第三讲弹性力学的基本方程

1、Taiyuan University of Technology 计算固体力学计算固体力学王志华王志华应用力学与生物医学工程研究所应用力学与生物医学工程研究所太原理工大学太原理工大学 E-mail： Tel:13099078467弹性力学问题的基本假设弹性力学问题的基本假设1、连续性假设、连续性假设 弹性理论同其他宏观物理学一样，不考虑实际弹性理论同其他宏观物理学一样，不考虑实际工程材料细观粒子结构。工程材料细观粒子结构。l 物体抽象成连续密实的空间几何体，位移、应变、应力、物体抽象成连续密实的空间几何体，位移、应变、应力、能量等物理量作为空间点位置的函数定义在这个

2、几何体上。能量等物理量作为空间点位置的函数定义在这个几何体上。l 物体在整个物体在整个变形过程中始终保持连续变形过程中始终保持连续，即：定义在该连，即：定义在该连续介质上的物理性质和物理量除了在某些孤立的点、线、续介质上的物理性质和物理量除了在某些孤立的点、线、面上可能奇异或间断外，面上可能奇异或间断外，在变形过程中始终保持为空间点在变形过程中始终保持为空间点位的连续函数。位的连续函数。2、弹性假设、弹性假设 弹性体的变形与载荷在整个加载和卸载过程中存弹性体的变形与载荷在整个加载和卸载过程中存在一一对应的单值函数关系，且载荷卸去后变形在一一对应的单值函数关系，且载荷卸去后变形完全消失。完全消失

3、。 应力小于弹性极限时应力应变关系是线性的。服从虎克定应力小于弹性极限时应力应变关系是线性的。服从虎克定律。律。 小变形情况下，应变和位移导数间的关系是线性的。小变形情况下，应变和位移导数间的关系是线性的。弹性力学问题的基本假设弹性力学问题的基本假设3、均匀性假设、均匀性假设 物体在各点处的弹性性质都相同。物体在各点处的弹性性质都相同。4、自然状态假设、自然状态假设 假设物体不受外力作用和温度的影响，物体便假设物体不受外力作用和温度的影响，物体便没有应力和变形，即不考虑由于制造工艺引起的没有应力和变形，即不考虑由于制造工艺引起的残余应力和装配应力。残余应力和装配应力。 弹性力学问题的基本假设弹

4、性力学问题的基本假设一、基本物理量一、基本物理量 位移：位移： 应变：应变： 应力：应力： 弹性力学基本方程弹性力学基本方程二、场方程二、场方程 几何方程：几何方程：弹性力学基本方程弹性力学基本方程弹性力学基本方程弹性力学基本方程物理方程：物理方程：这里假设材料是各向同性的。这里假设材料是各向同性的。弹性力学基本方程弹性力学基本方程注：注： 表示工程切应变，它们与张量切应变表示工程切应变，它们与张量切应变 的关系为：的关系为： 弹性力学基本方程弹性力学基本方程在平面问题中的弹性矩阵：在平面问题中的弹性矩阵：平面应力问题：平面应力问题：平面应变问题：平面应变问题：弹性力学基本方程弹性力学基本方程平衡方程：平衡方程：弹性力学基本方程弹性力学基本方程边界条件：边界条件：力边界：力边界：位移边界：位移边界：弹性力学基本方程弹性力学基本方程有限元法的理论基础有限元法的理论基础- -变分原理变分原理自然变分原理自然变分原理最小位能原理：最小位能原理： 真实位移使体系总位能取极小值，真实位移使体系总位能取极小值，即：即：有限元法的理论基础有限元法的理论基础- -变分原理变分原理自然变分原理自然变分原理有限元法的理论基础有限元法的理论基础- -变分原理变分原理自然变分原理自然变分原理自然变分原理自然变