直方图均衡大总结重点

1、直方图均衡总结一、什么是直方图一个灰度级在范围0,L-1的数字图像的直方图是一个离散函数p(rk) = nk/MNMN是图像中像素的总数nk是图像中灰度级为rk的像素个数rk是第k个灰度级，其中k=0,1,2,L-1。由直方图的定义可见：该定义其实是图像灰度级的概率密度函数，表明图像中某一个灰度级出现的概率，取值范围是0,1什么是直方图均衡一个“好”的图像，我们希望其：图像的像素占有全部的优先级，并且分布均匀，这样图像就有高的对比度。也就是说我们要把图像的直方图（概率密度函数）尽量变成均匀分布的直方图，以使图像变“好”。这个过程就是直方图均衡。如何实现直方图均衡假设变换：s = T(r), 0

2、rL-1T(r)需要满足以下条件：1、 T(r)需要在区间0,L-1内为单值，且是单调递增的2、 当0rL-1时，0T(r)L-1也就是说，像素无论怎么映射，一定要保证原来的大小关系不变，较亮的区域，依旧是较亮的，较暗依旧暗，只是对比度增大，绝对不能明暗颠倒；另外，如果是八位图像，那么像素映射函数的值域应在0和255之间的，不能越界。综合以上两个条件，累积分布函数是个好的选择，因为累积分布函数是单调增函数（控制大小关系），并且值域是0到1（控制越界问题），所以直方图均衡化中使用的变换函数是累积分布函数。累积分布函数是概率密度函数的积分，对连续函数，它是所有小于等于a的值，其出现概率的和,F(a

3、)=P(x<=a)。若累积分布函数 F是连续的严格增函数，则存在其反函数。累积分布函数的反函数可以用来生成服从该随机分布的随机变数。回到刚才的变换函数，我们采用了累积分布函数来做变换函数，s = T(r) = (L-1)0rprwdw其离散形式为：sk = T(rk) = (L-1)j=0kprj=L-1MN0knj, k = 0, 1, 2,L-1其中sk称为直方图均衡化。具体的，来看看通过上述公式怎样实现的拉伸。假设有如下图像：得到图像的直方图信息如下图所示，并根据统计信息完成灰度值映射：映射后的图像如下所示：以上就是直方图映射均衡化的步骤。具体的伪代码如下：第一步：

4、60;   for(i=0;i<height;i+)       for(j=0;j<width;j+)          nsij+;               for(i=0;i<L;i+)        pi=ni

5、/(width*height);    这里，ni表示的是灰度级为i的像素的个数，L表示的是最大灰度级，width和height分别表示的是原始图像的宽度和高度，sij是图像的灰度级，所以，pi表示的就是灰度级为i的像素在整幅图像中出现的概率(其实就是p这个数组存储的就是这幅图像的归一化之后的直方图)。第二步：for(i=0;i<=L;i+)       for(j=0;j<=i;j+)         

6、 ci+=pj;           c这个数组存储的就是累积的归一化直方图。是p的累积分布函数。第三步：    max=min=s00;    for(i=0;i<height;i+)       for(j=0;j<width;j+)           if(m

7、ax<sij)               max=sij;           else if(min>sij)               min=sij;    

8、                  找出像素的最大值和最小值。为更精确起见，我们不用默认的最大值255，最小值0，而是采用实际图像中的最值。  for(i=0;i<height;i+)       for(j=0;j<width;j+)          tij=csij*(m

9、ax-min)+min;          将c（p）的变换，映射回输出图像。t就是最终直方图均衡化之后的结果。处理前的图片：处理后的图片：直方图均衡的意义1、 增强全局对比度，尤其是当图像的有用数据的对比度相当接近的时候。通过这种方法，亮度可以更好地在直方图上分布。这样就可以用于增强局部的对比度而不影响整体的对比度，直方图均衡化通过有效地扩展常用的亮度来实现这种功能。2、 去雾，有雾的图像直方图分布不均匀，通过直方图均衡，可以达到去雾的目的。如上图。思考：1、 为什么累积积分函数可以使直方图均衡化，也就是说使图像

10、概率密度能满足均匀分布？2、 为什么选用累积积分函数做变换函数，是不是还可以选用其他变换来实现？问题1的证明：s = T(r), 0<=s<=L-1，其中像素范围是0,L-1对于上述公式，我们假设：a、 T(r)是单调递增函数b、 当0<=r<=L-1时，0<=T(r)<=L-1其反函数：r = T-1(s), 0<=s<=L-1在这种情况下，条件（a）改为（a） T（a）在区间上为严格单调递增函数。条件（a）中要求T（r）为单调递增函数，是为了保证输出的灰度值不少于相应的输入值，防止灰度反变换时产生人为的缺陷。条件（a）特意强调严格单调递增，是

11、为了保证从s到 r 的反映射是一对一的，防止二义性。因为在实践中，我们处理的数字图像，都是整数的灰度值，必须把所有的结果四舍五入为最接近的整数值，所以一对一的映射无法满足。因此，当严格单调不满足时，我们就要使用寻找最接近整数匹配的方法来解决非唯一反变换的问题。一幅图像的灰度级可以看成是0，L - 1内的随机变量。随机变量的基本描述子是其概率密度函数（PDF）。令Pr（r）和Ps（s）分别表示随机变量r 和s 的PDF。由概率论得到的一个基本的结果是，如果Pr（r）和T（r）已知，且在感兴趣的值域上T（r）是连续且可微的，则映射后的PDF可表示为：Ps(s) = Pr(r)drds（公式1）可知

12、，S的PDF是由输入灰度的PDF和变换函数决定的。在图像处理中，有一个特别重要的变换函数有如下的形式：s = T(r) = (L-1)0rPrwdw（公式2）其中，w 是积分的假变量。公式右边是随机变量r 的累积分布函数（CDF）。由基本积分学中的莱布尼兹准则知道，关于上限的定积分的导数是被积函数在该上限的值。abfxdx=Fb- F(a)（公式3）由累积分布函数，可得到如下推导：dsdr= dT(r)dr= ddr0r(L-1)Prwdw=(L-1)Pr(r)将结果代入公式1，Ps(s) = Pr(r)drds则有：Ps(s) = Pr(r) )drds = Pr(r)1(L-1)Pr(r)

13、 = 1L-1, 0<=s<=L-1S的概率密度函数为1，Ps（s）是一个均匀概率密度函数。简而言之，我们已经证明了，执行s = T（r）的灰度变换将得到一个随机变量s ，该随机变量有一个均匀PDF表征。注解：公式1的推导由概率论随机变量函数的分布公式可以得出公式1。设随机变量Y=g(X)，X的概率密度函数为fX(x), -<x< +，又设函数g(x)处处可导且恒有g(x) > 0（或很有g(x) < 0），则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度函数为：fY(y) = fxhyh'(y)，<x< 0, 其他定理1其中，=ming-, g+, =maxg-, g+, h(y)是g(x)的反函数。变换函数为：s = T(r)，其反函数为r = T-1(s)，由定理1，Ps(s) = PrT-1(s)drds, 由r = T-1(s)得出