2019届高考数学专题四恒成立问题精准培优专练理

1、例 2：若不等式 logax si n2x a .0,a=1 对于任意的 x；-|0J,n%成立， 贝 U 实数 a 的取值范围【答案】a |L,10 -a 1，观察图像进培优点四恒成立问题1 参变分离法【答案】a _ -1【解析】Inx：x2：= xlnx_a x?二 aAXIn x -x3，其中(1,宓)，x.3- 只需“(xlnxXmax-2N11_ , 6 x令 g(x)=xl n xx , g (x )=1+1 nx3x , g (1 )=-2 , g(x)=6x=-x恒成立，求 a 的取值范围【答案】a _e -1【解析】f x恒成立即不等式al nx-x1 .0恒成立，令g x

2、=al nx-x，1，即也寸.s2右i=a上4，所以a，f1-3.只需g x mm-0即可，g 1 =0，g x =a_1=兰2，令g x i0=土兰0=x : a（分析g x的单调性）x xx当a 1时g x在1,e单调递减，则g沧：:g 1 =0（思考：为什么以a=1 作为分界点讨论？因为找到g 1=0，若要不等式成立，那么一定从x =1处起g x要增（不一定在1,e上恒增，但起码存在一小处区间是增的），所以a _1时导致g x在x =1处开始单减，那么一定不符合条件由此请体会零点对参数范围所起的作 用）当a 1时，分 x=a 是否在1,e中讨论（最小值点的选取）若1 : a : e,单调

3、性如表所示X(iQ（恥）+(1 )可以比较g 1, g e 的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦.由于最小值只 会在x =1, x=e 处取得，所以让它们均大于0 即可.(2)由于x=1, x=e 并不在1,e中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件)若a _e，则g x在1,e上单调递增，.g x . g 1=0，符合题意，综上所述：a亠e1.对点增分集训一、选择题g 1 -0g e -0=a _e T，.e1 _a：41.已知函数in (x+1x 兰 0f x =2，lx 3x,x 0若 fx i m 2 x 亠 0 ,则实数 m 的取值范围是( )A.： ； ： -匚 1,

4、1 B.1-2,1 1C.1.0,31D.1.3,：【答案】B【解析】若 f x - mx_ 0 ,即有 f x：mx，分别作出函数 f x 和直线 y =m 2 x 的图 象，由直线与曲线相切于原点时，x23x 2x 3，则 m 2= 3，解得m=1,由直线绕着原点从 x 轴旋转到与曲线相切，满足条件.即有0乞m 2乞3，解得-2乞m乞1故选B.52已知函数 f x = _x?2x2亠 4x，当xI-3,3 时，f X：m2-14m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（）A.-3,11B. 3,11C. 3,11D. 2,7【答案】C【解析】由题意可得：f x=-3x2-4x=- x 2 3x

5、-2 ,据此可知函数 f x 在区间 1-3,3 上的最小值为 3，结合恒成立的条件可得：m2_14m 乞-0 成立，贝 V 实数 m 的范围是()【答案】A【解析】若存在怡可 0,2 1 使得 mf X0.0 成立，则在 怡三0,2 .1 内 f xmin: m 即可,故 f x 在 0,2 上单调递减 f Xmin二 f 2 = de2, . m * -ie2，故选 A55&设函数 f (x )=1 nx +ax，若存在 xo (0,),使 f (xo)A0，贝 a 的取值范围是(【答案】D【解析】f x 的定义域是 0,:当a_0 时，x .0,贝 U f x 在 0, ：上单调

6、递增，且 f1=a_0.故存在 x0可 0 川3：, 使 f X0户 0 ；1 .当a：0时，令 fx 0，解得 0：x：-，令 f x : 0，解得 a单调递增，在-丄，； 上单调递减,V a丿= =SIJ-SIJ-X Xf fA.B.C.-1,:D.f xmafaln -a-10，解得aw丄2X X + +10a 的取值范围是-,=：|.故选 D. e丿9.若对于任意实数x_0，函数 f x 二 exax 恒大于零，则实数 a 的取值范围是(综上,11A. _：:,eB. _：:, _e |C. |e,亠jD. _e,-:【答案】D【解析】.当x_0时，f x 二 ex ax . 0 恒成

7、立，.若x=0, a 为任意实数，f x 二 exax 0 恒成立，若x 0时，f x =exax0恒成立，exexexx ex即当x 0时，a *恒成立，设 g x 二-一，贝 U gx -2xxx当 xw 0,1 时，gx .0 ,则 g x 在 0,1 上单调递增，当 xGl :时，g x：0 ,则 g x 在 1,;上单调递减，当x=1时，g x 取得最大值为-e .则要使 x_0 时，f x=exax0恒成立，a 的取值范围是-e j,故选 D.10.已知函数 f x =a x a x a 3 , g x =22，若对任意 xR，总有 f x：: 0 或 g x：0成立，则实数 a

8、的取值范围是（）A-:,-4B. -4,0C. -4,0D. -4,:【答案】B【解析】由 g x=2x-2：:0，得x 1，故对x _1时，g x：:0 不成立，从而对任意 x _1 , f x : 0 恒成立，因为 a xa x a 3：0 ,对任意 x _1 恒成立,如图所示，则必有a : 0a：1-a _3：，计算得出-4: a：0.12则实数 a 的取值范围为()A. | . ,e IB. ,e【答案】D【解析】不等式UL一丄皂.0,即灯儿ff X20,X2XiX1X2结合X2X0可得 XifXi-X2fX2：0 恒成立，即 X2fX2XifXi恒成立,构造函数 g(x )=xf (

9、x )=eX -ax?，由题意可知函数 g(x )在定义域内单调递增,X故 g x =ex_2ax _0 恒成立，即a恒成立,2x人exeX(x1)令 h x =|- x 0，则h x 旷, 当 0 :x : 1时，h x：0 , h x 单调递减；当x 1时，h x 心 0 , h x单调递增;1/T则 h x 的最小值为 h 1 二旦 =e,据此可得实数 a 的取值范围为一：, .本题选择 D 选2 乂 1 2I2项.12.设函数 f x =ex3x -1-axa，其中a 1，若有且只有一个整数x使得 f x空 0,则 a 的取值范围是()A 2 3BC 乜JD 亠.e，4. _e，4C

10、e，1 J【答案】C11.已知函数x、efxax ,x0,：，当X2.Xi时，不等式一丄空：:：o 恒成立,X2XiC.13【解析】设 g x =ex3x -1 , h x 二 ax-a，则 gx =ex3x+2 ,当. .,2时，g x =：0 , g x 单调递减；当 x 三2, ：时，g x i ,0 , g x 单调递增，I 3 丿 *2( 2、 上当 x时，g x 取得最小值 g! 3 二e3如下图所示.又 g 1 ：;h 1 =2e 0 ,故 g 1. h 1 ;g 0 h 0 二一 1 a：0，故 g 0：h 0 .故当沟=0 时，满足 g 0 在直线 h x =ax-a 的下方

11、.直线 h x = ax -a 恒过定点(1,0 沮斜率为 a ,要使得有且只有一个整数f x0 0,只需 g T Ah -1 二-4e2a 0 , a -,e又a0， fX. 0， fX单调递增；当 xGx,；， gX：0， fX：0， fX单调递减.所以函数只有一个极值点.综上可知，当a：0时 fX有一个极值点；当 0 -a 时 f x 的无极值点；当 a8时, fX的有两个极值点.(2)由(1)可知当 0 辽 a 辽8时 f x 在 0, ：单调递增，而 f 0 =0 ,9则当 xQO,亠j时，f xj0，符合题意；8当 a _1 时，g 0-0,X2应0, fX在 0,；单调递增，而

12、f 0 = 0 ,9则当 x“0, :时，f X 0，符合题意；当a 1时，g0.0,X20，所以函数f X在0,X2单调递减，而f 0i=0,则当0,X2时，fX：0,不符合题意；当a：0时，设 hX= x - InX1 ，当 x 三i0,亠 时 hx= 1 -1 0 ,x+11+xhX在0,；单调递增， 因此当x气0,畑)时h(x)h(0)=0, ln(x+1)Cx ,A于是f x :XaX2-X二ax21 -aX，当X1 -一 时 ax21 -a x：0,a此时 f x：0 ,不符合题意.综上所述，a 的取值范围是0乞a 1.18.设函数 fX=emxX2-mx ,(1)证明：fX在-:

13、：,0单调递减，在0,；单调递增;(2)若对于任意 xi,-1,1 ，都有 f(Xi)_f 宀庐 e_1，求 m 的取值范围.20【答案】(1)见解析；(2)m：= I1,1 .【解析】f xj;=：memx 2x-m，注意到 f 0=0，于是再求导得，x =m2emx2，由于 r x 0,于是 f x 为单调递增函数，-X,0时，fx 0 ,x 0,：时，fx .0,f x在：,0单调递减，在0,；单调递增.(2)若不等式 f (为)f(X2兰 e 1 恒成立，则 f * )一 f(X2 kx金 _1，:f(x在【-1,1】连续，f x在-1,11有最大最小值， f W ) f(X2 L=f (Xmax f(Xmin，由(1)可知f x在-1,0单调递减，在0,1单调