第二篇弹性静力学总结

1、工程力学复习课复习课第二篇第二篇 弹性静力学弹性静力学 （杆件的基本变形）（杆件的基本变形）目录目录n第五章第五章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩n第六章第六章 剪切和挤压剪切和挤压n第七张第七张 改动改动n第八章第八章 梁弯曲时内力和应力梁弯曲时内力和应力n第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形n四种基本变形：轴向拉伸紧缩）、剪切、扭转与弯曲。（a轴向拉压轴向拉压（b剪切剪切（c改动改动（d弯曲弯曲第五章第五章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩n 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩n杆的受力特点：外力或外力的合力的作用线与杆件的轴线重合。n变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。n轴力：因轴向拉压引起

2、的内力也与杆的轴线一致，称为轴向内力，简称轴力。n方向约定：拉伸引起的轴力为正值，方向背离横截面；压缩引起的轴力为负值，指向向着横截面。n截面法：1.确定研究对象截面）；2.画受力图；3.列平衡方程；4.求轴力；5.画轴力图。n 轴力图轴力图 例例4-1 直杆受外力作用如图，求此杆各段的轴力，直杆受外力作用如图，求此杆各段的轴力，并作轴力图。并作轴力图。解解1AB段段112233（2AC段段（3CD段段niixF10kN61NFkN43NFkN610kN2NF绘制轴力图：kN42NF（压）（压） n正应力：横截面上应力的方向垂直于横截面，称为正应力：横截面上应力的方向垂直于横截面，称为“正应力

3、并以正应力并以“ ”表示：表示：AFNnFN为横截面上的轴力，为横截面上的轴力，A为横截面面积。为横截面面积。n当轴力为正时，当轴力为正时， 为拉应力取正号；当轴力为负时，为拉应力取正号；当轴力为负时， 为压应力，取负号。为压应力，取负号。n应力的国际单位为应力的国际单位为Pa （1Pa=1N/m2）Pa10kPa13Pa10MPa16Pa10GPa19n 拉压杆的应力拉压杆的应力应力：受力物体截面上内力的集度，即单位面积上应力：受力物体截面上内力的集度，即单位面积上的内力的内力 。 例例4-2 一阶梯杆如图所示，一阶梯杆如图所示，AB段横截面面积为：段横截面面积为：A1=100mm2，BC段

4、横截面面积为段横截面面积为A2=180mm2，试求：，试求：各段杆横截面上的正应力。各段杆横截面上的正应力。解解1 1） 计算各段内计算各段内轴力，并绘制轴力图轴力，并绘制轴力图BC段段（2确定应力确定应力 kN81NFkN152NF1122AB段段BC段段MPa8011N1AFAB段段MPa3 .8322N2AF压力压力n 拉压杆的变形拉压杆的变形bbbbb1横向应变：泊松比泊松比 横向变形系数横向变形系数lllll1纵向线应变EAlFlN 胡克定律胡克定律E 胡克定律：n在弹性范围内，杆件上任一点的正应力与线应变成在弹性范围内，杆件上任一点的正应力与线应变成正比。正比。nE 称为材料的弹性

5、模量，与应力单位相同。称为材料的弹性模量，与应力单位相同。EA 称称为杆件的抗拉或抗压刚度。为杆件的抗拉或抗压刚度。 例例4-3 钢制阶梯杆如图，已知轴向外力钢制阶梯杆如图，已知轴向外力F1=50kN，F2=20kN，各段杆长为，各段杆长为l1=150mm，l2=l3=120mm，横，横截面面积为：截面面积为：A1=A2=600mm2，A3=300mm2，钢的，钢的弹性模量弹性模量E=200GPa。求各段杆的纵向变形和线应变。求各段杆的纵向变形和线应变。解解1 1作轴力图作轴力图（2计算纵向变形计算纵向变形 kN301NF111N1EAlFl kN203N2N FF112233m1075. 3

6、5（3计算各段杆的线应变计算各段杆的线应变 112233m1075. 351lm100 . 25222N2EAlFlm100 . 45333N3EAlFl4111105 . 2ll42221067. 1ll43331033. 3lln 轴向拉伸和压缩的强度计算轴向拉伸和压缩的强度计算n设计截面尺寸n强度校核n确定许用载荷构件的最大工作应力必须小于材料的许用应力，即：构件的最大工作应力必须小于材料的许用应力，即：强度计算强度计算三类问题三类问题maxNmaxAFmaxNFA AF杆件受轴向拉伸或杆件受轴向拉伸或压缩时的强度条件压缩时的强度条件 例例4-4 如图所示一结构由钢杆如图所示一结构由钢杆

7、1和铜杆和铜杆2在在A、B、C处铰接而成，在节点处铰接而成，在节点A点悬挂一个点悬挂一个G=40kN的重物。的重物。钢杆钢杆AB的横截面面积为的横截面面积为A1=150mm2，铜杆的横截面，铜杆的横截面面积为面积为A2=300mm2。材料的许用应力分别为。材料的许用应力分别为1=160MPa，2=98MPa，试校核此结构的强度。，试校核此结构的强度。 解：解：1求各杆求各杆的轴力：的轴力： 取节点取节点A为研究对为研究对象象, 作出其作出其受力图受力图1求各杆的轴力求各杆的轴力niiyF10niixF10kN7 .201NFkN3 .292NFa13811N1AFa7 .9722N2AF故：此

8、结构的强度足够。故：此结构的强度足够。 045sin30sin1N2NFF030cos45cos2N1NGFF2求各杆横截面上的应力求各杆横截面上的应力 解得：解得：12第六章第六章 剪切和挤压剪切和挤压n 剪切的概念剪切的概念n剪切变形：构件在一对大小相等、方向相反、作用线相隔很近的外力或外力的合力作用下，截面沿着力的方向发生相对错动的变形，称剪切变形。FFFFQn 剪切应力1、内力的计算、内力的计算FmnFQ剪切面剪切面mnn应用截面法：剪切面上内力的合力剪力FQ必然与外力F大小相等。n切应力 FF QAFQGn 剪切胡克定律剪切胡克定律 切应力切应力 与切应变与切应变 成正比：成正比：G

9、 材料的剪切弹性模量，单位为材料的剪切弹性模量，单位为Pa。n 挤压的概念挤压的概念n挤压：接触面上相互压紧，这种现象称为挤压。bsbsbsAF挤压应力：Abs: 挤压面面积；挤压面面积； Fbs: 挤压力挤压力MFFlhA2bs 例例5-2 如图示的起重机吊钩，如图示的起重机吊钩，用销钉联接。已知吊钩的钢板厚度用销钉联接。已知吊钩的钢板厚度 t = 24mm，吊起时所能承受的最大，吊起时所能承受的最大载荷载荷F = 100kN，销钉材料的许用切，销钉材料的许用切应力应力 = 60MPa，许用挤压应力，许用挤压应力bs = 180MPa，试设计销钉直径。，试设计销钉直径。解：解：1取销钉为研究

10、对象，画受取销钉为研究对象，画受力图。力图。 用截面用截面法求剪力法求剪力2QFF 2按照剪切的强度条件设计销钉直径按照剪切的强度条件设计销钉直径QFA圆截面销钉的面积为圆截面销钉的面积为 42dA24263m1033. 8m10601050Ad4 mm6 .32m14. 31033. 8443设销钉的挤压应力各处均相同，按挤压的强度设销钉的挤压应力各处均相同，按挤压的强度 条件设计销钉直径条件设计销钉直径m10241018010100363bstFd 为了保证销钉安为了保证销钉安全工作，必须同时满足剪全工作，必须同时满足剪切和挤压强度条件，应取切和挤压强度条件，应取d=33mm。挤压力挤压力

11、FFbs挤压面积挤压面积tdAbsbsbsFAmm1 .23 d结结 论论第七张第七张 改动改动n改动：构件两端受到两个作用面与杆的轴线垂直的、大小相等的、转向相反的力偶矩作用，使杆件的横截面绕轴线发生相对转动。MM OBA ABO 一、扭矩一、扭矩T）取左分析：取左分析：niixM10同理取右段分析可得：同理取右段分析可得：0MTMT n 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图左左右右MT 得得 二、符号规定二、符号规定n右手螺旋法则：用右手四指表示扭矩的转向，若拇指的指向离开截面时，规定扭矩为正，如图a所示；若拇指指向截面时，则扭矩为负，如图b所示。（a）（b） 例例6-1 求如图所示传动轴求如图所示传

12、动轴1-1截面和截面和2-2截面的扭矩，截面的扭矩，并画扭矩图。并画扭矩图。 解：用截面法求扭矩解：用截面法求扭矩1取取1-1截面左侧截面左侧mkN8 . 1 11MT2取取2-2截面右侧截面右侧 mkN2 . 1 C22MT3作出扭矩图如图。作出扭矩图如图。 1.2kNm1.8kNm=1.8kNm=3kNm=1.2kNm1122n 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力剪切胡克定律剪切胡克定律 GPITRdAdAPITRmaxPmaxWTn切应力最大值：切应力最大值：令令 称为抗扭截面系数称为抗扭截面系数RIW/PP 例例6-2 如图所示为阶梯形圆轴，其中实心如图所示为阶梯形圆轴，其中实心AB段直

13、段直径径d1=40mm；BD段为空心部分，外径段为空心部分，外径D =55mm，内径内径 d =45mm。轴上。轴上A、D、C处为皮带轮，已知主处为皮带轮，已知主动轮动轮C输入的外力偶矩为输入的外力偶矩为MC=1.8kN，从动轮，从动轮A、D传递的外力偶矩分别为传递的外力偶矩分别为MA=0.8kNm，MD=1kNm，材料的许用切应力，材料的许用切应力 =80MPa。试校。试校核该轴的强度。核该轴的强度。 解：解： 1画扭矩图：画扭矩图：用截面法或简捷方法用截面法或简捷方法可作出该阶梯形圆轴的可作出该阶梯形圆轴的扭矩图如图所示。扭矩图如图所示。1.0kNm0.8kNm2强度校核：由于两段轴的截面

14、面积和扭矩值不强度校核：由于两段轴的截面面积和扭矩值不 同，故要分别进行强度校核。同，故要分别进行强度校核。 AB段：段： a7 .63)1040(16108 . 0333PmaxWTCD段：轴的内外径之比段：轴的内外径之比 818. 05545Dda4333PmaxP)818. 01 ()1055(16101WTMPa5 .55故：此阶梯形圆轴满足强度条件。故：此阶梯形圆轴满足强度条件。 n 圆轴扭转时的变形和刚度计算圆轴扭转时的变形和刚度计算n扭转角：圆轴扭转时，两横截扭转角：圆轴扭转时，两横截面相对转过的角度称为这两截面相对转过的角度称为这两截面的相对扭转角。面的相对扭转角。n抗扭刚度：

15、抗扭刚度：GIP 称为圆轴的抗扭刚度，它反映了圆称为圆轴的抗扭刚度，它反映了圆轴抵抗扭转变形的能力。轴抵抗扭转变形的能力。MM OBA PGITlPGITln单位长度扭转角单位长度扭转角 例例6-3 传动轴如图所示，已知轴的直径传动轴如图所示，已知轴的直径d=45mm，转速转速n =300r/min。主动轮。主动轮A输入的功率输入的功率PA=36.7KW；从动轮从动轮B、C、D输出的功率分别为输出的功率分别为PB=14.7KW，PC=PD=11KW。轴材料的剪切弹性模量。轴材料的剪切弹性模量G=80GPa，许用，许用切应力切应力 =40MPa，单位长度的许用扭转角，单位长度的许用扭转角 =1.

16、5/m，试校核轴的强度和刚度。，试校核轴的强度和刚度。 解：解： 1） 计算外力偶矩计算外力偶矩 mN1168 9550AAnPMmN350 mN468DCBMMM同理同理2绘制扭矩图绘制扭矩图 用截面法求用截面法求1-1截面的扭矩截面的扭矩 mN468B1MT2-2截面的扭矩截面的扭矩AB2MMT3-3截面的扭矩截面的扭矩 mN350C3 MT 绘出的扭矩图如图所示。显然绘出的扭矩图如图所示。显然AC段扭矩最大，段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在由于是等截面圆轴，故危险截面在AC段内。段内。 mN7001168468112233700Nm350Nm468NmB AC D3） 强度校核

17、强度校核 a93PmaxP104516700WT4） 刚度校核刚度校核 ）（ m/180104510803270018001249pmaxmaxGIT因轴同时满足刚度条件，所以传动轴是安全的。因轴同时满足刚度条件，所以传动轴是安全的。 a4 .38a40轴满足轴满足强度条件强度条件m23. 1m5 . 1第八章第八章 梁弯曲时内力和梁弯曲时内力和应力应力 梁梁AB作用有外力作用有外力F1、F2如图，支座反力如图，支座反力FRA、FRB可由平衡条件求得，可由平衡条件求得，现用截面法计算任一截面现用截面法计算任一截面mm上的内力，考虑左侧上的内力，考虑左侧部分平衡有：部分平衡有： 一、剪力和弯矩一

18、、剪力和弯矩 剪力剪力FQm：niiyF101RAQFFFm 弯矩弯矩 Mm：niiM1C0)(F)(1RAabFbFMmn 弯曲时的内力弯曲时的内力 剪力和弯矩剪力和弯矩 和和 、 和和 分别大小相等、分别大小相等、方向相反。方向相反。 mFQmMmMmFQ 二、剪力和弯矩的正负号规定二、剪力和弯矩的正负号规定 n剪力的正负号：使截面绕其内侧任一点有顺时针转趋势的剪力为正，如图 a 所示；反之则为负，如图b所示。 n弯矩的正负号：使受弯杆件下侧纤维受拉为正，如图c) 所示；使受弯杆件上侧纤维受拉为负，如图d) 所示。或者使受弯杆件向下凸时为正，反之为负。 例例7-1 如图所示简支梁，求如图所

19、示简支梁，求C、D截面的弯曲内力。截面的弯曲内力。 解：解：1支座反力支座反力 取整体为研究对象，取整体为研究对象，由平衡方程得：由平衡方程得：niiyF10niiAM10)(F0mkN) 11021044R （BFkN5 . 6RBF0kN10kN10RRBAFFkN5 .13RAF2截面截面C处的剪力和弯矩处的剪力和弯矩niiyF100RQBCFFkN5 . 6RQBCFFniiCM10)(F05 . 1mkN4RBCFMmkN75.13CM3截面截面D处的剪力和弯矩处的剪力和弯矩kN5 . 3kN10RQADFFkN5 .13RQADFFmkN5 .13m1RADFM 一、剪力图和弯矩图

20、一、剪力图和弯矩图n 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图n剪力图和弯矩图：以梁轴线为横坐标，分别以剪力值和弯矩值为纵坐标，按适当比例作出剪力和弯矩沿轴线的变化曲线，称作剪力图和弯矩图。n剪力方程和弯矩方程：沿梁轴线选取坐标 x 表示梁截面位置，则剪力和弯矩是 x 的函数。)( )(QQxMMxFF 例例7-2 如下图，简支梁如下图，简支梁AB受载荷集度为受载荷集度为 q 的均的均布载荷作用，试作梁布载荷作用，试作梁AB的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。 1求支座反力求支座反力解：解： qlFF21BA2求剪力方程和求剪力方程和 弯矩方程弯矩方程 )0(21)(QlxqxqlxF)0(2121)(2

21、lxqxqlxxMx3作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图 剪力图：是一斜直线剪力图：是一斜直线qlF21)0(QqllF21)(Q当当 时时 0 x当当 时时 lx )0(21)(QlxqxqlxF剪力图如图所示。剪力图如图所示。 确定抛物线的极值点确定抛物线的极值点 qxqlxxM21d)(d2max81qlM弯矩图如图所示。弯矩图如图所示。 弯矩图：是一抛物线弯矩图：是一抛物线0) 0(M0)(lM当当 时时 0 x当当 时时 lx0lx21得得)0(2121)(2lxqxqlxxMn 利用剪力、弯矩与载荷集度的微分关系作剪力图利用剪力、弯矩与载荷集度的微分关系作剪力图n 和弯矩图和弯矩图

22、剪力、弯矩与载荷剪力、弯矩与载荷集度的微分关系集度的微分关系)(d)(dQxqxxF)(d)(dQxFxxM)(d)(d22xqxxMFQ(x): 剪力剪力; M(x): 弯矩弯矩; q(x): 载荷集度载荷集度剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 的特点和规律的特点和规律 1. q = 0的梁段：的梁段： FQ为常数，剪力图为水平直线；为常数，剪力图为水平直线；M为为x的一次函数，即弯矩图为斜直线，斜率由的一次函数，即弯矩图为斜直线，斜率由FQ值确值确定。定。 2. q = 常数的梁段：常数的梁段： FQ为为 x 的一次函数，剪力图为的一次函数，剪力图为斜直线，斜率由斜直线，斜率由 q 值确定；而值

23、确定；而M 是是x的二次函数，则的二次函数，则弯矩图为二次抛物线；弯矩图为二次抛物线； q0时，为凹曲线，弯矩存在时，为凹曲线，弯矩存在极小值；极小值； q0时，为凸曲线，弯矩存在极大值。时，为凸曲线，弯矩存在极大值。剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 的特点和规律的特点和规律n当梁上仅有集中力作用时，剪力图在集中力作用当梁上仅有集中力作用时，剪力图在集中力作用处有突变，突变量是集中力的大小；弯矩图在集处有突变，突变量是集中力的大小；弯矩图在集中力作用处产生尖角。中力作用处产生尖角。n当梁上仅有集中力偶作用时，剪力图在集中力偶当梁上仅有集中力偶作用时，剪力图在集中力偶作用处不变；弯矩图在集中力偶作用

24、处有突变，作用处不变；弯矩图在集中力偶作用处有突变，突变量是集中力偶的大小。突变量是集中力偶的大小。 例例7-6 利用剪力、弯矩与载荷集度的微分关系利用剪力、弯矩与载荷集度的微分关系作图所示的外伸梁的剪力图和弯矩图。作图所示的外伸梁的剪力图和弯矩图。 解：解： 1求支座反力求支座反力niiyF10niiAM10)(F0524RqMFBkN5 . 6RBF02RRqFFBAkN5 . 2RAF2作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图 剪力图：剪力图：kN5 . 6RBFkN5 . 2RAFnAB段：剪力图是水平线，大小为2.5kN；nBD段：剪力图是斜直线，确定两点FQB=4kN，FQD=0；n留意：

25、因B处作用有集中力FRB，所以剪力图在B处有突变，突变为4kN (2.5)kN=6.5kN=FRB。0AMmkN5RACFMACmkN1MMMCC 弯矩图：弯矩图：nAC段与CB段：弯矩图是斜直线，因C处作用有集中力偶M，弯矩图在C截面处有突变。nBD 段：由于有均布载荷作用，弯矩图是一段抛物线，如图c) 所示。mkN4 212BDqMBn 梁弯曲时横截面的正应力梁弯曲时横截面的正应力 zIMyM：弯矩：弯矩y： 梁截面上某一点梁截面上某一点 到中性层的距离到中性层的距离IZ：截面对：截面对Z轴的惯性矩。轴的惯性矩。maxyIWzz引入抗弯引入抗弯截面系数截面系数zWMmaxmaxzIyMma

26、xmaxmax最大最大正应力正应力图 形形心主轴惯性矩抗弯截面模量，62bhWz123hbIy123bhIz644DIz323DWz)1 (6444DIzDd)1 (3243DWzDdn 截面的惯性矩截面的惯性矩AyAzAzIAyId d22 例例7-7 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷q作用如图所示，知作用如图所示，知q=2kN/m，梁跨度，梁跨度l=3m，截面为矩形，截面为矩形，b=80mm，h=100mm。求：（。求：（1C截面上截面上a、b、c三点处的正应三点处的正应力；（力；（2梁的最大正应力值及其位置。梁的最大正应力值及其位置。 解：求支座反力解：求支座反力 kN321RqlFAk

27、N3RBF1计算计算C截面的弯矩截面的弯矩 mkN2mkN12112）（qFMRACRAFRBF 计算截面对中性轴计算截面对中性轴z的惯性矩的惯性矩 46433m1067. 6mm1008012112bhIz 计算各点的正应力计算各点的正应力MPa0 .15Pa101067. 6105010212633zaCaIyMMPa97. 8Pa101067. 6103010212633zbCbIyMMPa0 .15Pa101067. 6)1050(10212633zcCcIyM2作弯矩图作弯矩图 弯矩最大值发生在弯矩最大值发生在跨中截面处，其值为：跨中截面处，其值为： mkN25. 2812ql 梁的

28、最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘梁的最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘处，最大正应力值为：处，最大正应力值为：MPa9 .16 Pa101067. 610501025. 212633maxmaxmaxzIyM2Rmax2212lqlFMARAFRBF 例例7-8 矩形截面的外伸梁，尺寸和载荷如图示，矩形截面的外伸梁，尺寸和载荷如图示，材料的弯曲许用应力材料的弯曲许用应力 =100MPa，试校核梁的强度。，试校核梁的强度。 解：解：1作梁的弯矩图作梁的弯矩图 mkN30maxM2计算矩形截面的计算矩形截面的 抗弯截面系数抗弯截面系数 32mm6180120zW3梁的最大正应力梁的最大正应力

29、 Pa101048. 61030953maxmaxzWMMPa3 .46 因此，梁满足正因此，梁满足正应力强度条件。应力强度条件。 35mm1048. 6第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形n 挠度和转角挠度和转角 n挠度挠度(y)：截面形心线：截面形心线位移的垂直分量称为位移的垂直分量称为该截面的挠度，用该截面的挠度，用 y 表示，一般用表示，一般用 ymax 表示全梁的最大挠度。表示全梁的最大挠度。n转角转角( )：横截面绕中性轴转动产生了角位移，：横截面绕中性轴转动产生了角位移，此角位移称转角，用此角位移称转角，用 表示。表示。二、积分法求梁的挠度与转角二、积分法求梁的挠度与转角 积分

30、一次得转角方程：积分一次得转角方程：CxEIxMyd)(对梁的挠曲轴线近似微分方程式积分：对梁的挠曲轴线近似微分方程式积分： 积分二次得挠度方程：积分二次得挠度方程：DCxxxEIxMydd)(挠曲轴线挠曲轴线近似微分方程近似微分方程EIxMy)( 简支梁：简支梁：0 , 0BAyy 悬臂梁：悬臂梁：0 , 0AAyCxEIxMyd)(转角方程转角方程DCxxxEIxMydd)(挠度方程挠度方程n式中积分常数式中积分常数C、D由边界条件梁中已知的截面由边界条件梁中已知的截面位移确定：位移确定：n由边界条件、变形连续条件可确定积分常数，通由边界条件、变形连续条件可确定积分常数，通过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度，过上面两个公式可