1 或 =又因为 kv0，所以入v0，故入=2当 a = 2b 时,旦=互=b|a|=|2b|=|b|，1C.1 或1整理（二 ）素养专练一一学会更学通4.直观想象如图所示，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C, D 是半圆弧的三等分点，AiB = a,瓦 C = b，则疋T=（B.B.2abD. ?a + b解析：选 D 连接 CD（图略），由点 C, D 是半圆弧的三等分点，得 CD / AB 且63- 1

12、 - - - 1AB = 2a，所以 AD = AC + CD = b+ 2a.15.逻辑推理如图，在厶 ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且满足 BD = -DC ,一： 过点 D 的直线分别交直线 AB, AC 于不同的两点 M , N，若63= m-B,ANI一m=nAC，则（）A.m+ n 是定值，定值为 2B.2m + n 是定值，定值为 31 1C. + -是定值，定值为 2D.- +1 1是定值，定值为 3 m n解析：选 D 因为 M,D,N 三点共线，所以63= ?AM+（1升-N.又-M=mAB ,AhN = nAC，所以AD =入m-B + （1 加加-C.又-D =

13、 2DC，所以-D AEB =寸寸-C 1 10 ,所以 ADD =舟么舟么3+ fAEB.比较系数知入m2 2, （1 ?）n =1 1，所以专专+1 1=3，故选 D.6.数学建模在如图所示的方格纸中， 向量 a, b, c 的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若 c 与 xa+ yb（x, y 为非零实数）共线，则 y 的值为_.解析：设 6,分别为水平方向（向右）与竖直方向（向上）的单位向量，贝 U 向量 c = e1 2e2,a= 2& + e2, b= 2& 2e2,由 c 与 xa+ yb 共线，得 c = %xa + yb）,所以 e1 2 册=2“x y）

14、& .3+Xx 2y)e2，所以2 2Xx xy y=1 1，所以Xx x2y2y一2 2,y=2X则x x的值为6 6答案：6 657.数学运算经过 OAB 重心 G 的直线与 OA, OB 分别交于点 P, Q,设= mOA- - 1 1OQ = n OB , m, n R，求一+ 的值.n m- - - 1解：设 OA = a, OB = b,则 OG = $( (a + b),3- - -PQ = OQ OP = n b-PG=OGOlP =f( (a+b)ma=3m ma+3b.由 P,G,Q 共线得，存在实数 入使得-Q=XPG ,- Q-Q-Q8.逻辑推理已知 O, A, B 是不共线的三点，且 OP = mOA + nOB (m, n R).(1) 若 m + n = 1,求证：A, P, B 三点共线；(2) 若 A, P, B 三点共线，求证： m+ n = 1.证明：( (1)若 m+ n = 1,-Q-Q-Q则 OP = mOA + (1 m) OB-Q-Q - Q=OB + m( OA OB ),-Q -Q- Q