(完整版)高中数学圆的方程(含圆系)典型题型归纳总结

1、高中数学圆的方程典型题型归纳总结倘若充分挖掘本题的几何关系,不难得出二在以=为直径的圆上。而丄 刚1类型一：巧用圆系求圆的过程在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的 方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种：以宀为圆心的同心圆系方程:1- _ -过直线T 与圆!1的交点的圆系方程x2矽+ + 兄（出 +旳+U）三 0过两圆一、_1一 J 八 和圆-I的交点的圆系方程IL I +此圆系方程中不包含圆 ：，直接应用该圆系方程，必须检验圆【是否满足题意, 谨防漏解。当=时，得到两圆公共弦所在直线方程（q（耳-芯砂+（耳用）=0例1:已知圆一:与直线丁1相交于L两

2、点，匚为 坐标原点，若1-，求实数叫的值。好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。解：过直线 I与圆/!1-的交点的圆系方程为:b 亠工一6戸+空+ 乂 （戈+2丁 一3） = 0即又 n 满足方程，则叱一口二：|故亡=：例2:求过两圆h ? _和）II_ 1：的交点且面积最小的圆的方 程。解：圆一 一和I 一的公共弦方程为 疋+b - 2弘0-1尸 +0 1尸-16二0即2z+2-ll=0依题意,匚在以-为直径的圆上，则圆心（显然在直线?+/ - 25+l(2x+2y-11) = 0分析：此题最易想到设出，由一-得到-，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数

3、关系得出关于的方程，最后验证得解高中数学圆的方程典型题型归纳总结倘若充分挖掘本题的几何关系,不难得出二在以=为直径的圆上。而丄 刚2过直线L与圆 的交点的圆系方程为3依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心 i必在公共弦所在直线-； -上。即- 二+二八，则例3:求证：m为任意实数时，直线(m1)x+(2m1)y=m5恒过一定点P，并 求P点坐标。分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意 两直线的交点。解：由原方程得m(x+2y1)(x+y5)=0，2y 1 0解得xy 5 0y直线过定点P(9，4)注：方程可看作经过两直

4、线交点的直线系。例4已知圆C: (x1)2+(y2)2=25,直线I: (2m+1)x+(m+1)y7m4=0(mR).(1) 证明：不论m取什么实数，直线I与圆恒交于两点；(2) 求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得(1)证明：I 的方程(x+y 4) +m (2x+y 7) =0.“2x+y 7=0，fx=3， m R，得彳x+y 4=0，&1，即 I 恒过定点 A (3，1).圆心 C （ 1，2），| AC | =J5 v5 （半径），点 A 在圆 C 内，从而直线 I 恒与圆 C 相交于两点.1(2)解：弦长最小时，I 丄 AC

5、，由 kAC=一 ，2I 的方程为 2x y 5=0.评述：若定点 A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢?思考讨论H-代回圆系方程得所求圆方程4类型二：直线与圆的位置关系例 5、若直线y x m与曲线y . 4 X2有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.解：曲线y 4 x2表示半圆x2y24(y 0)，利用数形结合法，可得实数m的取值范围是2 m 2或m 2、2.变式练习：1.若直线 y=x+k 与曲线 x1 y2恰有一个公共点，则 k 的取值范围是 _.解析：利用数形结合.答案：1vkw1 或 k=22 2例 6 圆(x 3) (y 3)9上到直线3x 4y 11 0的距离为 1

6、的点有几个？分析：借助图形直观求解或先求出直线11、|2的方程，从代数计算中寻找解答.解法一：圆(x 3)2(y 3)29的圆心为。1(3,3)，半径r 3.3 3 4 3 11设圆心。1到直线3x 4y 110的距离为d，则d- 23.J3242如图，在圆心。1同侧，与直线3x 4y 110平行且距离为 1 的直线I1与圆有两个交点，这两个交点符合题意.又rd 3 2 1.与直线3x 4y 110平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.符合题意的点共有 3 个.解法二：符合题意的点是平行于直线3x 4y 11 0,且与之距离为 1 的直线和圆的交点. 设5所求直线为Imii|3x4y

7、 m 0,则d_!i,I2m ii5, 即m6,或mi6, 也即h：3x4y6 0，或l2：3x 4y i60.设圆Oi:(x3)2(y 3)29的圆心到直线li、J 的距离为di、d2，则的最大、最小值.分析：(i)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决.解：(i)(法 i)由圆的标准方程(x 3)2(y 4)2x 3 cos ,可设圆的参数方程为(是参数).y 4 sin ,di32423,d23 3 4 3 163242二li与Oi相切，与圆 O 有一个公共点；12与圆Oi相交，与圆Oi有两个公共点.即符合题意的点共 3 个.说明：对于本题，若不留心，则易

8、发生以下误解：3 3 4 3 ii设圆心Oi到直线3x 4y ii 0的距离为d，则d -=- 2 3.V3242圆Oi到3x 4y ii 0距离为 i 的点有两个.显然，上述误解中的d是圆心到直线3x 4y ii 0的距离，d r，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为i.类型三：圆中的最值问题例 7:圆x2y24x 4y i0 0上的点到直线x y i4 0的最大距离与最小距离的差是 解：圆(x 2)2(y 2)2i8的圆心为 (2 , 2)，半径r 3应，圆心到直线 的距离di05、一2 r，直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是V2(d r)

9、 (d r) 2r 6 22 2 2 2例 8 (i)已知圆O：x 3) (y 4) i,P(x , y)为圆O上的动点，求d x y的最大、最 小值.(2)已知圆O2：(x 2)2y2i,P(x , y)为圆上任一点.求 丄二 的最大、最小值，求x 2yx i则d2xy296 cos2cosi68 si n 2sin266 cos8si n26i0 cos()(其中tan4-)3所以dmax26 i036,dmin26 i0i6.(法 2)圆上点到原点距离的最大值di等于圆心到原点的距离di加上半径 1,圆上点到原点距离的最小值d2等于圆心到原点的距离di减去半径 i.所以di. 3242i

10、 6.d2. 3242i 4.所以dmax36.dmini6.22x 2 cos ,(2)(法 i)由(x 2) y i得圆的参数方程：是参数.y sin ,则口列2.令型2t,x i cos 3 cos 3得sin tcos 2 3t,i t2sin()2 3t所以tmaxsin(tmin即上上的最大值为亠空，最小值为x i446此时x 2y 2 cos2sin2 5cos( ).所以x 2y的最大值为25，最小值为2 .5.(法 2)设匚2k，则kx y k 20.由于P(x, y)是圆上点，当直线与圆有交点时，如x 1图所示，只须m不小于(1 cossin )的最大值.设u (sin cos ) 1. 2 sin( ) 14Umax21即m 21.说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法一般地，把圆(x a)2(y b)2设为(a r cos , b rsin )(0,2 ).采用这种设法一方面可减少参数的个数，另-以灵活地运用三角公式从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换.两条切线的斜率分别是最大、最小值.所以匚2的最大值为卫，最小值为33.x 144令x 2y t,同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值.,2 m厂由d_一1，得m 2帖.5所以x 2y的最大值为2,5，最小值为25