第44练数形结合思想

1、第44练 数形结合思想思想方法解读数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方 而，其应用大致可以分为两种情形：借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形 作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质：借助于数的精确 性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来 精确地阐明曲线的几何性质.数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几 何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用 这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决数形结

2、合的思想， 其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转 化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化在运用数形结合思想分析和解决问题时， 要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目 中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义：第二是恰当设参、合理用参，建立关 系，由数思形，以形想数，做好数形转化：第三是正确确定参数的取值范围.数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.如：锐角三角函数的左义是借助于直角 三角形来泄义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来泄义的.体验高考1.（2015-北京）如图，函数./U

3、）的图象为折线ACB,则不等式.Ax）log2（x+1）的解集是（解析 令g（x）=y=log2（x+1）,作出函数g（x）的图象如图.A.fxl KxO答案C由P+T，lv =10g2 （-+l）t结合图象知不等式Av）log2（x4-1）的解集为Wl1时，3x+2a1 (xv1),心)=xWO,变式训练i若函数一1有且只有两个不同的零点，则实数的取llnA0值范围是()A.(4, 0) B.(8, 0 C.(一4, 0 D.(8, 0)答案B解析 当A0时，./(x)=lnx与x轴有一个交点，即夬x)有一个零点.依题意，显然当“W0时，/U)=、一 2 也有一个零点，即方程一、一匕2=0只

4、能有一个A 1X1解.令力(兀)=二、，g(x)=kx2,则两函数图象在xWO时只能有一个交点.若斤0,显然函数力(x)=u与g(x)=kF在xWO时有两个交点，即点A与原点0(如图所示).显然40不符合题意.若显然函数检尸占与能尸 X 在点0时只有-个交点，即原点0（如图所示）.若k=09显然函数力（力=三了与 g（x）=W在xWO时只有一个交点，即原点0 综上，所求实数k的取值范围是（一8, 0.故选B.题型二利用数形结合解决不等式函数问题2x2例2已知函数几r）=（F “若关于x的方程x）=k有两个不等的实根，则实数Xx I）3, xv2,k的取值范围是_ 答案（0, 1）2解析当时，心

5、）=门此时只X）在2,+8）上单调递减，且0VU）W1.当x2时，./（x）=（xl）3,此时./U）过点（1, 0）, （0,一1）,且在（一8, 2）上单调递增.当X-2时，7UL1.如图所示作出函数y=/U）的图象，由图可得7U）在（一 8,2）上单调递增且./UXl，./U）在2,+8）上单调递减且0勺故当且仅当OQyl时，关于x的方程a=k有两个不等的实根, 即实数的取值范围是（0, 1）.点评利用数形结合解不等式或求参数的方法求参数范围或解不等式问題经常联系函数的图象， 根扌居不等式中量的特点， 选择适当的两个 (或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题

6、，往往可以避 免烦琐的运算，获得简捷的解答.变式训练2若存在正数x使2*(x“)1成立，则的取值范围是()A.( 8, +8) B.(2, +8) C.(0, +8) D.( 1, +8)答案D解析 因为2、0,所以由2x-a)得xa0时的图象，如图.当x0时，g(x)=2V0,使2v(x-t/)h则有y(o)i,即一1,所以选D.题型三利用数形结合求最值例3已知4,是平而内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足9一0心一0=0,贝qicl的最大值是()AB.2 C.2 D.半答案C解析如图，设OA=a, OB=b、OC=c,则CA=ac9CB=bc.由题意知ex丄质，：.O.A. CB四点共圆

7、.当OC为圆的直径时，Id最大，此时，1芮=返 点评利用数形结合求最值的方法步骤第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意艾一般从图形结构、图形的几何意义分析 代数式是否具有几何意狡.第二步：转化为几何问题.第三步：解决几何问题.第四步：回归代数问题.第五步：回顾反思.应用几何意狡数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：(1)比值 可考虑直线的斜率；(2)二元一次式可考虑直线的裁距；(3)根式分式可考虑点 到直线的距离：(4)根式可考虑两点间的距离.变式训练3已知圆G (x3F+(y4)2= 1和两点A(m90),0)伽0),若圆C上存在点P,使得ZAPB=90c,则加的最

8、大值为()A.7 B.6 C.5 D.4答案B解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3, 4),半径r=l,且IABI=2m.因为ZAPB=90,连接OP,易知OP=AB=m.要求川的最大值， 即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为100=732+42=5,所以lOPIn沐=IOCI+r=6,即m的最大值为6.高考题型精练1.若过点A(4,0)的直线/与曲线(x-2)2+y2=l有公共点，则直线/的斜率的取值范用是()A.羽，y3B.(/3y3)c.半,芈D.(-零答案C解析 设直线方程为y=/c(x-4)9即kx-y-4k=0.直线/与曲线（兀_2）2+护=1有公共点,圆

9、心到直线的距离小于等于半径，得4QWQ+1,汗寻所以一粤 Wk 輕.2已知Av)=Lverl,又g(x)=f(x)+f呎x)(/GR),若满足g(x) = 1的x有四个，则f的取值范 围为()e24-1e24-1e24-1e2+1A.(4-OQ)B(一8,一 )C.(一一, 2) D (2, -)答案B解析依题意?(x)=/2(x)+t f(x)= 1 ,1 F(JV)1即=几=_金)+屈W_2,可排除A, C, D.要有四个交点，则选B.3已知函数心）满足下列关系：Ax+1）=/U-1）：当1时，心）=対 则方程沧）= lgx解的个数是()A.5 B.7 C.9 D10答案C解析 由题意可知

10、，.心）是以2为周期，值域为0, 1的函数又./（x）=lg儿 则xG（0, 10,画出两函数图象，则交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点.4.设函数./U）是立义在R上的偶函数，对任意AGR都有.心）=心+4）,且当xW 2, 0时，即 d=2k-4kWl,也可以画出函数一（/UH沽图象如下图所示,心）=（少一1,若在区间（一2, 6内关于x的方程fix）logn（.+2）=0（ 1）恰有三个不同 的实数根，则“的取值范围是（）A（G 2） B（知2） C.甫，2） D.（诃2答案B解析 作出7U）在区间（一2, 6上的图象，可知log“（2+2）v3, log“（6+2）3n折 vx

11、2,选B.5若方程x+k=yT-?有且只有一个解，则k的取值范围是（）A.-h 1）B k=fC.一1, 1D.k=Q或 丘一1, 1）答案D解析 令yi=x+kt$2=（ _F，则+记=120）作出图象如图，在yi=x+k中，*是直线的纵截距，由图知：方程有一个解 O 直线与上述半圆只有一个公共点k=y2或一1 Skvl.6已知函数.心）=也一2“，当函数有4个零点时，则“的取值范围是_答案（0, 4）解析T函数沧）=I4Ax2l有4个零点，方程14%有4个不同的解.4（X2）S 0WxW4,令g（x）=l4x日=（x2）-4,x4 作出g（x）的图象，如图，由图象可以看出，当h（x）=a与

12、g（x）有4个交点时，0v“v4,的取值范围为（0, 4）.7.设金）=峽一1）1,若0o2ylah(由于所以ab4.的图象与函数y=kx-2的图彖恰有两个交点，则实数k的取值范用是答案（0, 1）U（1, 4）解析根据绝对值的意义，k2 ll_p+l（A 1或X1）,兀一1 _x_i（_Kl）当0Rl或1R4时有两个交点.b+2y-5W0,1,9已知实数x, y满足 .八y0+2y320,答案2pr+2y-5W0,J心1,解析画出不等式组S+2y3$0,Ir2II&已知函数y=j-则三的最大值为_ 根据图象可知,对应的平面区域Q(含边界)为图中的四边形ABCD*=#表示平面区域Q上的点P(x,y)与原点的连线的斜率，显然04的斜率最大.110给出下列命题：在区间(0,+8)上，函数y=(x-l)2, v=AJ中有三个 是增函数;若log,”3lo歸0,则0”sl：若函数心)是奇函数，则用_1)的图象关 于点(1, 0)对称：若函数用)=3一2丫一3