线性代数试题及答案3

1、线性代数习题和答案第一部分选择题(共 28 分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式 a11a12=m， a13a11=n，则行列式a11a12a13等于（ D）a 21a22a23a 21a21a 22a23A. m+nB. - (m+n)C. n- mD. m - n100，则 A- 1 等于（2.设矩阵 A=020B）00310010010031002131A. 00 B010CD00220 1 03100100100001233123.设矩阵 A =10

2、1， A* 是 A 的伴随矩阵，则A *中位于（ 1，2）的元素是（B ）214A. 6B. 6C. 2D. 24.设 A 是方阵，如有矩阵关系式AB=AC ，则必有（D ）A.A=0 B.B C时A=0C. A0时 B=CD. |A| 0 时 B=C5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（C）A. 1B. 2C. 3D. 4D ）6.设两个向量组 1， 2， ， s和 1， 2， ， s 均线性相关，则（A. 有不全为 0 的数 1， 2， ， s 使 1 1+ 2 2+ +s s=0 和 1 1+ 2 2+ s s=0B. 有不全为 0 的数 1， 2，

3、 ， s 使 1（ 1+ 1） + 2（ 2+ 2） + +s（ s+ s）=0C. 有不全为 0 的数 1， 2， ， s 使 1（ 1- 1）+ 2（ 2- 2） + + s（ s- s）=0D. 有不全为 0 的数 1， 2 ， ， s 和不全为 0 的数 1， 2， ， s 使 1 1+ 2 2+ + s s=0 和 1 1+ 2 2+ + s s=07.设矩阵 A 的秩为 r，则 A 中（C ）A. 所有 r-1 阶子式都不为 0B. 所有 r- 1 阶子式全为 0C. 至少有一个 r 阶子式不等于 0D. 所有 r 阶子式都不为 08.设 Ax=b 是一非齐次线性方程组， 1， 2

4、 是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（A ）12 是 Ax=0 的一个解B. 1 11 2 是 Ax=b 的一个解A. +22C. 1- 2 是 Ax=0 的一个解D.2 1- 2 是 Ax=b 的一个解9.设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（A）A. 秩 (A)<n B. 秩(A)=n - 1C.A=0D. 方程组 Ax=0 只有零解10.设 A 是一个 n(3) 阶方阵，下列陈述中正确的是（B ）A. 如存在数 和向量 使 A = ，则 是 A 的属于特征值 的特征向量B. 如存在数 和非零向量 ，使 ( E-A) =0，则 是 A 的特征值C. A 的 2 个不同的特征值可以有

5、同一个特征向量D. 如 1， 2， 3 是 A 的 3 个互不相同的特征值， 1， 2， 3 依次是 A 的属于 1， 2，3 的特征向量，则 1， 2， 3 有可能线性相关111.设 0 是矩阵 A 的特征方程的3 重根， A 的属于 0 的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（A）A. k 3B. k<3C. k=3D. k>312.设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（B ）A.| A|2 必为 1B.|A |必为 1C.A- 1=A TD. A 的行（列）向量组是正交单位向量组13.设 A 是实对称矩阵， C 是实可逆矩阵， B=C TAC .则（D ）A.A与 B相似B

6、. A与 B不等价C. A 与 B 有相同的特征值D.A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（C）233100111B.423D. 120A.42C. 036351020第二部分非选择题（共72 分）二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。11115. 3566.9253616.设 A=111123337.11， B=124.则 A+2 B=371117. 设 A =(aij)3 ×3 ， |A|=2 ， Aij表 示 |A | 中 元 素 aij的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3） ,

7、 则(a11A 21+a12A 22+a13A23)2+(a21A 21+a22A22+a23A 23)2 +(a31A 21+a32A 22+a33A 23)2=4.18.设向量（ 2， -3， 5）与向量（ -4， 6， a）线性相关，则a=-10.19.设 A 是 3× 4 矩阵，其秩为3，若 1， 2 为非齐次线性方程组Ax=b 的 2 个不同的解，则它的通解为 1+c( 2- 1)（或 2+c( 2- 1)），c 为任意常数20.设 A 是 m× n 矩阵， A 的秩为 r(<n) ，则齐次线性方程组Ax=0 的一个基础解系中含有解的个数为n-1.21.设向

8、量 、 的长度依次为2 和 3，则向量 + 与 - 的内积（ + ， - ）=-5 .22.设 3 阶矩阵 A 的行列式 |A |=8，已知 A 有 2 个特征值 - 1 和 4，则另一特征值为-2 .0106223.设矩阵 A =133，已知 =1 是它的一个特征向量，则所对应的特征值为1 .2108224.设实二次型 f(x 1 ,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为 3，则其规范形为z12z22z32z 42.三、计算题（本大题共7 小题，每小题6 分，共 42 分）120231.求（ 1）AB T；（2） |4A |.25.设 A=340 ，B=121240311226.试计

9、算行列式5134.2011153342327.设矩阵 A =110 ，求矩阵 B 使其满足矩阵方程 AB =A+2B.1232213028.给定向量组 1=1， 2=3 ， 3=0， 4=1.02243419试判断 4 是否为 1， 2， 3 的线性组合；若是，则求出组合系数。121022426629.设矩阵 A=102.2333334求：（1）秩（ A ）；（2） A 的列向量组的一个最大线性无关组。0228.求正交矩阵 T 和对角矩阵 D，使 T - 130.设矩阵 A= 234 的全部特征值为 1，1 和 -AT=D.24331.试用配方法化下列二次型为标准形f(x 1,x2,x3)=

10、x122x 223x 324x 1x 24 x 1x 3 4x 2x 3 ，并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共2 小题，每小题5 分，共 10 分）32.设方阵 A 满足 A 3=0，试证明 E- A 可逆，且（ E- A） - 1=E+A +A2.Ax=0 的一个基础解系 .33.设 0 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解， 1， 2是其导出组试证明（ 1） 1= 0 + 1， 2= 0+ 2 均是 Ax=b 的解；（ 2） 0， 1， 2 线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共14 小题，每小题2 分，共 28 分）1.D 2.B 3.B 4.D5.C 6.D7.C 8

11、.A 9.A 10.B11.A12.B13.D14.C二、填空题（本大题共10 空，每空2 分，共20 分）15. 616.33717. 418. 1019. 1+c( 2- 1)（或 2+c( 2- 1)）， c 为任意常数13720. n- r21. 522. 223. 124.z12z22z 32z 42三、计算题（本大题共7 小题，每小题6 分，共42 分）25.解（ 1）ABT =120228634034=1810.121103103120（ 2） |4A |=43402.所以 |4A|=64·（ - 2） =- 128|A |=64|A |，而 |A|=121311251

12、11511511513411131226.解=1111=6261040.20110010030550555515335530027.解AB =A +2B 即（ A- 2E ） B=A，而32231431（A- 2E）- 1= 110153 .121164143423386所以 B=( A- 2E)- 1A= 153110= 296 .1641232129213005321035103528.解一130113010112011202240112008800113419013112001414000010020101, 所以 4=2 1+ 2+ 3，组合系数为（2，1，1）.001100002x1

13、x 23x 30解二考虑 4=x1 1+x2 2+x 3 3，即x1 3x 212x 22x 343x 14 x 2x 39.方程组有唯一解（2， 1， 1）T ，组合系数为（2， 1，1） .29.解对矩阵 A 施行初等行变换121021210212102A000620328303283=B.0328200062000310963200021700000（1）秩（ B） =3，所以秩（ A ） =秩（ B） =3.（2）由于 A 与 B 的列向量组有相同的线性关系，而B 是阶梯形， B 的第 1、2、4 列是B 的列向量组的一个最大线性无关组，故A 的第 1、 2、 4 列是 A 的列向量组

14、的一个最大线性无关组。（ A 的第 1、2、 5 列或 1、 3、 4 列，或 1、3、 5 列也是）30.解A 的属于特征值 =1 的 2 个线性无关的特征向量为 1=（2， - 1， 0） T， 2=（2， 0， 1） T.25 / 525/ 151经正交标准化， 得 15 / 5， 245/ 15. =-8 的一个特征向量为 3=2 ，=05 / 321 / 32 5/5 2 15/15 1/3经单位化得 3= 2/ 3. 所求正交矩阵为T =5 / 54 5/152/3 .2 / 305 / 32 / 31002 5/5 2 15/15 1/3对角矩阵 D= 010. （也可取 T=0

15、5 / 32/3 .）0085 / 54 5/152 / 3431.解f(x 1， x2， x3)=（ x1+2x 2- 2x3）222-2x2 +4x 2x3- 7x3=（ x1+2x2- 2x3） 2-2（ x2-x3 ）2- 5x32.y1 x12x 22x 3x1 y12y 2120设 y 2x 2x3 ， 即 x 2y 2 y 3，因其系数矩阵 C = 011可逆，y 3x3x 3y 3001故此线性变换满秩。经此变换即得f(x 1，x2 ，x3 )的标准形 y12- 2y22 - 5y32 .四、证明题（本大题共2 小题，每小题5 分，共 10 分）32.证由于（ E - A）（ E+A +A2） =E - A3=E ，所以 E- A 可逆，且（E- A）- 1= E+A+A2 .33.证由假设 A 0=