2018版高中数学小问题集中营专题2.3二次函数在闭区间上的最值

1、专题三 二次函数在闭区间上的最值数、问题的提出12017课标 j 理14】函数fxn2x3coY（-匕）的最大值二次函数是中学阶段研究最深入、最完备的一类函数，虽然是初中所学内容，却一直是高考与 各类数学竞赛中的热点与难点，很多创新试题都是以二次函数为载体命制的 .尤其是二次函数 在闭区间上的最值,是二次函数中难度较大且考查频率较高的一个知识点，本专题对此作一些 探讨 二、问题的探源本题解法：化简三角函数的解析式:/(x) =1 cos2x+二 cos1X当g = 时，函数/（专取得最大值Jtr【点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统

2、称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。一般从：开口方向；对称轴位置；判 别式；端点函数值符号四个方面分析。1. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考察对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；求解二次函数在闭区间上的最值问题，解题的关键都是抓住“三点一轴”，“三点”即区间两端点与区间中点，“一轴”即为抛物线的对称轴对于动函数、动区间的类型同样是抓住“三点一轴”，只不过讨论要复杂一些而已2. 对于“动轴定区间”问题，一般分两大类

3、：若轴在区间左边或右边，则直接依单调性可解；若轴在区间中，则最值在顶点及区间端点取得（有时需要比较区间端点的函数值，从而进 行二次分类）.cosx2丿7T由自变量的范围：XE可得:cosxe 0,1 -2 -3.函数f X在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得;设 f x =ax bxc=：0 a . 0 ,则二次函数在闭区间 lm,n 上的最大、最小值有如下的分布情况:对于开口向下的情况，讨论类似其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论:(1)若-m,nl,则2ar fb)inmaxf m,f,fn , f xmi当对称轴位于区间之间时，考虑最值时需考虑对称轴在区间的左边或右

4、边，往往通过比较对称轴-与区间中点的大小来判断2a2另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开 x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当 次函数开口向下时，自变量的取值离开 x 轴越远，则对应的函数值越小 三、问题的佐证(一)对称轴定，区间动2m：n :2am :b2acn即b_e2abm：n最大、最小值minXnf Xmax =max!fn,fm?f b ) f(x L=f .亠min2af xmaxin=min(2)若拟=maxf m ,f n，f Xmin=min 计 m ,f n ffx = ax2+力石+c = 0 0 -3 -【例 1】已知函数f(x) =2x -4x 3,则函

5、数f (x)在-1,2上的最大值为【解析】f(x)=4x4,令f (x)0有1 x乞2,令f(x)：O有-仁x：1,所以函数f (x)-4 -在1-1,1为减函数，在1,21 上为增函数故函数f(x)在一1,2上的最大值为f(_1)或f(2),而f(-1) =9,f(2) =3.故最大值为9.【例 2】求函数 y =x2_4x 3 在区间 lt,t 1 上的最值.【解析】对称轴 X。=2(1) 当 2 : t 即 t 2 时，ymin二 f t =t24t 3, ymax=f t 1 = 一 2t ；(2) 当 t 空 2 乞 t1 即 1 乞 t 乞 2 时，ymin=f 2=1,当 1 小

6、：| 时,ymax二 f t 1 =t22t,当 I 空亡 2 时,ymax二 f t = F 一 4t 3 ；(3) 当 2 t 1 即 t：1 时，ymin二 f t 1 二 t2-2t, ymax二 f t 二 F - 4x 3【例 3】【2015 高考浙江】已知函数f (x x2ax b(a,bR)，记M (a, b)是| f (x) |在区间-1,1上的最大值.证明：(1)当|a|_2时，M (a,b) _2；(2)当a，b满足M (a,b)冬2，求|a |b|的最大值.【解析】分析：(1)分析題青可知丁 00 在-LI上单调，从而可知Ma,b) =/(-l) |,分类讨论的取 11

7、 范围即可求解 j|1 一口+5 冃只一 1)隹 2,即可得证-2解析：(1)由f(x) =(x)2b，得对称轴为直线x，由|a|-2，242a得 |一才-1，故f (x)在T,1上单调，二M(a,b)=max| f f ( T)|,当a - 2时，由f一f(一1) = 2a一4，得max f (1), f (一1)一2，即M (a,b)一2,分析题意可知|纠+ |皆ra + b.abQa b abd,再由歐砧)- 1 恒成立，求t的取值 范围3【解析】若tV1,要使f(x) - 1 恒成立，只需f( - 1) - 1,即 4t+ 2- 1,则t-, 这与tV-1 矛盾.2若一 Kt- 1 恒

8、成立，只需f(t) - 1,即一t2+ 2t+ 1- 1,贝U1- 3 2,要使f(x) - 1 恒成立，只需f(2) - 1,即一 2t+ 5- 1, 2Vtw3.综上所述,t的取值范围是1 - , 3,3.【例 5】已知f(x) =ax2- 2x(0wxw1),求f(x)的最小值g(a).【解析】(1)当a= 0 时,f(x) =- 2x在0,1上单调递减，- g(a) =f(x)min=f(1) =- 2.21当a0 时,f(x) =ax-2x的图象开口方向向上，且其对称轴为x=.a12当0Vaw1,即宀时，f(x)=ax-2x的图象对称轴在0,1内，12a1,即 oa1 时，f(x)

9、=ax- 2x的图象对称轴在0,1的右侧，二f(x)在0,1上单调递减，g(a) =f(x)min=ff(x)在 |0,单调递减，在la，-6 -g(a) =f(x)min=f(1) =a 2.21当a 0 时,f(x) =ax 2x的图象的开口方向向下，且对称轴x= 0,在y轴的左侧，af(x) =ax2 2x在0,1上单调递减， g(a) =f(x)min=f(1)=a 2.ra 2,a 1.Ia【例 6】2015 高考湖北文 17】为实数，函数 f(x)=|x2ax|在区间0, 1上的最大值记为 g(a).求 g(a)的值最小.【解析】因为函数 f(x) =|x2-ax |，所以分以下几

10、种情况对其进行讨论：当a乞0时，函数f (x) =|x2-ax | = x2-ax 在区间0, 1上单调递增，所以 f (x)max二 g(a) =1 -a ;22当 0：a：2 2 一 2 时，此时 f(a)=|(a)2_a f ,f(1)=1_a,22242 2而乞-(1 _a)二鱼空-2 叮 0 ,所以 f(x)max二 g(a)二 1 - a ；443当22时，/=用一 n 卜一” 4页在区间(0 匸)上递増，2r-在(即 1)上递减-当彳时/W 取得最大值碍=和4当a2?皿|=*十皿在区间0,1递増当工=1 时，1童卫22fW取得最大值/O) = 1-3 则 g(d) = a2-2f

11、l2 在 2,2 血-2上递制,斗卫-IQ2土(2 血 7 杠 0上递増，即当 a =20-2 时，威町的值最小-故应填222.【点睛】将含绝对值的二次函数在区间上的最值问题和分段函数的最值问题融合在一起，运用分类讨论的思想将含绝对值问题转化为分段函数的问题，充分体现了分类讨论和化归转化的数学思想，能较好的考查知识综合能力 .其解题的关键是运用分类讨论求出 g(a)的表达式和分段函数在区间上的最值求法-7 -四、问题的解决3结合图形3乞m乞3222.函数y = x X(-1 _ X _ 3)的值域是( )A 0,121C.卜一，122【答案】B11【解析】二次函数开口向上，对称轴为x,结合单调

12、性可知当x时函数取得最小值2211-,当x= 3 时函数取得最大值12,因此函数值域为-,12443.【2017 课标 II 文 8】函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是A.( , 2)B.( 1)C.(1,+乂)D.(4,+乂)【答案】D【解析】函数有意义，则：X2-2X-8 0，解得：x-2或x 4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为D.4.【2016 高考浙江】已知函数f(x) =x2+bx,则b0”是“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”的(A.充分不必要条件)B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件1 已知函

13、数y=x2-3x-4的定义域是0, m1值域为-生,-4,则m的取值范围是(IL4A.0,41 B.C.D.【答案】C2【解析】由题y=x -3x_4,对称轴为:x =.贝 Vf () = -,f (0) - -4 = f (3). 2241B卜- ,124D. -,1244,=.故选2,-8 -C.充分必要条件【答案】A-9 -【点晴】研究函数三个思想 1.等价转换思想：将不等式恒成立，有解问题等价转化为对应函数最值问题 2.数形结合思想：利用函数图像，研究函数性质 否有解及实根分布转化为对应函数性质与图像问题7.已知函数 f(x)= x2 6x + 8,x 1,a,并且 f (x)的最小值

14、为 f (a),则实数 a 的取值【解析】由题意知/十丘之兀+尸，最小值为244令SH,则于(才(功=于二纟尸一24斗当 D的最小值与只的最小值相等 3 4当D 时，/(/(x) = x4的最小值为 0, /()的最小值也为 0,所以“fg的最小值与/(x)的最卜值相等环能推出“族旷 故选A.5.【2014 高考重庆理第 12 题】函数f (x) =log2、x Jog2(2X)的最小值为1【答案】-41【解析】f xlog2x -|2 log2_2| 1 ,x 1二2I】4所以，当log2x=-，即x时，f x取得最小值-丄.224所以答案应填:6.【2014 江苏理 10】已知函数f(x)

15、=x2，mx-1，若对于任意的Im, m 11都有f (x) : 0，则实数m的取值范围为.【答案】(_辺,0)2【解析】 据题意2 2f (m)二m mT：0,2f(m 1)=(m 1) m(m 1)T：0,解得ZE：0.23.函数与方程思想：将方程是-10 -区间是_ .【答案】1,31-11 -【解析】函数f x=x?_6x+8,的对称轴为x=3,要使1,a时,最小值为f a,根据二次函数的图象可知a3,故实数 a 的取值区间是1,38.函数 f x =ax2-2ax 2 b a = 0 在|2,3 |上有最大值 5 和最小值 2,求a,b的值.9.设函数 f(x) =x2-4x -4

16、的定义域为 It -2, t -1,对任意 tR ,求函数 f(x)的最小值的解析式.【解析】将二次函数配方得：f(x) =X2_4x _4=(x -2)2-8其对称轴方程为x=2,顶点坐标为(2, _8),图象开口向上(1)当 2：t -2 ,即 t 4.当 x = t -2 时,函数取得最小值,f (t _2)鼻化 _4)2_8 = t2_8t 8(2) 当 t -2 空 2 乞-1,即 3 乞 t 乞 4.当x =2时，函数取得最小值，f (2) = -8(3) 当 t -1：2,即 t：3.当 x =t -1 时，函数取得最小值，f (t -1) =(t -3)2-8_6t - 1 -

17、8t +8(t A4)综上讨论,得二-8(3 竺 辽 4)I2t -6t 1(t : 3)10.讨论函数 fx =x2亠 x-a 亠 1 的最小值.2【解析】f X =x2 X -a1 =x2-a JX a,这个函数是一个分段函数，由于上下两段# _x +a +1,x a上的对称轴分别为直线 X =，X =丄，当 a :：-1, -丄辽 a :：丄，a _丄时原函数的图象分别如 2 2 22 2 2【解析 1 对称轴舟十珂故函数 f在区间2上单调一1)当小时网数论)在区间2 习上是増函数，故；舄叮；暑 二2) 3a=3-12 -下(1),( 2),( 3)1 12(2)当 一 2 空 a：2

18、时,fxmina；=a 1；(3)当 a -时，f xmin=f -=- a2”! 411. 设函数f(x) =x2-2x 1 在区间t,t+ 1上有最小值g(t),求g(t)的解析式.2 2【解析】f(x) =x 2x 1 = (x 1) 2.1当t1 时,f(x)在区间t,t+ 1上是增函数,则最小值g(t) =f(t) =t2 2t 1 ；23当t+11,即t 1.12. 设函数y=x2 2x,x 2,a,若函数的最小值为g(a),求g(a).【解析】函数y=x2 2x= (x 1)2 1,对称轴为直线x= 1,Tx= 1 不一定在区间一 2,a内，.应进行讨论.2当一 21时，函数在2,1上单调递减，在1,a上单调递增，则当x= 1 时，y取得最小值，即ymin=1.广2a2a,21.13. 是否存在实数a,使函数f(x) =x2 2ax+a的定义域为1,1时，值域为2,2 ?若存在，求a的值；-13 -若不存在，说明理由.2 2【解析】f(x) = (xa) +aa.-14 -当av1 时,f(x)在1,1上为增函数a= 1(舍去)；f(a)=aa2= 2当-代 0时，f(1 )= 1 a= 2?a=1；f(a)=aa2= 2 = -f( 1)= 1 + 3