2020届江苏高考数学(文)总复习讲义：随机事件及其概率

1、 必过数材美 1. 事件的相关概念 2. 频数、频率和概率 (1)频数、频率：在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次 试验中事件 A 出现的次数“企为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A) = 为事件 A 出现的频率. 概率：对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率 fn(A) 稳定在某个常数上，把这个常数记作 P(A),称为事件 A 的概率. 3. 概率的几个基本性质 (1) 概率的取值范围： 00,y0,4 + y = 1.则 x + y= (x + y) + y = 5+ 爭+: 5 + 2 =9,当且仅

2、当 x = 2y时等号成立，故 x+ y 的最小值为 9. 答案：9 8. 只袋子中装有 7 个红玻璃球，3 个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次 7 1 只取一个，取得两个红球的概率为 7 7，取得两个绿球的概率为 三，则取得两个同颜色的球 15 15 的概率为 _ ;至少取得一个红球的概率为 _. 解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只 需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为 P=f + 2= . 15 15 15 由于事件 A “至少取得一个红球”与事件 B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取得 1 14 一个红球的概率为 P(

3、A)= 1 P(B)= 1 1 1 = 14. 15 15 b+ c a+ b+ c =0.6 b a+ b+ c =1 0.65= 0.35, (1) 若获奖人数不超过 2 人的概率为 0.56，求 x 的值； (2) 若获奖人数最多 4 人的概率为 0.96，最少 3 人的概率为 0.44，求y y z 的值. 解：记事件在数学竞赛中，有 k 人获奖”为 Ak(k N, kw 5)，则事件 Ak彼此互斥. (1)因为获奖人数不超过 2 人的概率为 0.56, 所以 P(A) + P(Ai) + P(A2) )= 0.1 + 0.16+ x= 0.56, 解得 x = 0.3. (2)由获奖

4、人数最多 4 人的概率为 0.96, 得 P(A5) = 1-0.96 = 0.04,即即 z= 0.04. 由获奖人数最少 3 人的概率为 0.44, 得 P(Aa) + P(A4) )+ P(A5)= 0.44, 即 y+ 0.2+ 0.04 = 0.44, 解得 y= 0.2. 10.如图，A 地到火车站共有两条路径 L1和 L2，现随机抽取 位从 A 地到火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间( (分钟) ) 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 选择 L1的人数 6 12 18 12 12 选择 L2的人数 0 4 16 16 4 (1)试估计 40 分钟

5、内不能赶到火车站的概率； 分别求通过路径 L1和 L2所用时间落在上表中各时间段内的频率； 现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允 许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径. 解：( (1)共调查了 100 人，其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12 + 12+ 16+ 4 = 44(人), 用频率估计概率，可得所求概率为 0.44. 选择 L1的有 60 人，选择 L2的有 40 人，故由调查结果得所求各频率为 所用时间( (分钟) ) 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 L1的频率 0.1 0.2

6、 0.3 0.2 0.2 L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 记事件 A1, A2分别表示甲选择 L1和 L2时，在 40 分钟内赶到火车站; 记事件 B1, B2分别表示乙选择 L1和 L2时，在 50 分钟内赶到火车站. 由(2)知 P(A1)= 0.1 + 0.2+ 0.3= 0.6, P(A2)= 0.1 + 0.4= 0.5, P(A1) P(A2), 故甲应选择 L1； P(B1)= 0.1 + 0.2+ 0.3+ 0.2= 0.8,100 P(B2) )= 0.1 + 0.4+ 0.4= 0.9, P(B2) ) P(Bi),故乙应选择 L2. 三上台阶，自主选做志在

7、冲刺名校 1.抛掷一枚骰子，当它每次落地时，向上一面的点数称为该次抛掷的点数，可随机出 现 1 到 6 点中任一结果，连续抛掷两次，第一次出现点数记为 a,第二次出现点数记为 b, 则直线 ax+ by= 0 与直线 x+ 2y+ 1 = 0 有公共点的概率为 _ . 解析：设直线 ax+ by= 0 与直线 x+ 2y+ 1= 0 有公共点”为事件 A,则A 为它们 无公共点”，因为直线 x+ 2y+ 1 = 0 的斜率 k =- 所以 a =1所以 a = 1, b= 2 或 a= 2, 2 b 2 3 1 1 11 b= 4 或 a= 3, b= 6,所以 P( A )=五=，所以 P(

8、A)= 1-=五 2. 若随机事件 A, B 互斥，A, B 发生的概率均不等于 0，且分别为 P(A)= 2 a, P(B) =3a 4,则实数 a 的取值范围为 _ . 解析：因为随机事件 A, B 互斥，A, B 发生的概率均不等于 0,且分别为 P(A) = 2 a, P(B) = 3a 4, 0v PA v 1, 所以 0v P B v 1, P A + P B w 1, 0 v 2 av 1, 4 3 即 0v 3a 4v 1, 解得 aw3. 2a 2w 1. 答案：3 2 3. (2018 梁丰中学测试) )已知 f(x)= x2+ 2x, x 2,1，给出事件 A: f(x)a. (1) 当 A 为必然事件时，求 a 的取值范围； (2) 当 A 为不可能事件时，求 a 的取值范围. 解：因为 f(x)= x2+ 2x = (x+ 1)2 1, x 2,1, 所以 f(X) )min= 1,此时 x= 1. 又 f( 2) = 0 v f(1)= 3,所以 f(x)max= 3. 所以 f(x) 1,3 (1)当 A 为必然事件时，即 f(x) a 恒成立， 故有 a W f(x)min= 1 , 答案: 11 12 即 a 的取值范围是( (一8, 1. 当 A