最新万有引力与航天专题复习

1、学习-好资料专题：万有引力与航天一、 开普勒行星运动定律（1）所有的行星围绕太阳运动的轨道是 ，太阳处在一上，这就是开普勒第一定律，又称椭圆 轨道定律。（2）对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的 .这就是开普勒第二定 律，又称面积定律。（3）所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值。这就是开普勒第三定律，又称周期定律。R2若用R表示椭圆轨道的半长轴，T表示公转周期，则 R2 = k （k是一个与行星无关的量）。T2二、万有引力定律1 .内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与 成正比，与它们 之间 成反比.2 . 公式： F=, 其中 G5=N ,

2、 m2/kg 2, 叫弓I力常量.3 .适用条件：公式适用于 间的相互作用.当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体 可视为质点；均匀的球体可视为质点，r是 间的距离；一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中 r为球心到 间的距离.【例】1、（2009 浙江高考）在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为 圆轨道.已知太阳质量约为月球质量的2.7X107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍.关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是（）A.太阳引力远大于月球引力B.太阳引力与月球引力相差不大C.月球对不同区域海水

3、的吸引力大小相等D.月球对不同区域海水的吸引力大小有差异2、我国研制并成功发射的“嫦娥二号”探测卫星，在距月球表面高度为h的轨道上做匀速圆周运动，运行的周期为T。若以R表示月球的半径，则A.卫星运行时的向心加速度为4jfRB.卫星运行时的线速度为 2史TC.物体在月球表面自由下落的加速度为D .月球的第一宇宙速度为32AR (R + h)3TR三、人造卫星1、三种宇宙速度宇宙 速度数值(km/s)意义第一宇 宙速度7.9卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度（最大环绕速度）.若7.9 km/s &v<11.2 km/s ,物体绕运行（环绕速度）v1 = JGM =JgR R第二宇 宙

4、速度11.2物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.若物体绕运行（脱离速度）v2 = J2Vl =11.2 km/s < v<16.7 km/s ,第三宇 宙速度16.7物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.若在宇宙空间运行（逃逸速度）v > 16.7 km/s ,物体将脱离补充：第一宇宙速度的理解和推导1.由于在人造卫星的发射过程中，火箭要克服地球的引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道， 在地面上所需的发射速度就越大，故人造卫星的最小发射速度对应将卫星发射到近地表面运行，此时发射 时的动能全部转化为绕行的动能而不需要重力势能。根据论述可推导如下：G Mm = m"

5、,v1 = JGM-= 7.9km/s 或 mg = m" ,v1 = JgR = 7.9km/sR2 R . RR其他天体的第一宇宙速度可参照此方法推导，vi =Vg'R'注意（i）三个宇宙速度指的是发射速度，不能理解成运行速度。（2）第一宇宙速度既是最小发射速度，又是最大运行速度， 一，一一，i，、， ，一 一【例】1、某星球质量是地球质量的2倍，半径是地球半径的5,在该星球上发射卫星，其第一宇宙速度是多少？2、如图是“嫦娥一号”奔月示意图 ，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月车t移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测.下列说法正

6、确的是地月轼移知道A.发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度B.在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关C卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比D.在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力 2.近地卫星所谓近地卫星，是指卫星的运行轨道半径等于地球的半径，卫星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供。它的运行速度为第一宇宙速度，也是卫星的最大 的速度。3、同步卫星（1）轨道平面一定：轨道平面与 共面.周期一定：与 周期相同，即T= 24 h.（3）角速度一定：与 的角速度相同.(4)(5)高度一定：由g DMm2= m&（ r+ h）得同步卫星离地面的高度（rCr h）IR

7、 =3.56 x 107m(6)速率一"定：v =向心加速度大小一定an =v =更多精品文档学习-好资料学习-好资料【例】据报道，我国数据中继卫星“天链一号 01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空， 经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经 77。赤道上空的同步轨道. 关于成功定点后的“天链 号01星”，下列说法正确的是（）A.运行速度大于 7.9 km/sB.离地面高度一定，相对地面静止C.绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大D.向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等4、天体（如卫星）运动的线速度、角速度、周期与轨道半径r的关系Mm由G1-

8、 r2v=m得v =r,所以r越大，v更多精品文档由GMm=m02r得与=,所以r越大，0 r由GMm=m（空），得丁=,所以r越大，Tr T万有引力定律应用的基本方法：（1）把天体的运动看成匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供.“万能”连等式：GM=man=nv = mw 2r = m(、-) 2r = nm2 兀 f) 2r（2）不考虑中心天体的自转。黄金代换式:GMmR2=mg考向一：天体的质量 M密度p的估算（1）测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T,_Mm2 % 2 一，r _ 八 一 口、，4兀23由Gr2- = m（斤-）r,可得天体质重为：M= gT .3该中心天

9、体密度为：p =v= 4=GTTR3（R为中心天体的半径）鼻兀R3 3，, 、一，r -3 兀当卫星沿中心天体表面运行时，r = R,则p =由.g和天体半径gRm=M，G3g（2）利用天体表面的重力加速度,一 Mm由于爷mg故天体质重M天体号度 p = r,= 3 4ttGR兀F3V 43【例】天文学家新发现了太阳系外的一颗行星.这颗行星的体积是地球的 4.7倍，质量是地球的25倍.已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量 G= 6.67 X10 11NI- m2/kg2,由此估算该行星的平均密度约为（）A. 1.8 X103 kg/m 3B. 5.6X103 kg/m 3

10、C . 1.1X104 kg/m 3 D. 2.9X104 kg/m 3考向二：卫星的运行和变轨问题1.人造卫星的动力学特征万有引力提供向心力.即2JMm v2 ,2兀、2G"= ma= m-= mg =m) r = ma rrT2 .人造卫星的运动学特征随着轨道半径的增加，卫星的向心加速度减小。（1）向心加速度a =G整, r(2)由线速度v=随着轨道半径的增加，卫星的线速度减小。(3)角速度3= yGM随着轨道半径的增加，卫星的角速度减小。(4)周期T= 2兀、从林随着轨道半径的增加，卫星的周期增大。【例】如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别

11、是R和2R(R为地球半径).下列说法中正确的是()A. a、b的线速度大小之比是 小 1- a -'B. a、b的周期之比是1 ： 2/J/',、：、C. a、b的角速度大小之比是 3耶：4”。! 了D. a、b的向心加速度大小之比是 9： 43 .卫星的环绕速度和发射速度图1-1-1不同高度处的人造地球卫星在圆轨道上运行速度v=JGM,其大小随半径的增大而减小.但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，因此将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需 的发射速度就越大，即发射速度环绕速度，所以近地人造地球卫星的速度是最大环绕速度，也是人造卫 星的最小发射速度.4

12、 .人造地球卫星的超重和失重(1)人造地球卫星在发射升空时，有一段加速运动；在返回地面时，有一段减速运动.这两个过程加速度 方向均向上，因而都是超重状态.(2)人造地球卫星在沿圆轨道运行时，由于万有引力提供向心力，因此处于完全失重状态.在这种情况下 凡是与重力有关的力学现象都不会发生.因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能使 用.同理，与重力有关的实验也将无法进行(如：天平、水银气压计等)5.卫星的变轨卫星做匀速圆周运动时满足：G = ma = mv= mrco2 = mi(j)2rr12当卫星由于某种原因使向心力与所受地球万有引力不相等时，卫星就会变轨，即当F引m上时,r2卫星

13、向近地心的轨道运动，即做向心运动；当5引mv-时，卫星向远地心的轨道运动，即做离心运动。r变轨时应从两方面考虑：一是中心天体提供的引力Mm上F引=G2" ,在开始变轨时F引不变;r2二是飞船所需要的向心力 F向=mv-,可以通过以改变飞船的速度来改变它所需要的向心力，从而达到r使其做向心运动或离心运动而变轨的目的。2(1)当V增大时，所需向心力 m增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v= y詈口其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加.2(2)当卫星的速度突然减小时，向心力m减小，即万有引力大于卫星所需的

14、向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少.v =GM（卫星的发射和回收就是利用了这一原理）【例】1、如图4 4 2所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是（）A. b、c的线速度大小相等，且大于 a的线速度B. b、c的向心加速度大小相等，且大于 a的向心加速度C. c加速可追上同一轨道上的 b, b减速可等到同一轨道上的 cD. a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大2、某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，某次测量卫星的轨

15、道半径为 ri,后来变为2（2<ri）,用国、&表示卫星在这两个轨道上的动能， Ti、T2表示 卫星在这两个轨道上的运行周期，则 （ ）A.&<&,T2<TiB.&<&,T2>TiC.&2>曰，T2<TiD,&2>曰，T2>Ti3、人造卫星首次进入的是距地面高度近地点为200km，远地点为340km的椭圆轨道，在飞行第五圈的时候，飞船从椭圆轨道运行到以远地点为半径的圆形轨道上，如图所示，试处理以下几个问题（地球半径2、R=6370km g=9.8m/s ）（i）飞船在椭圆轨道i上运行，

16、Q为近地点，P为远地点，当飞船运动到P点时点火，使飞船沿圆轨道2运行，以下说法正确的是（）A.飞船在Q点的万有引力大于该点所需的向心力B.飞船在P点的万有引力大于该点所需的向心力C.飞船在轨道I上 P点的速度小于轨道n上 P的速度D飞船在轨道I上 P点的加速度小于轨道n上 P的加速度（2）假设由于飞船的特殊需要，中国的一艘原本在圆轨道运行的飞船前往与之对接，则飞船一定是（）A.从较低轨道上加速B.从较高轨道上加速C.从同一轨道上加速D.从任意轨道上加速 考向三：“双星模型”问题在天体模型中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕两球连 线上某点做周期相同的匀速圆周

17、运动.如图（i）双星夹圆心，且始终在同一直线上，靠彼此间的万有引力提供向心力（2）具有相同的周期 T和角速度切（3）轨道半径和质量成反比 ri = m2 L,r2 = mi L mi m2 'mi m24二2 L3（4）双星总质量M=”（其中L为双星间距，T为周期）心 GT2【例】如图4-4-6,质量分别为 m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕 O点做 匀速圆周运动，星球 A和B两者中心之间的距离为 L.已知A、B的中心和O三点始终 共线，A和B分别在O的两侧.引力常量为 G（i）求两星球做圆周运动的周期；（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B,

18、月球绕其轨道中心运行的周期记为Ti.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98 Xi024kg和7.35 x i022 kg.求T2与Ti两者平方之比.（结果彳留3位小数）学习-好资料A. vi>V2>V3B. vi <v2<v3C. ai>a2>a3D. ai-考向四：赤道上、近地卫星上、同步卫星上的同物比较角速度周期一线速度向心加速度向心力赤道 上01 0 自T1 =T 自v1 =必 R一 2 - a 1 co 1 RF1 = ma1近地卫星 上:GM“2F铲一 2 c344 n

19、R 21| GM(GM v23不-="GM a2 =2 = gRF2 = ma2 = mg同步 卫星 上E 3 =缶自丁3=丁自V3 =83(R + h)(GM¥3 = J) R +h2a3 =03 (R + h)GM a3 _2(R + h)F3 = ma3G GM3(R+h)3T = H2(R+h)33GM同物 比较切1 =切3 缶2T1 =T3 >T2V1 < V3 < V2 = Y宇1a1 < a3 < a2 = gF1 < F3 < F2 = mg【例】如图，地球赤道上的山丘 e,近地资源卫星 p和同步通信卫星 q均在赤道

20、平面上绕 地心做匀速圆周运动.设 e、p、q的圆周运动速率分别为 vi、V2、V3,向心加速度分别为 ai、a2、a3,则（）考向五：万有引力与抛体运动的综合（万有引力与牛顿运动定律的综合）关键是：重力加速度 g（1）由黄金代换得g （2）由抛体运动或牛顿运动定律得g【例】我国在2010年实现探月计划一一“嫦娥工程”.同学们也对月球有了更多的关注.（1）若已知地球半径为 R,地球表面的重力加速度为g,月球绕地球运动的周期为 T,月球绕地球的运动近似看成匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径.（2）若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度vo竖直向上抛出一个小球，经过时间t,小球

21、落回抛出点.已知月球半径为r,万有引力常量为 G,试求出月球的质量M月.考向六：环绕同一中心天体的星际相距最远和最近问题1、从相距最近（两星在中心天体的同侧且三星共线）到再次相距最近所需最短时间:2 二据（8大-8小t = 21则t =,编大一小工2nT大T小而 co =贝 U t =TT大一T小2、从相距最近（两星在中心天体的同侧且三星共线）到相距最远（两星在中心天体的两侧且三星共线）所需最短时间：一 .Ki、更多精品文档：% - - - /*学习-好资料3T据（切大-切小t =兀贝u t =,co大一co小-2nT大T小而 co =贝 U t =T2 T大.T小【例10】两颗卫星在同一轨道

22、平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R, a卫星离地面的高度等于R, b卫星离地面高度为 3R,则：（1） a、b两卫星周期之比 Ta : Tb是多少？（2）若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则a至少经过多少个周期两卫星相距最远？【课时训练】1 .对万有引力定律的表达式 F= G2 ,下列说法正确的是（）A.公式中G为常量，没有单位，是人为规定的B. r趋向于零时，万有引力趋近于无穷大C.两物体之间的万有引力总是大小相等，与m、m2是否相等无关D.两个物体间的万有引力总是大小相等，方向相反的，是一对平衡力2 .已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍.若某行星的平均密度为地球平均

23、密度的一半,)它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为（A. 6小时 B, 12小时 C , 24小时 D. 36小时3 .在圆轨道上做匀速圆周运动的国际空间站里，一宇航员手拿一只小球相对于太空舱静止“站立”于舱内朝向地球一侧的“地面”上，如图 4-4-7所示.下列说 法正确的是（）A.宇航员相对于地球的速度介于7.9 km/s 与11.2 km/s 之间B.若宇航员相对于太空舱无初速释放小球，小球将落到“地面”上C.宇航员将不受地球的引力作用图 4 一 4 一 7运行速率为 v,当探D.宇航员对“地面”的压力等于零4 .“嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行