§2.1.2余弦定理的教学设计

1、§2.1.2余弦定理的教学设计一、教材分析本节在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。” 在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于

2、第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”二、学情分析   本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想

3、感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。 根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平 ，制定如下教学目标和重、难点。三、三维目标1知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。2.过程与方法:利用向量的数量积推导出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本

4、应用；教学难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 四、学法： 引导学生如何从实际问题中抽象出具体数学问题，已知两边及其夹角，如何求第三边的问题，让学生体会到余弦定理的实际应用，接着就这一问题进行探索，发现关系，分别利用向量法和坐标法对余弦定理进行推导让学生发现向量知识的简捷，新颖。开展“动脑想、严格证、多交流、勤设问”的研讨式学习方法，逐渐培      养学生“会观察”、 “会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。五、教法教法：运用“发现问题自主探究尝试指导合作交流”的教学模式.新课改要求学生提前预习，所以在上课之前，学生对余弦定理

5、也有一个大致的了解，教学时首先通过一个具体的问题，抽象出具体的数学问题，把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角.教学设计思想时，要突出由特殊到一般以及类比的思想整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出：动师生互动、共同探索；导教师指导、循序渐进。（1）新课引入提出问题, 激发学生的求知欲。（2）掌握余弦定理的推导证明分类讨论，数形结合，动脑思考,由特殊到一般，组织学生自主探索,获得正弦定理及证明过程。（3

6、）例题处理始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识。（4）当堂检测巩固对余弦定理的的理解六、教学用具：电脑、多媒体。教学过程一、新课导入导入:【 创设情景】ABCA、B两地之间隔着一个水塘，请你设计一种测量A、B两地之间距离的方案。 实际困难：A、B之间不可通 可用工具：卷尺、经纬仪（测角度） 问题：已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边？二、讲解新课：1余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即 推导过程：如图在中，、的长分别为、即同理可证 ，方法2：以顶点A为原点，射线AC为x轴正半轴建立直角坐标系。由两点的距离公式有：两边平方，得同

7、理可证另两式三、 处理导学案上的预习自测（1） ABC中，求（2）ABC中，求四、【合作探究】（学生讨论，展示和点评后，老师再进行归纳总结）例1 在ABC中，已知，求和变式：在ABC中，若AB，AC5，且cosC，则BC_例2在ABC中，已知三边长，求三角形的最大内角变式：在ABC中，若，求角A五、课堂小结1余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2余弦定理的应用范围： 已知三边，求三角； 已知两边及它们的夹角，求第三边 知识拓展在ABC中，若，则角是直角；若，则角是钝角；若，则角是锐角六、当堂检测1已知a，c2，B150°，则边b的长为（ ）. A.

8、 B. C. D. 2已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）.A B C D3已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ ）.A Bx5C 2x Dx54在ABC中，|3，|2，与的夹角为60°，则|_5在ABC中，已知三边a、b、c满足，则C等于 八、教学反思本课的教学应具有承上启下的目的。因此在教学设计时既要兼顾前后知识的联系，又要使学生明确本课学习的重点，将新旧知识逐渐地融为一体，构建比较完整的知识系统。所以在余弦定理的表现方式、结构特征上重加指导，只有当学生正确地理解了余弦定理的本质，才能更好地应用求解问题。本课教学设计力求在型（模型、类型），质（实质、本质），思（思维、思想方法）上达到教学效果。本课之前学生已学习过三角函数，平面几何，平面向量、解析几何、正弦定理等与本课紧密联系的内容，使本课有了较多的处理工具，也使余弦定理的探讨有了更加简洁的工具。因此在本课的教学设计中抓住前后知识的联系，重视数学思想的教学，加深对数学概念本质的理解，认识数学与实际的联系，学会应用数学知识和方法解决一些