2022届高三数学一轮复习(原卷版)第2节 二项式定理 教案_第1页
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1、1第二节第二节二项式定理二项式定理最新考纲会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题1二项式定理(1)二项式定理:(ab)nc0nanc1nan1bcrnanrbrcnnbn(nn*);(2)通项公式:tr1crnanrbr,它表示第 r1 项;(3)二项式系数:二项展开式中各项的系数 c0n,c1n,cnn.2二项式系数的性质(1)0rn 时,crn与 cnrn的关系是 crncnrn(2)二项式系数先增后减中间项最大当 n 为偶数时, 第n21 项的二项式系数最大, 最大值为; 当 n 为奇数时,第n12项和n32项的二项式系数最大,最大值为3各二项式系数和(1)(ab)n展开式的各二项

2、式系数和:c0nc1nc2ncnn2n(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即 c0nc2nc4nc1nc3nc5n2n1一、思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)crnanrbr是(ab)n的展开式中的第 r 项()(2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项()(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与 a,b 无关()(4)通项 tr1crnanrbr中的 a 和 b 不能互换()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1(12x)4展开式中第 3 项的二项式系数为()2a6b6c24d24a(12x)4展开式中第 3 项的二项式系数为 c246.故选

3、 a.2二项式12x2y5的展开式中 x3y2的系数是()a5b20c20d5a二项式12x2y5的通项为 tr1cr5(12x)5r(2y)r.根据题意,得5r3,r2,解得 r2.所以 x3y2的系数是 c25123(2)25.故选 a.3.c02 019c12 019c22 019c2 0192 019c02 020c22 020c42 020c2 0202 020的值为()a1b2c2 019d2 0192 020a原式22 01922 020122 01922 0191.故选 a.4若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4,则 a0a2a4的值为_8令 x1,则 a0a1a2a

4、3a40,令 x1,则 a0a1a2a3a416,两式相加得 a0a2a48.考点 1二项式展开式的通项公式的应用形如(ab)n的展开式问题求二项展开式中的项的 3 种方法求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项一般需要建立方程求 r,再将r 的值代回通项求解,注意 r 的取值范围(r0,1,2,n)(1)第 m 项:此时 r1m,直接代入通项;(2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为 0 建立方程;(3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程(1)(2018全国卷)x22x5的展开式中 x4的系数为()3a10b20c40d80(2)若ax21x5的展开式中 x

5、5的系数是80,则实数 a_(3)(2019浙江高考)在二项式( 2x)9的展开式中,常数项是_;系数为有理数的项的个数是_(1)c(2)2(3)16 25(1)tr1cr5(x2)5r2xrcr52rx103r,由 103r4,得 r2,所以 x4的系数为 c252240.(2)ax21x5的展开式的通项 tr1cr5(ax2)5rxr2cr5a5rx1052r,令1052r5,得 r2,所以 c25a380,解得 a2.(3)由题意,( 2x)9的通项为 tr1cr9( 2)9rxr(r0,1,29),当 r0 时,可得常数项为 t1c09( 2)916 2;若展开式的系数为有理数,则 r

6、1,3,5,7,9,有 t2,t4,t6,t8,t10共 5 个项已知展开式的某项或其系数求参数,可由某项得出参数项,再由通项公式写出第 k1 项,由特定项得出 k 值,最后求出其参数教师备选例题190c110902c210903c310(1)k90kck109010c1010除以88的余数是()a1b1c87d87b190c110902c210903c310(1)k90kck109010c1010(190)108910(881)108810c110889c910881,前 10 项均能被 88 整除,余数是 1.1.在(x24)5的展开式中,含 x6的项为_160 x6因为(x24)5的展开

7、式的第 k1 项为 tk1ck5(x2)5k(4)k(4)kck5x102k,令 102k6,得 k2,所以含 x6的项为 t3(4)2c25x6160 x6.2若x21ax6的展开式中常数项为1516,则实数 a 的值为()4a2b.12c2d12ax21ax6的展开式的通项为 tk1ck6(x2)6k1axkck61akx123k,令 123k0,得 k4.故 c461a41516,即1a4116,解得 a2,故选 a.形如(ab)n(cd)m的展开式问题求解形如(ab)n(cd)m的展开式问题的思路(1)若 n,m 中一个比较小,可考虑把它展开得到多个,如(ab)2(cd)m(a22ab

8、b2)(cd)m,然后展开分别求解(2)观察(ab)(cd)是否可以合并,如(1x)5(1x)7(1x)(1x)5(1x)2(1x2)5(1x)2.(3)分别得到(ab)n,(cd)m的通项公式,综合考虑(1)(2017全国卷)11x2(1x)6展开式中 x2的系数为()a15b20c30d35(2)(1 x)6(1 x)4的展开式中 x 的系数是()a4b3c3d4(1)c(2)b(1)因为(1x)6的通项为 cr6xr,所以11x2(1x)6展开式中含x2的项为 1c26x2和1x2c46x4.因为 c26c462c262652130,所以11x2(1x)6展开式中 x2的系数为 30.故

9、选 c.(2)(1 x)6(1 x)4(1 x)(1 x)4(1 x)2(1x)4(12 xx)于是(1 x)6(1 x)4的展开式中 x 的系数为 c041c14(1)113.求几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题, 可先分别化简或展开为多项式和的形式, 再分类考虑特定项产生的每一种情形, 求出相应的特定项,5最后进行合并即可1.(x22)1x215的展开式的常数项是()a3b2c2d3d能够使其展开式中出现常数项, 由多项式乘法的定义可知需满足: 第一个因式取 x2项,第二个因式取1x2项得 x21x2c45(1)45;第一个因式取 2,第二个因式取(1)5得 2(1)5c552,故

10、展开式的常数项是 5(2)3,故选 d.2若(x2a)x1x10的展开式中 x6的系数为 30,则 a 等于()a.13b.12c1d2d由题意得x1x10的展开式的通项公式是 tk1ck10 x10k1xkck10 x102k,x1x10的展开式中含 x4(当 k3 时),x6(当 k2 时)项的系数分别为 c310,c210,因此由题意得 c310ac21012045a30,由此解得 a2,故选 d.形如(abc)n的展开式问题求三项展开式中某些特定项的系数的方法(1)通过变形先把三项式转化为二项式,再用二项式定理求解(2)两次利用二项式定理的通项公式求解(3)由二项式定理的推证方法知,可

11、用排列、组合的基本原理去求,即把三项式看作几个因式之积, 要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量(1)将x4x43展开后,常数项是_(2)x22xy6的展开式中,x3y3的系数是_(用数字作答)(3)设(x23x2)5a0a1xa2x2a10 x10,则 a1等于_(1)160(2)120(3)240(1)x4x43x2x6展开式的通项是6ck6( x)6k2xk(2)kck6x3k.令 3k0,得 k3.所以常数项是 c36(2)3160.(2)x22xy6表示 6 个因式 x22xy 的乘积,在这 6 个因式中,有 3 个因式选 y, 其余的 3 个因式中有 2 个选 x2,

12、 剩下一个选2x, 即可得到 x3y3的系数 即x3y3的系数是 c36c23(2)203(2)120.(3)(x23x2)5(x1)5(x2)5,其展开式中 x 的系数 a1c45(1)4(2)5(1)5c45(2)4240.二项式定理研究两项和的展开式,对于三项式问题,一般是通过合并、拆分或进行因式分解,转化成二项式定理的形式去求解1.(2015全国卷)(x2xy)5的展开式中,x5y2项的系数为()a10b20c30d60c法一:利用二项展开式的通项公式求解(x2xy)5(x2x)y5,含 y2的项为 t3c25(x2x)3y2.其中(x2x)3中含 x5的项为 c13x4xc13x5.

13、所以 x5y2项的系数为 c25c1330.故选 c.法二:利用组合知识求解(x2xy)5为 5 个 x2xy 之积,其中有两个取 y,两个取 x2,一个取 x 即可,所以 x5y2的系数为 c25c23c1130.故选 c.2(x13xy)6的展开式中含 xy 的项的系数为()a30b60c90d120b展开式中含 xy 的项来自 c16(y)1(x13x)5,(x13x)5展开式通项为 tr1(1)rcr5x543r,令 543r1r3,7(x13x)5展开式中 x 的系数为(1)3c35,所以(x13xy)6的展开式中含 xy 的项的系数为 c16(1)c35(1)360,故选b.考点

14、2二项式系数的和与各项的系数和问题赋值法在求各项系数和中的应用(1)对形如(axb)n,(ax2bxc)m(a,b,cr)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法(2)若 f(x)a0a1xa2x2anxn,则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1),奇数项系数之和为 a0a2a4f(1)f(1)2,偶数项系数之和为 a1a3a5f(1)f(1)2.(1)在x3xn的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为321,则 x2的系数为()a50b70c90d120(2)(2019汕头质检)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9,且(a0a2a8)2(a1a3a9)239,则

15、实数 m 的值为_(1)c(2)3 或 1(1)令 x1, 则x3xn4n, 所以x3xn的展开式中,各项系数和为 4n,又二项式系数和为 2n,所以4n2n2n32,解得 n5.二项展开式的通项 tr1cr5x5r3xrcr53rx532r,令 532r2,得 r2,所以 x2的系数为 c253290,故选 c.(2)令 x0,则(2m)9a0a1a2a9,令 x2,则 m9a0a1a2a3a9,又(a0a2a8)2(a1a3a9)2(a0a1a2a9)(a0a1a28a3a8a9)39,(2m)9m939,m(2m)3,m3 或 m1.(1)利用赋值法求解时, 注意各项的系数是指某一项的字

16、母前面的数值(包括符号)(2)在求各项的系数的绝对值的和时,首先要判断各项系数的符号,然后将绝对值去掉,再进行赋值1.在二项式(12x)n的展开式中,偶数项的二项式系数之和为 128,则展开式的中间项的系数为()a960b960c1120d1680c因为偶数项的二项式系数之和为 2n1128,所以 n17,n8,则展开式共有 9 项, 中间项为第 5 项, 因为(12x)8的展开式的通项 tr1cr8(2x)rcr8(2)rxr,所以 t5c48(2)4x4,其系数为 c48(2)41120.2在(1x)(1x)4的展开式中,含 x2项的系数是 b.若(2bx)7a0a1xa7x7,则 a1a

17、2a7_128在(1x)(1x)4的展开式中,含 x2项的系数是 b,则 bc24c142.在(22x)7a0a1xa7x7中,令 x0 得 a027,令 x1,得 a0a1a2a70.a1a2a7027128.3(ax)(1x)4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a_3设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5,令 x1,得 16(a1)a0a1a2a3a4a5,令 x1,得 0a0a1a2a3a4a5.,得 16(a1)2(a1a3a5),即展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 a1a3a58(a1), 所以 8(a1)32,解得 a3.考点 3二项

18、式系数的性质9二项式系数的最值问题求二项式系数的最大值,则依据(ab)n中 n 的奇偶及二次项系数的性质求解1.二项式3x13xn的展开式中只有第 11 项的二项式系数最大,则展开式中 x 的指数为整数的项的个数为()a3b5c6d7d根据3x13xn的展开式中只有第 11 项的二项式系数最大,得 n20,3x13xn的展开式的通项为 tr1cr20( 3x)20r13xr( 3)20rcr20 x204r3,要使 x 的指数是整数,需 r 是 3 的倍数,r0,3,6,9,12,15,18,x 的指数是整数的项共有 7 项2(2019南昌模拟)设 m 为正整数,(xy)2m展开式的二项式系数

19、的最大值为 a,(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为 b,若 15a8b,则 m_7(xy)2m展开式中二项式系数的最大值为 acm2m,(xy)2m1展开式中二项式系数的最大值为 bcm12m1,因为 15a8b,所以 15cm2m8cm12m1,即15(2m) !m!m!8(2m1) !m! (m1) !,解得 m7.3已知(13x)n的展开式中,后三项的二项式系数的和等于 121,则展开式中二项式系数最大的项为_c715(3x)7和 c815(3x)8由已知得 cn2ncn1ncnn121, 则12n(n1)n1121,即 n2n2400,解得 n15(舍去负值),所以展开式中二项

20、式系数最大的项为 t8c715(3x)7和 t9c815(3x)8.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念 二项式系数是指 c0n,c1n,cnn,它只与各项的项数有关,而与 a,b 的值无关;而项的系数是指该10项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与 a,b 的值有关项的系数的最值问题二项展开式系数最大项的求法如求(abx)n(a,br)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为 a1,a2,an1,且第 k 项系数最大,应用akak1,akak1从而解出 k 来,即得已知(3xx2)2n的展开式的二项式系数和比(3x1)n的展开式的二项式系数和大 992,则在2x1x2n的展开式中,二项式系数最大的项为_,系数的绝对值最大的项为_8 06415 360 x4由题意知,22n2n992,即(2n32)(2n31)0,故2n32,解得 n5.由二项式系数的性质知,2x1x10的展开式中第 6 项的二项式系数最大,故二项式系数最大的项为 t6c510(2x)51x58 064.设第 k1 项的

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