一元三次函数性质总结

1、 一元三次函数的图像和性质三次函数的图像及性质形如的函数叫做三次函数，其中是自变量，是常数。它具有以下性质：1、图像、单调区间与极值三次函数求导以后是二次函数，它的零点个数决定了三次函数的极值情况与单调区间，下面是三次函数及其对应的导函数全部共六种图像：2、零点个数若方程的判别式，则在R上是单调函数，无极值，值域为，故有唯一的零点。若方程的判别式，方程有两个不等的实根、，它们是函数的极值点，则：（i）当时，有一个零点；（ii）当时，有两个零点；（iii）当时，有三个零点。3、对称中心三次函数一定有对称中心。其对称中心的横坐标为。（三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的图象的对称中

2、心在其导函数f(x)=3ax2+2bx+c的图象对称轴上若三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)有极值，那么它的对称中心是两个极值点的中点）4、过平面内一点能作三次函数图像切线的条数 三次函数的三大性质初探 随着导数内容进入新教材，函数的研究范围也随之扩大，用导数的方法研究三次函数的性质，不仅方便实用，而且三次函数的性质变得十分明朗，本文给出三次函数的三大主要性质.1 单调性 三次函数,(1) 若，则在上为增函数；(2) 若，则在和上为增函数，在上为减函数，其中. 证明 , =，(1) 当 即时，在 R上恒成立， 即在为增函数. (2) 当 即时，解方程，得 或 在和上为增函数.在

3、上为减函数.由上易知以下结论: 三次函数,(1) 若，则在R上无极值；(2) 若，则在R上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值.2 根的性质三次函数(1) 若，则恰有一个实根；(2) 若,且，则恰有一个实根；(3) 若,且，则有两个不相等的实根；(4) 若,且，则有三个不相等的实根.证明 (1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与X轴只相交一次，即在R上为单调函数或两极值同号，所以或，且.(3)有两个相异实根的充要条件是曲线与X轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且.(4)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与X轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且. 由上易

4、得以下结论：三次函数在上恒正的充要条件是(mx2),或且(m<x2) .3 对称性三次函数的图象关于点对称，并且在处取得最小值，其图象关于直线对称.证1 易知是奇函数，图象关于原点对称，则关于点对称.， 当时，取得最小值，显然图象关于对称.证2 设的图象关于点对称，任取 图象上点，则A关于的对称点也在图象上,由上又可得以下结论：是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线对称.证明 的图象关于对称，则 图象关于直线对称. 若图象关于直线对称，则图象关于点对称.证明 图象关于直线对称，则， ， 图象关于点对称.掌握上面的研究方法和三次函数的三大性质，对于解决有关三次函数的问题是十分有益的

5、. 【常用结论】1 （重点）三次函数的单调性由a来决定；b、c决定函数有没有极值。d确定函数图象与y轴交点。2 （重点）函数f(x)的极值由导函数f(x)=3ax2+2bx+c的判别式决定：0无极值，单调区间为R0既有极大值，又有极小值。有三个单调区间。3（了解）三次函数图象的对称性：三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的图象是中心对称图形，其对称中心是（）（三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的图象经过平移后能得到奇函数图象，可以用待定系数法求得）三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的图象的对称中心在其导函数f(x)=3ax2+2bx+c的图象对称轴

6、上若三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)有极值，那么它的对称中心是两个极值点的中点【典例精析】例题.设aR,讨论关于x的方程x3+3x2-a=0的相异的实根的个数？【实战演练】1.若函数f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，则实数a的取值范围是 。2.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值又有极小值，则a的取值范围是 .3.已知函数y=f(x)=x3+px2+qx的图象与x轴切于非原点的一点，且y极小=-4,那么p= ,q= .4已知函数f(x)=-x2+8x与g(x)=6lnx+m的图象有且只有两个不同的交点，求实数m的值？5.已知f(x)=x3-3x,过点

7、A(1,m)(m-2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围？6.设函数f(x)=x3-6x+5,xR.（1）求函数f(x)的单调区间和极值（2）若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围.（3）已知当x(1,+)时, f(x)k(x-1)恒成立,求实数k的取值范围.三次函数与导数例题与练习答案例1.(14全国大纲卷文21,满分12分）函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在区间（1，2）是增函数，求的取值范围.解：（），的判别式=36（1-a）.（）当a1时，0，则恒成立，且当且仅当，故此时在R上是增函数.（）当且，时，有两个根：，若，则, 当或时，故在上

8、是增函数；当时，故在上是减函数；若，则当或时，故在和上是减函数；当时，故在上是增函数；（）当 且时, ,所以当时，在区间（1，2）是增函数.当时， 在区间（1,2）是增函数，当且仅当且，解得.综上，的取值范围是.例2.(14安徽文数 20)（本小题满分13分）设函数，其中。（1）讨论在其定义域上的单调性；（1） 当时，求取得最大值和最小值时的的值.（）的定义域为，令，得所以当或时，；当时，故在内单调递减，在内单调递增（）因为，所以（）当时，由（）知，在0，1上单调递增，所以在和处分别取得最小值和最大值（）当时，由（）知，在0，上单调递增，在，1上单调递减，因此在处取得最大值又，所以当时，在处取

9、得最小值；当时，在和处同时取得最小值；当时，在处取得最小值。例4.（14年天津文科19,满分14分）已知函数（1） 求的单调区间和极值；（2）若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围解：（）由已知，有令，解得或当变化时，的变化情况如下表：0-0+0-0所以，的单调递增区间是；单调递减区间是，当时，有极小值，且极小值；当时，有极大值，且极大值（）解：由及（）知，当时，；当时，设集合，集合，则“对于任意的，都存在，使得”等价于，显然，.下面分三种情况讨论：（1）当，即时，由可知，而，所以不是的子集。（2）当，即时，有，且此时在上单调递减，故，因而；由，有在上的取值范围包含，则所以，（3）当，即时，

10、有，且此时在上单调递减，故，所以不是的子集。综上，的取值范围是课后练习、作业1.设.(1)若在上存在单调递增区间,求的取值范围；(2)当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.解：（1）已知，函数在上存在单调递增区间，即导函数在上存在函数值大于零的部分（2） 已知, 在上取到最小值，而的图像开口向下，且对轴轴为，则必有一点使得此时函数在上单调递增，在上单调递减，此时，由，所以函数2已知函数，（1）讨论函数的单调区间；（2）设函数在区间内是减函数，求的取值范围4解：（1）求导：当时，在上递增当，求得两根为即在递增，递减，递增（2），且解得：3. 设函数（）当求曲线处的切线斜率（）求函数的单调区

11、间与极值；【解析】解：(09天津文21)（本小题满分12分）（1）w.w.w.k.s当所以曲线处的切线斜率为1.（2）解：，令，得到因为当x变化时，的变化情况如下表：+0-0+极小值极大值在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=（3）解：由题设， 所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得因为若，而，不合题意若则对任意的有则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 综上，m的取值范围是4.已知函数，若在上的最小值记为。（1）求；（2）证明：当时，恒有解：(14浙江文21,15分)（）因为，所以（

12、）当时，若，则，故在上是减函数；若，则，故在上是增函数；所以（）当时，有，则，故在（-11）上是减函数，所以综上，（）证明：令，（）当时，若，得，则在上是增函数，所以在设的最大值是，且，所以，故若，得，则在上是减函数，所以在设的最大值是令，则知在上是增函数，所以，即，故（）当时，故，得此时在（-1，1）上是减函数，因此在-1，1上的最大值是，故综上，当时，恒有5. (14广东文数21) 已知函数（1）求函数的单调区间；（2）当时，试讨论是否存在，使得解：（1），方程的判别式，所以，当时，此时在上为增函数；当时，方程的两根为当时，此时为增函数；当时，此时为减函数；当时，此时为增函数；综上时，在上

13、为增函数；当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为（2）所以，若存在，使得，必须在上有解，方程的两根为，因为，所以只能是依题意，即所以，即又由，得，故欲使满足题意的存在，则所以，当时，存在唯一的满足当时，不存在使得6.已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)若在单调增加，在单调减少，证明:6.（21）解：(09海南宁夏理21)（本小题满分12分）（）当时，故w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当当从而单调减少.()由从而因为所以 将右边展开，与左边比较系数得，故又由此可得于是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 7.设函数（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围解：(1) , 因为, 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值为 (2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ; 所以 当时,取极大值 ; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时,取极小值 ; 故当 或时,