2020-2021学年高二数学人教A版必修5学案：2.4 第2课时　等比数列的性质 Word版含解析

1、第2课时等比数列的性质目标 记住等比数列的常见性质，并会用这些性质解答一些简单的等比数列问题重点 等比数列的性质及应用难点 对等比数列性质的理解知识点一等比数列的性质 填一填1在等比数列an中，如果m，n，k，l为正整数，且mnkl，则有amanakal.特别地，当mn2k时，amana.2在等比数列an中，每隔k项(kn*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列为等比数列，公比为qk1.3若数列an，bn是项数相同的等比数列，则an·bn也是等比数列特别地，若an是等比数列，c是不等于0的常数，则c·an也是等比数列4数列an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等

2、，且等于首末两项的积5在等比数列an中，奇数项数列a2n1是公比为q2的等比数列，偶数项数列a2n是公比为q2的等比数列答一答1若等比数列an和bn的公比分别为q1与q2，则数列，|an|，是否为等比数列，若是，它们的公比分别是多少？提示：它们都是等比数列，数列，|an|，的公比分别是，|q1|，.2若等比数列an的公比为q，则数列中各项的符号相同吗？提示：不一定当q>0时，各项符号相同，当q<0时，奇数项符号相同，偶数项符号相同，奇数项与偶数项符号相反知识点二等比数列的单调性 填一填等比数列an的首项为a1，公比为q.1当q>1，a1>0或0<q<1，a1

3、<0时，数列an为递增数列；2当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，数列an为递减数列；3当q1时，数列an(非零)为常数列；4当q<0时，数列an为摆动数列答一答3在等比数列an中，如果公比为q，且q<1，那么等比数列an是(d)a递增数列b递减数列c常数列 d无法确定单调性解析：如等比数列(1)n的公比q1，为摆动数列，不具有单调性由公比q<1知等比数列an不可能为常数列如等比数列是递减数列，等比数列是递增数列4在等比数列an中，已知a1>0,8a2a50，则数列an为递增数列(填“递增”或“递减”)解析：由8a2a50，可

4、知q38，解得q2.又a1>0，所以数列an为递增数列类型一等比数列的性质及应用例1已知数列an为等比数列(1)若an>0，且a2a42a3a5a4a625，求a3a5的值；(2)若a1a2a37，a1a2a38，求数列an的通项公式分析利用等比数列的通项及性质求解解(1)a2a42a3a5a4a625.且数列an是等比数列a2a3a5a25.即(a3a5)225.又an>0，a3a55.(2)将aa1a3代入已知，得a8，a22.设前三项为，2,2q，则有22q7.整理，得2q25q20，q2或q.或an2n1或an23n.在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算

5、.若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来有时显得很麻烦，如果结合等比数列的性质，进行整体变换，会起到化繁为简的效果.变式训练1(1)在等比数列an中，a7·a116，a4a145，则等于(c)a. b.c.或 d或解析：a7·a11a4·a146，a4，a14为方程x25x60的两个根，解得a42，a143或a43，a142，q10或.(2)已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6(a)a5 b7c6 d±5解析：由等比数列的性质知a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9构成等比数列，所以(a1a2

6、a3)·(a7a8a9)(a4a5a6)2，所以a4a5a6±±5.又数列各项均为正数，所以a4a5a65.类型二灵活设项求解等比数列例2有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和是12，求这四个数分析根据条件，用两个未知数表示这四个数解解法一：设四个数依次为ad，a，ad，由条件得解得或所以，当a4，d4时，所求四个数为0,4,8,16；当a9，d6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为：0,4,8,16或15,9,3,1.解法二：设这四个数依次为a，a，aq(a0)，由条件得解得或当q2，a8时，所求四

7、个数为0,4,8,16；当q，a3时，所求四个数为15,9,3,1.三个数或四个数成等比数列的设元技巧：1.若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或，a，aq；2.若四个数成等比数列，可设a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设，aq，aq3.变式训练2在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为(b)a4或17 b4或17c4 d17解析：设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为.由a，20成等差数列得2×a20.a2a200，解得a4或a5.当a4时，插入的两个数的和为a4.当a5时，插入的两个数的和为a17.类

8、型三等比数列的实际应用例3从盛满a l纯酒精的容器中倒出1 l，然后加满水，再倒出1 l混合溶液后又用水加满，如此继续下去第n次操作后酒精的浓度是多少？若a2，至少倒几次后才能使酒精浓度低于10%?解第一次取出纯酒精1 l，加水后，浓度为1，记为a11；第二次取出纯酒精·1 l，再加水后，浓度为2，记为a22；依次类推，第n次取出纯酒精n1·1 l，再加水后，浓度为n，记为ann.当a2时，由ann<10%，得n4.即至少倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.求解此类问题应先把实际问题转化为等比数列问题，在建立等比数列模型后，运算中往往要运用指数运算等，要注意运算的准确

9、性，对于近似计算问题，答案要符合题设中实际问题的需要.变式训练3某工厂计划在三年的生产中，从第二年起每一年比上一年增长的产值都相同，三年的总产值为300万元，如果第一年、第二年、第三年的产值分别比原计划多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分数都相同，求原计划三年中每年的产值解：由题意知原计划三年中每年的产值组成等差数列，设为ad，a，ad(d>0)，则有(ad)a(ad)300，解得a100.又由题意知(ad)10，a10，(ad)11组成等比数列，所以(a10)2(ad)10(ad)11，将a100代入上式，得1102(110d)(111d)，即d2d110

10、0，解得d10或d11(舍去)所以原计划三年中每年的产值分别为90万元、100万元、110万元1如果数列an是等比数列，那么(a)a数列是等比数列b数列是等比数列c数列2an是等比数列d数列nan是等比数列解析：由等比数列的定义判断即可2在等比数列an中，a2 0138a2 010，则公比q的值为(a)a2 b3c4 d8解析：a2 0138a2 010，a2 010q38a2 010.q38.q2.3在等比数列an中，若a3a69，a2a4a527，则a2的值为(b)a2 b3c4 d9解析：设等比数列的公比为q，由题意可得a3·a6a·q59，a2·a4

11、83;a5a·q527，÷得a23.故选b.4已知等比数列an为递增数列若a1>0，且2(anan2)5an1，则数列an的公比q2.解析：数列an是等比数列，且2(anan2)5an1，2(ananq2)5anq，即2(1q2)5q.解方程得q或q2.a1>0，且数列递增，q2.5已知an是正数组成的等比数列，求证：lga1lga3lga5lga2n1nlgan(nn*)证明：因为an是等比数列，所以a1a2n1a3a2n3a5a2n5a，所以lga1lga3lga5lga2n1lg(a1a3a5··a2n1)lg(a1a3a5··a2n1)2lg(a1a2n1)(a3a2n3)··(a2n1a1)lganlgan.本课须掌握的两大问题1等比数列的常用性质(1)若mnpq(m，n，p，qn*)，则am·anap·aq.特例：若mn2p(m，n，pn*)，则am·ana.(2)qnm(m，nn*)(3)在等比数列an