第二章分离变量法涉及到的Fourier级数展开公式复习6ppt课件

1、分离变量法涉及到的分离变量法涉及到的Fourier级数展开公式复习级数展开公式复习1、标准的、标准的Fourier级数展开定理和公式级数展开定理和公式1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,cos,sin,xxxxnxnx三角函数系：三角函数系：11coscos()sin011sinsin()cos0nxdxnxd nxnxnnnxdxnxd nxnxnn cossin0nxdxnxdx上述三角函数系中，任何两个不相同的函数的乘积在上述三角函数系中，任何两个不相同的函数的乘积在, 上的积分都等于零，即上的积分都等于零，即mncoscosmxnxdx1sinsinsinnmxmxnxdx

2、mmsinsinnmxnxdxm221coscoscoscoscosnnmxmxnxdxmmmnmxnxdxm22(1)coscos0nmxnxdxmmncoscos0mxnxdx同理同理sinsin0mxnxdxcossinmxnxdx1sinsincosnmxmxnxdxmmsincosnmxnxdxm 221coscossincossinnnmxmxnxdxmmmnmxnxdxm 22cossincossinnmxnxdxmxnxdxmmncossin0mxnxdx22(1)cossin0nmxnxdxm21 cos2cos2nxnxdxdx1(1cos2)2nx dx1cos2(2)4

3、nxdnxn1sin24nxn同理同理2sin nxdx通常把两个函数通常把两个函数, 在在a,b，且，且( ) ( )0baxx dx的函数的函数, 称为在称为在a,b上是正交的。上是正交的。以以2为周期的函数的为周期的函数的Fourier级数级数定理：定理：若在整个数轴上若在整个数轴上01( )(cossin)2nnnaf xanxbnx且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式：且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式：1( )cos,0,1,2,naf xnxdx n1( )sin,1,2,nbf xnxdx n以以2l为周期的函数的为周期的函数的Fourier级数级数设设f(x)是以是以2

4、l为周期的函数，通过变量代换为周期的函数，通过变量代换xtl可以把可以把f变换成以变换成以2为周期的为周期的t的函数的函数( )()ltF tf( )F t这时，函数这时，函数的的Fourier级数展开式是：级数展开式是：01( )(cossin)2nnnan xn xf xabll1( )cos,0,1,2,lnln xaf xdx nll1( )sin,1,2,lnlnxbf xdx nll设设f是以是以2l为周期的偶函数，或是定义在为周期的偶函数，或是定义在-l,l上的偶函数，上的偶函数，则在则在-l,l上，上，( )cosf xnx( )sinf xnx偶函数偶函数奇函数奇函数01(

5、)cos2( )cos,0,1,2,lnlln xaf xdxlln xf xdx nll1( )sin0,1,2,lnlnxbf xdxnll01( )cos2nnan xf xal设设f是以是以2l为周期的奇函数，或是定义在为周期的奇函数，或是定义在-l,l上的奇函数，上的奇函数，则在则在-l,l上，上，( )cosf xnx( )sinf xnx奇函数奇函数偶函数偶函数1( )cos0,0,1,2,lnln xaf xdxnll02( )sin,1,2,lnnxbf xdx nll1( )sinnnn xf xbl三三条条公公理理，与与其其对对应应，且且满满足足以以下下实实数数若若存存在

6、在唯唯一一上上的的线线性性空空间间，是是数数域域设设xVxFV, 定义定义(1):0,00(2):,(3):,xxxkxk xkFxyxyx yV 正定性且正定性且齐次性齐次性三角不等式三角不等式。空空间间称称为为赋赋范范线线性性空空间间的的线线性性的的范范数数。把把定定义义了了范范数数称称为为向向量量则则实实数数xx向量范数公理向量范数公理 i nxx i i1 1证证明明= =m ma ax x为为向向例例：量量范范数数. .(3)(),i ni ni ni nxyxyxyxyxyx yV i ii ii ii i1 11 1i ii i1 11 1= =m ma ax xm ma ax

7、xm ma ax xm ma ax x(1)0,00,1,2,.,0ixxxinx 显显然然证证：(2),i ni nkxkxkxk xkF i ii i1 11 1= =m ma ax x= =m ma ax xi nxx i i1 1所所以以= =m ma ax x为为向向量量范范数数. .定义定义 若赋范线性空间若赋范线性空间X中序列中序列 nx满足如下满足如下Cauchy条件条件,lim0mnm nxx0,:mnNm nNxx 即即则称则称 nx为为Cauchy列。若列。若X中所有中所有Cauchy列皆收敛，列皆收敛，则说则说X是完备的，并称是完备的，并称X为为Banach空间。空间。

8、3、完备的正交函数系、完备的正交函数系4、函数展成用正交函数系表示的级数的系数的、函数展成用正交函数系表示的级数的系数的计算方法计算方法1( )( )nnnf xC yx假设假设( )nyx是完备的正交函数系，且是完备的正交函数系，且则对上式两端同时乘以则对上式两端同时乘以( )myx，并在，并在a,b上积分上积分11( )( )( )( ) ( )( )bbmnnmaanbnnmanf x fx dxC yx yx dxCyx yx dx2( )( )( )bnanbnaf x yx dxCyx dx( )nyx由于由于是正交的，所以是正交的，所以1( )( )( )( ) ( )( )bb

9、nnnmaanbnnnaf x fx dxC yx yx dxCyx yx dx即即5、目前所涉及到常用的正交函数系及计算、目前所涉及到常用的正交函数系及计算方法举例方法举例结论：本章所涉及到的特征函数系都是完备的正交结论：本章所涉及到的特征函数系都是完备的正交函数系。函数系。例例1：1sinnxl01( , )( ,0)sin( )tnnu x tu xnCxxl01sin( )tnnun anDxxtll002( )sin2( )sinlnlnnCxxdxllnDxxdxn al1直接利用正弦级数展开公式，但是这里要注意的是，直接利用正弦级数展开公式，但是这里要注意的是，直接利用公式，需要

10、将直接利用公式，需要将 进行奇延拓。进行奇延拓。 ( ),( )xx2利用正交函数系，同乘函数系中某一个函数后，利用正交函数系，同乘函数系中某一个函数后，两边积分同时在两边积分同时在0,l上积分的方法。上积分的方法。2( )( )( )bnanbnaf x yx dxCyx dx即利用公式：即利用公式：1( )sinnnnxCxl两端同时乘以两端同时乘以sinmxl，并在，并在0,l上积分，得上积分，得00200( )sin( )sin2sin1 cos2llnlln xn xxdxxdxllCn xn xdxlldx00002( )sin2( )sin22(1 cos)coslllln xn

11、 xxdxxdxlln xn xdxldxll同理：同理：02( )sinlnnDxxdxn al0002( )sin2( )sin2sin2llln xxdxn xlxdxln xlllnl1(21)sin2nxl例例202(21)( )sin2lnnCxxdxll1)这个函数系不是我们在数学分析或高等数学中见到的这个函数系不是我们在数学分析或高等数学中见到的标准的三角函数系。但是也有同样的标准的三角函数系。但是也有同样的Fourier级数的系级数的系数公式数公式2利用正交函数系，同乘函数系中某一个函数后，利用正交函数系，同乘函数系中某一个函数后，两边积分同时在两边积分同时在0,l上积分的方

12、法。上积分的方法。1(21)( )sin2nnnxCxl两端同时乘以两端同时乘以(21)sin2mxl，并在，并在0,l上积分，得上积分，得1(21)( )sin2nnnxCxl020(21)( )sin2(21)sin2lnlnxxdxlCnxdxl00(21)( )sin22(21)1 cos22llnxxdxlnxldx00(21)( )sin22(21)1 cos22lnlnxxdxlCnxldx00(21)2( )sin2(21)(21)cos()(21)llnxxdxllnxnxldnll00(21)2( )sin2(21)cosllnxxdxlnxldxl000(21)2( )s

13、in2(21)2( )sin(21)2sin(21)lllnxxdxnxlxdxlnxlllnl0(21)cos2nxl例例3同理，有同理，有0(21)( )cos2nnnxCxl02(21)( )cos2lnnCxxdxll6、第五节第二个例题的详细计算过程、第五节第二个例题的详细计算过程例例2 解下列定解问题：解下列定解问题：2222012102,0,0, (2.72) 0,0, (2.73) ,0, (2.74) xxx ltuuab uxl ttxuuu tuuxxll解解: 2222012102,0,0, (2.72) 0,0, (2.73) ,0, (2.74) xxx ltuua

14、b uxl ttxuuu tuuxxll首先，将边界条件化成齐次的，为此令首先，将边界条件化成齐次的，为此令1( , )( , )u x tV x tu（2.75） 代入原定解问题得到代入原定解问题得到222212021012,0,0, (2.76) 0,0, (2.77) ,0, (2.78) xxx ltVVab Vb uxl ttxVVtuVxuxll显然这个定解问题可分为如下两个定解问题：显然这个定解问题可分为如下两个定解问题：（） (1)2(1)22(1)2(1)(1)0(1)21012,0,0, (2.76) 0,0, (2.77) ,0, (2.78) xxx ltVVab Vx

15、l ttxVVtuVxuxll和和（） (2)2(2)22(2)212(2)(2)0(2)0,0,0, (2.79) 0,0, (2.80) 0,0, (2.81) xxx ltVVabVb ux l ttxVVtVx l 对于问题（对于问题（），可以直接用分离变量法求解，求解步），可以直接用分离变量法求解，求解步骤与骤与2.2中的问题中的问题2.132.15一样，所不同的只是一样，所不同的只是通过分离变量得到常微分方程较通过分离变量得到常微分方程较2.16稍有不同。稍有不同。 令令(1)( , )( )( )Vx tX x T t代入代入2.76） (1)2(1)22(1)2,0,0, (2

16、.76)VVabVx l ttx 22( ) ()( ) ()( ) ()X xT ta X xT tb X xT t22( ) ()()( ) ()X x T tbT ta X xT t22Tb TXa TX 得得22( ) ()()( ) ()X x T tbT ta X xT t由此得到两个常微分方程由此得到两个常微分方程22()0TbaT（2.82） 0XX（2.83） 由条件由条件2.77） (1)(1)00,0, (2.77) xxx lVVt(0) ( )( ) ( )XT tX l T t( )0T t (0) ( )( ) ( )XT tX l T t得得 (0)( )0XX

17、 l（2.84） 0XX（2.83） (0)( )0XX l（2.84） ( )X xAxb(0)0XA( )0X lb( )0X x 0时，时，( )xxX xAeBe (0)0XAB( )0llX lAeBe 0AB( )0X x ( )cossinX xAxBx0时，时，20,时，时，(0)sin0cos00XABB ( )cossin0X lAlBl0B( )cos0,0X lAlAcos0l(21)(21),22nnll222()0TbaT（2.82） 20XX（2.83） 2222(21),0,1,2,4nnl(21)( )cos,0,1,2,2nnnXxBx nl(21)( )c

18、os,0,1,2,2nnnXxBx nl将上式中的将上式中的2代入代入2.82）222()0TbaT（2.82） 得得22222(21)()04naTbTl它的通解为它的通解为22222(21)()4( )nabtlnT te从而问题（从而问题（）的解可表示为）的解可表示为22222(21)()(1)40(21)( , )cos2nabtlnnnVx tC exl确定为确定为(1)21012,0, (2.78) tuVxuxll(1)211202(21)( , )()cos2lunVx txuxdxlll113332( 1)(21)nun 故所求得解故所求得解 (1)( , )Vx t为为 2

19、2 222(21)1(1)1433032( 1)(21)( , )cos(21)2nantb tlnunVx teexnl（2.86） （） (2)2(2)22(2)212(2)(2)0(2)0,0,0, (2.79) 0,0, (2.80) 0,0, (2.81) xxx ltVVabVb ux l ttxVVtVx l 21b u由于由于是常数，所以只需将整数是常数，所以只需将整数1在在0(21)cos2nxl展开即可。展开即可。0(21)( )cos2nnnxCxl由由0(21)1cos2nnnCxl02(21)cos2lnnCxdxll得得 2121104( 1)(21)cos212nnb unb uxnl（2.87） 04(21)(21)cos()(21)22lnnxdnll04(21) sin(21)2lnxnl4(21)4( 1) sin,0,1,2,(21)2(21)nnnnn(2)2(2)22(2)212(2)(2)0(2)0,0,0, (2.79) 0,0, (2.80) 0,0, (2.81) xxx ltVVabVb ux l ttxVVtVx l 令令 (2)0(21)( , )( )cos2nnnVx tv txl（2.88