全等三角形重点题型

1、2016年12月06日全等三角形一选择题（共6小题）1下列说法正确的是（）A所有正方形都是全等图形B所有长方形都是全等图形C所有半径相等的圆都是全等图形D面积相等的两个三角形是全等图形2用两个全等的三角形一定不能拼出的图形是（）A等腰三角形B直角梯形C菱形D矩形3在四边形ABCD中，ADBC，ABC=90°，AB=BC，E为AB上一点，AE=AD，且BFCD，AFCE于F连接DE交对角线AC于H下列结论：ACDACE；AC垂直平分ED；CE=2BF；CE平分ACB其中结论正确的是（）ABCD4如图，MON=60°，且OP平分MON，PAON于点A，点Q是射线OM上的一个动点

2、，若PA=4，则PQ的最小值为（）A1B2C3D45如图，ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DEAB，DFAC，E、F为垂足，对于结论：DE=DF；BD=CD；AD上任一点到AB、AC的距离相等；AD上任一点到B、C的距离相等其中正确的是（）A仅B仅C仅D6两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：ACBD；AO=CO=AC；ABDCBD，其中正确的结论有（）A0个B1个C2个D3个二选择题（共5小题）7如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DEa于点E、BFa于点F，若

3、DE=4，BF=3，则EF的长为8如图，在ABC和BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F若AC=BD，AB=ED，BC=BE，D=60°，ABE=28°，则ACB=9如图：在四边形ABCD中，AD=DC，ADC=ABC=90°，DEAB于E，若四边形ABCD的面积为16，则DE的长为10如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是11如图，AD是ABC中BAC的平分线，DEAB于点E，SABC=7，DE=2，AB=4，

4、则AC的长是三选择题（共2小题）12如图，已知BD、CE是ABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB判断线段AP和AQ的位置、大小关系，并证明13请阅读，完成证明和填空九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：（1）如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，且NOC=60度请证明：NOC=60度（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN=，且DON=度（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上

5、分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、EM，那么AN=，且EON=度（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论请大胆猜测，用一句话概括你的发现：四填空题（共1小题）14ABC的周长为20，A和B的平分线相交于P，若P到边AB的距离为4，则ABC的面积为五解答题（共1小题）15如图，四边形ABCD中，ABDC，BE、CE分别平分ABC、BCD，且点E在AD上求证：BC=AB+DC2016年12月06日全等三角形参考答案与试题解析一选择题（共6小题）1（2014秋高港区校级月考）下列说法正确的是（）A所有正方形都是全等图形B所有长方形都是全等图形C所有半径相等的圆都是全

6、等图形D面积相等的两个三角形是全等图形【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可【解答】解：A、所有正方形都是全等图形，说法错误；B、所有长方形都是全等图形，说法错误；C、所有半径相等的圆都是全等图形，说法正确；D、面积相等的两个三角形是全等图形，说法错误；故选：C【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握形状和大小都相同的两个图形是全等形2（2005成都）用两个全等的三角形一定不能拼出的图形是（）A等腰三角形B直角梯形C菱形D矩形【分析】此题主要考查动手能力，分别做两个全等的直角三角形、两个全等的正三角形、全等的等腰直角三角形试一试就可以了【解答】解：用两个全等的

7、直角三角形就能拼出等腰三角形，A可以；如图两个全等的正三角形就可以拼出菱形，C可以；两个全等的直角三角形时就可以拼出矩形，D可以；不管用什么形状的两个全等的三角形不管怎样也拼不出直角梯形故选B【点评】此题属于分类讨论型题目，需要对三角形的形状进行分类分析，可动手操作或想象操作3（2010秋江岸区期末）在四边形ABCD中，ADBC，ABC=90°，AB=BC，E为AB上一点，AE=AD，且BFCD，AFCE于F连接DE交对角线AC于H下列结论：ACDACE；AC垂直平分ED；CE=2BF；CE平分ACB其中结论正确的是（）ABCD【分析】有条件可直接证得ACDACE；有三角形全等的性质

8、可得CD=CE，又因为AD=AE所以AC是DE的垂直平分线即AC垂直平分ED；取CF的中点O连接BO，可得CE=2BO，再证明BF=BO即可，即问题转化为证明EBCEHC再利用三角形的外角性质问题可得证【解答】解：ADBC，ABC=90°，BAD=90°AB=CB，BAC=45°，DAC=45°又AC=AC，AECADCACDACE正确AECADC，DC=CE又AD=AE，AC是DE的垂直平分线即AC垂直平分EDAC垂直平分ED正确易证F、A、B、C共圆，因为BC为弦，CFB=CAB=45°，FBCD，所以FCD=45°，ACE=AC

9、D=22.5°，又因为ACB=45°，所以FCB等于22.5，故正确；延长DA，交BF延长线于M，易证MBCD是平行四边形，对角相等，所以M=67.5°，易证FAB=FCB（以FB为弦，亦可以用8字结构，相似），所以FAE=22.5°，所以MAF=67.5°，所以M=MAF，故AF=MF，易证EBF=22.5°，所以FAB=FBA，所以AF=FB，所以MF=BF，又因为MB=CD=CE（对边以及全等），所以2FB=CEABC=90°，OE=OC，BO=CO=CEOCB=OBCFOB=OCB+OBC，FOB=2OCBBFCD，

10、BFO=DCFBFO=DCF=FOB，BFO=FOBBF=OBBF=CE，即CE=2BF，故正确故答案选D【点评】本题考查了三角形全等的判断和性质；垂直平分线的判定；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰直角三角形两底角都是45°，题目难度不小，有一定的综合性4（2016秋富顺县期中）如图，MON=60°，且OP平分MON，PAON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=4，则PQ的最小值为（）A1B2C3D4【分析】根据垂线段最短得出当PQOM时，PQ的值最小，根据角平分线性质得出PQ=PA，求出即可【解答】解：当PQOM时，PQ的值最小，OP平分MON，PAON

11、，PA=4，PQ=PA=4，故选D【点评】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，能得出要使PQ最小时Q的位置是解此题的关键5（2016春天桥区期末）如图，ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DEAB，DFAC，E、F为垂足，对于结论：DE=DF；BD=CD；AD上任一点到AB、AC的距离相等；AD上任一点到B、C的距离相等其中正确的是（）A仅B仅C仅D【分析】利用角平分线的性质计算【解答】解：AD是角平分线，DEAB，DFAC，E、F为垂足，DE=DF，且AD上任一点到AB、AC的距离相等；又AB=AC，根据三线合一的性质，可得AD垂直平分BCBD=CD，AD上任一点到B、C的距离相等故

12、选D【点评】此题主要考查角平分线的性质和等腰三角形的性质6（2015宜昌）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：ACBD；AO=CO=AC；ABDCBD，其中正确的结论有（）A0个B1个C2个D3个【分析】先证明ABD与CBD全等，再证明AOD与COD全等即可判断【解答】解：在ABD与CBD中，ABDCBD（SSS），故正确；ADB=CDB，在AOD与COD中，AODCOD（SAS），AOD=COD=90°，AO=OC，ACDB，故正确；故选D【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关

13、键是根据SSS证明ABD与CBD全等和利用SAS证明AOD与COD全等二选择题（共5小题）7（2010铁岭）如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DEa于点E、BFa于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为7【分析】因为ABCD是正方形，所以AB=AD，ABC=BAD=90°，则有ABF=DAE，又因为DEa、BFa，根据AAS易证AFBAED，所以AF=DE=4，BF=AE=3，则EF的长可求【解答】解：ABCD是正方形AB=AD，ABC=BAD=90°ABC+ABF=BAD+DAEABF=DAE在AFB和AED中ABF=DAE，AFB=AED，

14、AB=ADAFBAEDAF=DE=4，BF=AE=3EF=AF+AE=4+3=7故答案为：7【点评】此题把全等三角形的判定和正方形的性质结合求解考查学生综合运用数学知识的能力8（2015秋江南区校级期中）如图，在ABC和BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F若AC=BD，AB=ED，BC=BE，D=60°，ABE=28°，则ACB=46°【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得ACB与DBE的关系，根据三角形外角的性质，可得答案【解答】解：在ABC和DEB中，ABCDEB （SSS），ACB=DBEAFB是BFC的外角，ACB+DBE=AFB，ACB=AF

15、B=46°故答案为：46°【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质9（2011秋海安县校级期中）如图：在四边形ABCD中，AD=DC，ADC=ABC=90°，DEAB于E，若四边形ABCD的面积为16，则DE的长为4【分析】可过点C作CFDE，得出RtADERtDCF，得出线段之间的关系，进而将四边形的面积转化为矩形BCFE的面积与2个CDF的面积，通过线段之间的转化，即可得出结论【解答】解：过点C作CFDE交DE于F，AD=CD，ADE=90°CDF=DCF，AED=DFC=90°，ADEDCF

16、（AAS），DE=CF=BE，又四边形ABCD的面积为16，即S矩形BCFE+2SCDF=16，即BEEF+2×CFDF=16，BEDE=BEBE=16，解得DE=4故此题答案为4【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形、矩形面积的计算，能够熟练掌握10（2012春莱州市期末）如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是4千米【分析】首先连接AC，过点C作CEl2于E，作CFl1于F，由AB=BC=CD=DA，即可判定四边形ABCD

17、是菱形，由菱形的性质，可得AC平分BAD，然后根据角平分线的性质，即可求得答案【解答】解：连接AC，过点C作CEl2于E，作CFl1于F，村庄C到公路l1的距离为4千米，CF=4千米，AB=BC=CD=DA，四边形ABCD是菱形，AC平分BAD，CE=CF=4千米，即C到公路l2的距离是4千米故答案是：4千米【点评】此题考查了菱形的判定与性质以及角平分线的性质此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用11（2016营口模拟）如图，AD是ABC中BAC的平分线，DEAB于点E，SABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是3【分析】过点D作DFAC于F，根据角平分线上的点到角的两

18、边距离相等可得DE=DF，再根据SABC=SABD+SACD列出方程求解即可【解答】解：如图，过点D作DFAC于F，AD是ABC中BAC的角平分线，DEAB，DE=DF，由图可知，SABC=SABD+SACD，×4×2+×AC×2=7，解得AC=3故答案为3【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键三选择题（共2小题）12（2014秋通山县校级月考）如图，已知BD、CE是ABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB判断线段AP和AQ的位置、大小关系，并证明【分析】由条件可得出1=2，可证得AP

19、BQAC，可得结论【解答】结论：AP=AQ，APAQ证明：BD、CE是ABC的高，1=2，在APB和QAC中，APBQAC（SAS），AQ=AP，3=P，而4+P=90°，3+4=90°，即AQAP【点评】本题主要考查三角形全等的判定和性质，在复杂的图形中找到可能全等的三角形是解题的关键13（2009青海）请阅读，完成证明和填空九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：（1）如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，且NOC=60度请证明：NOC=60度（2）如图2，正

20、方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN=，且DON=度（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、EM，那么AN=，且EON=度（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论请大胆猜测，用一句话概括你的发现：【分析】（1）利用ABC是正三角形，可得A=ABC=60°，AB=BC，又因BM=AN，所以ABNBCM，ABN=BCM，所以NOC=BCM+OBC=ABN+OBC=60°；（2）同（1）利用三角形全等，可知在正方形中，AN=DM，DON=90°

21、;；（3）同（1），利用三角形全等可知在正五边形中，AN=EM，EON=108°；（4）以上所求的角恰好等于正n边形的内角（10分）【解答】（1）证明：ABC是正三角形，A=ABC=60°，AB=BC，在ABN和BCM中，ABNBCM，（2分）ABN=BCM，又ABN+OBC=60°，BCM+OBC=60°，NOC=60°；（2）解：四边形ABCD是正方形，DAM=ABN=90°，AD=AB，又AM=BN，ABNDAM（SAS），AN=DM，ADM=BAN，又ADM+AMD=90°，BAN+AMD=90°AOM=90°；即DON=90°（3）解：五边形ABCDE是正五边形，A=B，AB=AE，又AM=BN，ABNEAM，AN=ME，AEM=BAN，NOE=NAE+AEM=NAE+BAN=BAE=108°；（4）解：以上所求的角恰好等于正n边形的内角（10分）注：学生的表述只要合理或有其它等价且正确的结论，均给分本题结论着