等时圆模型(最新最全)

1、“等时圆”模型的规律及应用一、等时圆模型（如图所示）二、等时圆规律：1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。（如图 a）2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。（如图 b）3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d ）自由落体的时间，即t02d4R2 R（式中 R为圆的半径。）ggg三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为，圆的直径为 d （如右图）。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为 a g sin，位移为 sd sin ，所以运动时间为2s2d sin2dt0g singa即沿各条弦运动具

2、有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。四、应用等时圆模型解典型例题例 1：如图 1，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定【解析】：由“等时圆” 可知，同一时刻这些小物体应在同一 “等时圆” 上，所以 A 正确。例 2：如图 2，在斜坡上有一根旗杆长为 L，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝 AB滑至斜坡底部，又知OB=L。求小环从 A 滑到 B 的时间。【解析】： 可以以 O为圆心，以 L 为半径画一个圆。根据“等时圆”的规律可知，从 A

3、 滑到 B 的时间等于从 A 点沿直径到底端 D 的时间，所以有t ABt AD2d4LLgg2g例 3 ：如图 5所示，在同一竖直线上有 A、B两点，相距为 h ， B点离地高度为 H，现在要在地面上寻找一点 P，使得从 A、 B两点分别向点 P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和 B沿木板下滑到P点的时间相等，求O、 P两点之间的距离OP 。解析 ：由“等时圆”特征可知，当A、 B 处于等时圆周上，且P 点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。如图 6所示，此时等时圆的半径为：RO1PHh2所以OPR2( h )2H ( H h)2例 4：如图 7， AB 是一倾角为的输送带，P

4、处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与 AB输送带间建立一管道（假使光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？解析： 借助“等时圆”，可以过P 点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带AB相切，如图所示， C 为切点， O为圆心。显然，沿着PC弦建立管道，原料从P 处到达 C 点处的时间与沿其他弦到达 “等时圆”的圆周上所用时间相等。因而，要使原料从P 处到达输送带上所用时间最短，需沿着PC建立管道。由几何关系可得：PC与竖直方向间的夹角等于/ 2 。三、“形似质异”问题的区分1、还是如图1 的圆周，如果各条轨道不光滑，它们的摩擦因数均为，小滑环分别从a、 b

5、、 c 处释放（初速为0）到达圆环底部的时间还等不等？解析： bd 的长为2Rcos， bd 面上物体下滑的加速度为a=gcos - gsin ， t bd=4R cosR=2。可见 t 与有关。g cosg singg tan2、如图 9，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、 bO、 cO，其下端都固定于底部圆心 O，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为300、450、 600。若有三个小孩同时从a、 b、 c 处开始下滑（忽略阻力），则（）A、 a 处小孩最先到O点B、b 处小孩最先到O点C、 c 处小孩最先到O点D、a、 c 处小孩同时到O点解析： 三块滑块虽然都从同一

6、圆柱面上下滑，但a、 b、 c 三点不可能在同一竖直圆周上，所以下滑时间不一定相等。设圆柱底面半径为 R，则R= 1 gsin t 2， t 2=4Rcos2g sin 2=300 和 600 时， sin2 的值相等。，当 =450 时， t 最小，当例 3：如图 3，在设计三角形的屋顶时，为了使雨水能尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。试分析和解：在屋顶宽度（ 2L）一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多少？【解析】：L= 1 gsin t 2 ， t 2=4L，当 =450 时， t 最小cos2g sin 2训练1、如图所示 ,oa 、ob、

7、oc 是竖直面内三根固定的光滑细杆,O、 a、b、c、d 位于同一圆周上 ,d 点为圆周的最高点,c 点为最低点 . 每根杆上都套着一个小滑环 ( 图中未画出 ), 三个滑环都从o 点无初速释放 , 用、依次表示滑环到达 a、 b、 c 所用的时间 , 则()A.B.C.D.答案详解 D 解 : 以 O点为最高点 , 取合适的竖直直径oe 作等时圆 , 交 ob 于 b, 如图所示 , 显然 o 到 f 、 b、 g、e 才是等时的 , 比较图示位移,故推得, 选项 ABC错误 ,D 正确 .2、身体素质拓展训练中，人从竖直墙壁的顶点A 沿光滑杆自由下滑倾斜的木板上（人可看做质点），若木板的倾

8、斜角不同，人沿着三条不同路径AB、AC、AD滑到木板上的时间分别为t 1、t 2、t 3，若已知 AB、AC、AD与板的夹角分别为70°、90°和 105°，则（）A. t 1>t 2>t 3B. t 1<t 2<t 3C. t 1=t 2=t 3D. 不能确定 t 1、t 2、 t 3 之间的关系解析：若以 OA为直径画圆，如图，则 AB 交圆周与 E 点， C 点正好在圆周上， D 点在圆周之内， AD的延长线交圆周与 F 点，设 AC与 AO的夹角为，根据牛顿第二定律得人做初速为零的匀加速直线运动的加速度为：a=gcos 由图中的直角

9、三角形可知，人的位移为：S=AOcos则可知人从A 到 C 得时间为：，可知与斜面的倾角无关，即人从A 带你滑到ECF的时间是相等的，则可知人从A 点滑到BCD的时间关系t 1>t 2>t 3，故 A 正确；故选： A3、竖直正方形框内有三条光滑轨道 OB、 OC和 OD，三轨道交于 O点，且与水平方向的夹角分别为 30o 、45o 和 60o 。现将甲、乙、丙三个可视为质点的小球同时从 O点静止释放，分别沿 OB、OC和 OD运动到达斜面底端。则三小球到达斜面底端的先后次序是A.甲、乙、丙B.丙、乙、甲C.甲、丙同时到达，乙后到达D. 不能确定三者到达的顺序4、如图所示 , 地面

10、上有一固定的球面, 球半径为R,球面的斜上方P 处有一质点 (P 与球心 O 在同一竖直平面内 ). 已知 P 到球心 O的距离为 L,P 到地面的垂直距离为 H,现要使此质点从静止开始沿一光滑斜直轨道在最短时间内滑到球面上 , 求所需的最短时间.解 :(1) 求证 : 如图所示小球从竖直平面的半径为R' 的圆的顶点 , 沿光滑轨道运动到任何方向圆外边缘,任取一条轨道PQ,PQ与水平面的夹角为,由三角关系得PQ的长度为 :由牛顿第二定律得, 沿光滑斜面下滑的加速度为:由位移时间公式得, 运动时间 :即运动时间与角度无关, 故对应任何轨道的时间均相同.(2) 作图 : 以 P 为顶点作一半径为