(浙江专版)高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数学案新人教A版必修1

1、12.2对数函数2.2.1对数与对数运算新知初探1. 对数的概念如果ax=N(a0,且 1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x= logaN,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.点睛logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写.2. 常用对数与自然对数通常将以 10 为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数称为自然对数，log10N可简记为 lgN,logeN简记为 InN3. 对数与指数的关系若a0，且a 1，贝Uax=N? logaN=x.对数恒等式：alogaN=N；logaax=x(a 0，且a工 1).4. 对数的性质(1) 1 的对数为零；(2) 底的对数

2、为 1;(3) 零和负数没有对数.小试身手1判断(正确的打“V”，错误的打“x”)(1) logaN是 loga与N的乘积.()(2) ( 2) =- 8 可化为 log(-2)( 8) = 3.()2答案：C2x 14 已知 log _-= 0，贝 Ux=5例 1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式:-21 12(1)3= 9；(2) 4= 16；(3)log 027=- 3;(4)log 小 64 6.3”-21 1解 3 = 9，- log39 =-2.(1) 将指数式化为对数式，只需要将幕作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；(2) 将对数式化为指数式， 只需将真数作为幕

3、， 对数作为指数，底数不变，写出指数式.活学活用1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(3)对数运算的实质是求幕指数.(答案：(1)X(2)XD. .0=27./ log 严一 3,log-(,x)-6= 64.指数式与对数式的互化指数式与对数式的互化2= 16,- log2.-33(1)27= ；(2)3a= 27;(1) 设出所求对数值；(2) 把对数式转化为指数式;(3) 解有关方程，求得结果.活学活用2.求下列各式中的x值：32(1)logx27= 2；(2)log2x=-3 ；1nx = log279；x= log 6.-1(3)10= 0.1; (4)log132=-5；2(

4、5)lg 0.001=- 3.解:(1)ioglog327= a.(3)lg 0.1=- 1.1- 52= 32.一 3(5)10= 0.001.对数的计算例 2 求下列各式中的x的值:(1)log64x=- 2； (2)logx8= 6;(3)lg 100=x;(4) ln e2=x.(1)x= (64)x2_(3)10 = 100 = 10 ,于是x= 2.由一 ln e2=x，得一x= ln e2,即卩 e-x= e2.所以x=- 2.求对数值的 3 个步骤Il = (43)= 4-21(2)x6= 8,所以4解: (1)由 logx27 =3，可得3x2=5 x= 27 丄=(33)丄

5、=32= 9.(1) log2(log5x) = 0;(2) log3(lgx) = 1;(3) log3(log4(log5X) = 0.解(1) Iog2(log5x) = 0,- log5X= 2 = 1, x= 51= 5./ log3(lgx) = 1 , lgx= 31= 3,3x= 10 = 1 000.(3)由 log3(log4(log5X) = 0 可得 log4(log5X)= 1，故 log5X= 4，所以x= 54= 625.一题多变1. 变条件本例中若将log3(log4(log5X) = 0” 改为log3(log4(log5X) = 1”， 又如何求解x呢？解：

6、由 log3(log4(log5x) = 1 可得，log4(log5x) = 3,则 log5X= 43= 64,所以x=564.2. 变设问在本例条件下，计算 625|logx3的值.解：因为x= 625，则 625|叽3= 3.3. 变条件本例中若将“log3(log4(log5x) = 0”改为丫 巴二二| = 1”，又如 何求解x呢？解：由 3 3碗 =1 可得 log4(log5x) = 1，故 log5X= 4,所以x= 5 = 625.3x-2 3 = 3 ,(4)由x= log16,可得1x= 16.2 -由 log2x=- 3,可得x=22.1 1(3)由x= log279

7、，可得 27 = 9,2x 4, - 2 = 2 , x= 4.6CEO1 利用对数性质求解的 2 类问题的解法求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbe)的值，先求 logbe的值,再求 loga(logbe)的值.(2)已知多重对数式的值， 求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解.2.性质alogaN=N与 logaab=b的作用(1)alogaN=N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式.(2) logaab=b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数.层级一学业水平达标解析：选 B 根据对数的定义，得 log19= 2,故选 B.x =

8、:32解析：选 A /2log3X= 2 ,.log3X= 2,o21-x=3=9.3.使对数 loga( 2a+ 1)有意义的a的取值范围为()1B. 0vav2课厉1.将 32= 9 写成对数式，正确的是()A.1log93 =2B. log9= 2C. log(2) = 91D. log9( 2) = 32.方程 2log3x= 4 的解是()A.1x= 9B.3x=TD.C.7C.a0 且1解析：选 B 由对数的概念可知使对数 loga( 2a+ 1)有意义的a需满足4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是(A. e= 1 与 In 1 = 01C. log39= 2 与 9 冋=3D

9、. .log77= 1 与 7 = 7解析：选 C 由指对互化的关系：a=N?x= logaN可知 A、B、D 都正确；C 中 log39= 2? 9 = 3.5.已知x2+y2 4x 2y+5= 0，贝 U logx(yx)的值是()A. 1B. 0C .x解析：选 B 由x2+y2 4x 2y+ 5=0,得(x 2)2+ (y 1)2= 0, /x= 2,y= 1,/logx(yx)2=log2(1 ) = 0.6.lg 10 000=_; lg 0.001=_.解析：由 104= 10 000 知 lg 10 000 = 4,103= 0.001 得 lg 0.001= 3.答案：4 3

10、7.方程 log2(1 2x) = 1 的解x=_.解析:Vlog2(1 2x) = 1 = log22,经检验满足 1 2x0.答案：D. av1a 0,a 1,2a+ 1 0,解得 0vav2D.y x=12.B.1 1 一 13=2 与l0g82=8解析：由题意得：log3(log2x) = 1,即卩 log2x= 3,1转化为指数式则有x= 23= 8,82&已知 log7(log3(log2X)=0,那么x91 11 X 2 =8-2=-r82答案：-449 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.3(1)5 = 125;(3)log18=3;21log327= 3.解：(

11、1) 53= 125,Alog5125= 3.-21. 14= 16，log416=2.12m212m- (2 m+4)1= 22n+42logab=c,则下列关系式中正确的是()(2)42=116；log=3,. 23= 8.1/ log327 = 3, 33=丄2710 .若 loglog Ly = m+ 2,2x求一的值.y解:Tlog2mlog1m+ 24y,2m+ 41.A.5cb=a5 cB.b=aC.b= 5acD.b=c5a10层级二应试能力达标解析：选 A 由 logab=c,得ac=导b,：b= (ac)5= a：22.方程 lg(x 1) = lg(2x+ 2)的根为()

12、11D. .1 或一 32 2 2解析：选 B 由 lg(x 1) = lg(2x+ 2)，得x 1 = 2x+ 2，即x 2x 3= 0,解得x=x= 3.5.使方程(lgx)2 lgx= 0 的x的值为解析：由 lgx(lgx 1) = 0 得 lgx= 0 或 lgx= 1,即x= 1 或x= 10.答案：1 或 106.计算 23+ log23+ 32 logs9 =329解析：23+ log23 + 32 logs9 =23X2log23+= 8X3+ = 25.3log399答案：2537.已知 log2(log3(log4X) = 0,且 log4(log2y) = 1.求&am

13、p; 卩的值.解:vlog2(log3(log4X) = 0,-log3(log4x) = 1,3-log4X= 3，-x= 4 = 64.由 log4(log2y) = 1，知 log2= 4,A. 3B. 3C. 1 或 31 或x= 3.经检验x= 1 是增根,所以原方程的根为x= 3.3.1+log0.54的值为（A.7B.2C.3D.7解析:1+log0.54log14=2X4=8.4.a0,A.B. 3C.D. 5解析:2/ a349，a0,a=91I3,设 loga=x,-2x3=a.124 y= 2 = 16.&已知 log189 =a, log1854=b,求 182

14、ab的值;已知 logx27= 31+ log32,求 x 的值.解：(1)Vlog189 =a, log1854=b,. 18a= 9,18b= 54,“2a-b1823923-18=蒔=54 = 2.logx27=31+log32=33log32=3X2=6. -X= 27,.X= 3，又x 0, x= 3.新知初探1对数的运算性质若a0,且 1, M0, N0,那么：(1) loga( M-N) = logaM+ logaN,M(2) logaR= logaM logaN,(3) logaM=nlogaMn R).点睛对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才

15、成立.例如，log2( 3) ( - 5) = log2( 3) + log2( 5)是错误的.2.换底公式logcb若c0 且c丰1,则 logab=(a0,且a* 1,b0).logca因此:x=8X8=64.13小试身手142 .计算 log84 + log82 等于(A. log86答案：D3 .计算 log510 log52 等于(答案：C4.log48=75(1)log2(4x2)；(3)lg 14 2 lg7+ lg 7 lg 18 ;2+1 lg 8 + lg 5 lg 20 + (lg 2)27575(1)log2(4x2)=log24+log22=7log24+5log22

16、=7x2+5x1=19.100=lg 100 E=lg 100=x2=2555(3)lg 142lg|+lg 7lg 18=lg(2x7)2(lg 7lg 3)+lg 7lg(32x2)=lg25) 1 判断（正确的打“V”，错误的打积、商的对数可以化为对数的和、log(3)log答案:a(xy2(1)V(2)x(3)x“x”差.5)2logab2log2(logax logay.log2blog-2aD. .1A. log58B.lg 5D. .2(4)lg 5(2)lg答案：I15+ lg 7 2lg 7 + 2lg 3 + lg 7 2lg 3 lg 2 = 0.162 2(4)原式=2

17、lg 5 + 2lg 2 + lg 5(2lg 2+ Ig5) + (Ig 2)= 2lg 10 + (Ig 5 + Ig 2)= 22+ (lg 10)= 2+ 1 = 3.对数式化简与求值的基本原则和方法（1）基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.（2）两种常用的方法：1“收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数；2“拆”，将积（商）的对数拆成同底的两对数的和（差）活学活用1.求下列各式的值：(1)lg 0.000 01In.：e .171.(3)2logs2 log323 _9卜 log

18、38 5log53lg 3 + 59 9 + lg 27 lg .3lg 81 lg 275解：(1)lg 0.000 01= lg 10= 5lg 10 = 5.厂 11ln,e=尹 e =原式=2log32 (log332 log39) + 3log32 3 = 2log32 5log32+ 2 + 3log32 3 =原式=491lg 3 + glg 3 + 祁 g 3 为 34lg 3 3lg 341+尹后2lg 311911021log53Xlog718解（1）由换底公式可得,（1）换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算

19、要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.（2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式.活学活用、“lg 22 计算(log43+ log83)Xlg 3M单位：kg），火箭（除燃料外）的质量m单位：kg）满足 ev= 1 +黑2 000（e 为自然对数的底）.（In3 1.099）当燃料质量M为火箭（除燃料外）质量m的两倍时，求火箭的最大速度（单位：m.（2）已知 log189=a,18b= 5,求 log3645.（用a, b表示）lg 3=2lg 2lg 2-X lg 3?g3X23lg 2 lg 31 15=+ =2+3=6.a对数的综合应用解：原式=例

20、3 （1）在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度log29 log34 =lg 9ig2lg 4_ 2lg 3igT = lg 22lg 2lg3lg9-lg 22 匕=-lg 3lg432lg 32_却232.lg 3 lg 3lg 2lg 4+lgv（单位：m/s）和燃料的质量原式=log3 ,2Xlog=Xlg31换底公式的应用技巧19解(1)因为v= ln 1 +M2 000mM=2 000 ln 1 +m所以v= 2 000 ln 32 000X1.099 = 2 198(m/s)20故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.(2)因为 18b= 5,

21、所以b= log185.log1845log185X9所以 log3645.log1836 log182X18log185+ log 9a+blog182 + log18181 + log182a+ba+b182 log1891 + log 偲百a+b2a.一题多变1.变设问若本例条件不变，如何求 log 代 45(用a,b表示)?解：因为 18b 5，所以 log185b,所以 log1845 log189+ log185a+B.2.变条件若将本例条件“log189a,18b 5”改为“ log94 a,9b 5”，则又如何 求解呢？解：因为 9b 5,所以 log95B.log945 lo

22、g95X9所以log3645莎 36log94X9log95+ log99b+ 1log94 + log99a+ 1解对数综合应用问题的3 种方法(1)统一化：所求为对数式，条件转为对数式.选底数：针对具体问题，选择恰当的底数.(3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用.课姑层理训纳;步册棍21层级一log29.log231A 2B. 22log29 log23解析：选 B 原式臥 3商2.D.22. 2log510 + log50.25 ()A. 0B. 1C. 2D. .4222 2解析：选 C 原式=log510 + log50.25 = log5(10 x0.25) = log5

23、25= 2.3.若a0，且 1,则下列说法正确的是()A. 若M= N,则 logaM= logaNB. 若 logaM= logaN,则M= NC. 若 logaM= logaN 则M= ND.若 M= N,则 logaM= logaN2 3解析：选 B 在 A 中，当M=N0时，logaM与 logaN均无意义，因此 logaM=logaN不成立，故 A 错误；在 B 中，当 logaM=logaN时，必有M 0,N0,且M= N,因此M= N成立， 故 B正确；在 C 中，当 logaM= logaNf时，有M0,NM0,且M=Nf，即|M= IN，但未必 有 M=N,例如M=2,N=-

24、 2 时，也有 logaM= log aM,但MN,故 C 错误；在 D 中，若M=N= 0，则 logaM与 logaN均无意义，因此 logaM= logaN2不成立，故 D 错误.4.设a= log32，贝Ulog38- 2log36 用a表示的形式是（）B. 3a- (1 +a)2D. a+ 3a 1解析：选 A /a= log32,log38 2log36 = 3log32 2(log32 + 1) = 3a- 2(a+1) =a- 2.5.计算 log225 log32 2 log59 的结果为(A. 3答案:J5 + lg 伍的值是_ .A.a-2C. 5a- 2C.D.6解析：

25、选 D2lg 5lg 5 lg 2lg 93-lg 22lg3警=6.lg 56.已知a2=11(a0)，则 log81a=解析：由a2= 16(a 0)得a= 4,所以 logn4 *29=log223 =2.23lgblogab log3a=-y ylg a7. lg解析:&若logab log3a= 4，则b的值为lgalgb=4lg 3 lg 3解析:12444所以 lgb= 4lg 3 = Ig 3 ，所以b= 3 = 81.答案:819用lgx，lgy，lgz表示卜列各式：(1)lg(xyz)；(2)lg2xyz；ig3xy_z；(4)lgJy z解：(1)lg (xyz)

26、 = lgx+ lgy+ lgz.2xy2lg = lg(xy) lgz= lgx+ 2lgy- lg 乙3xy3厂lg左=lg(xy) lg vz1=lgx+ 3lgy 2lgz.1=2lgx 2lgy lgz.10.求下列各式的值:(1)2log525+ 3log264；lg(, 3 + ., 5+3 .、5);2 2(3)(lg 5)+ 2lg 2 (lg 2).2解：(1)T2log525= 2log55 = 4log55= 4,3log264 = 3log226= 18log22= 18, 2log525+ 3log264= 4+ 18= 22.原式=|lg( 3 + .、5+3 ,

27、5)21=2(3 + ,5+ 3 5 + 2 9 5)=2lg 10 = 2.(3)(lg 5)2+ 2lg 2 (lg 2)(4)lg,x lg (y2z)251log53 log36 log6X= 2,则x等于(lg(ab) = lga+ lgb；lg( ab)= logab10-其中一定成立的等式的序号是(b 0 或av0,bv0,.中的等式不一定成立；12.5x= 1 000,0.25y= 1 000 ,则一x1A3D.解析：选 ATX= log2.51 000 ,y= log0.251 000 ,1=log1 0002.5 ,xlog2.51 000A.B. A. 9B.C. 251

28、D.25解析:lg 3选 D 由换底公式，得9lg 6lg 5lg 3lgx= 2, lgx= 2lg 5 ,x= 52=丄 lg6252.若ab 0，给出下列四个等式: a lgb= lga lgb；1an 2 b2lgb解析：选 Daab b0，1a21a一2lgb= 2X2lgb=lgb,a中等式成立；当ab= 1 时，lg(ab) = 0,但lOgab10 无意义， .中等式不成立. 故选 D.3.lgXlgy=t，则 lg-lgyA. 3tB.|tC.D.2解析:A lgx :3lg2 3lg；x3lg-=3(lgxlgy) =3t.D.4.右B.1261同理一 =iog1 0000

29、.25 ,y11ig 10 x-厂iog1 0002.5iog1 0000.25=iog1 0001 0=i-gi500答案:xigx+ igy= 2lg(x 2y)，则y=因为 igx+ igy= 2lg(x 2y),x 0,y 0,所以x 2y 0,xy=x 2y222由xy= (x 2y)，知x 5xy+ 4y= 0,所以x=y或x= 4y.又x 0,y0 且x 2y 0,x所以舍去x=y,故x= 4y,贝 yy= 4.答案：47 计算下列各式的值:2(2)(1 log63) + log62 log618十 log64.解：(1)原式=log535 + log550 log514+ 2i

30、og1235X5013=log54+log 22=iog551=2.22(2)原式=(log66 iog63) + iog62 iog6(2X3)十 iog646222=iog63 + log62 iog62 + iog63十 iog622 2u ig 3 + 2ig 2 1 5.-Ig 1.2解析:2ig 3 + 2ig 2 1 ig 3 + ig 2 1 ig 12 112ig帀 ig 1.2ig 1.2ig 1.2ig 1.2 ig 1.2 ig 1.2=1.2 log550 log514;(1)iog535+ 2iog13.6若解析:27=(log62) + (iog62) + 2io

31、g62 iog63十 2iog62=iog62+iog63=iog6(2X3)=1.282x) 4lgx+ 1 = 0.22t 4t+ 1 = 0,又a，b是方程 2(lgx)2 lgx4+ 1 = 0 的两个实根, 11= lga,12= lgb,2122X -2=2X一 1 一=12,2即 lg(ab) (logab+ logba) = 12.(1)对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点?(2)对数函数的图象是什么，通过图象可观察到对数函数具有哪些性质?(3)反函数的概念是什么?2. 2.2对数函数及其性质值.&若a,b是方程 2(lgx)2 lgx4+ 1 = 0 的两个实

32、根，求 lg(ab) (logab+ logba)的解：原方程可化为 2(lg设t= lgx，则方程化为即 lga+ lgb= 2, lga lg1b= 2.=(lg=(lg=(lgab) (logab+ logba)a+ lga+ lga+ lgb)b)b)lgalgb22+ lgalgblga lgb2lga+ lgb 2lga lgblga lgb29新知初探1 对数函数的概念函数y= logax(a0,且a* 1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,+ ) x点睛形如y= 2log氷,y= log23 都不是对数函数，可称其为对数型函数.2 对数函数的图象及性质 La数的

33、图象“上升”；当 0vav1 时，对数函数的图象“下降”.3.反函数指数函数y=ax和对数函数y= logax(a0 且a* 1)互为反函数.小试身手，错误的打“x”)1.判断(正确的打“V”(1)对数函数的疋义域为R.()y=log2x2与logx3都不是对数函数.()(3)对数函数的图象一疋在y轴右侧.()(4)函数y=log2x与y2=x互为反函数.()a的范围0vav1a1性质定义域(0,+s)值域R定点(1,0)，即x= 1 时，y= 0单调性在(0,+)上是减函数在(0,+)上是增函数点睛底数a与 1 的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当时，对数函a 1a的范围0vav1a

34、1prA.y= InxB.y= ln(x+ 1)30答案： (1)xVVx2.下列函数是对数函数的是()31C.y= logxeD.y= logxx答案：A3. 函数f(x) = log2(x 1)的定义域是()A. 1,)B. (1,+s)C. ( g, 1)D. ( g, 1答案：B4. 已知y=ax在 R 上是增函数，则y= logax在(0 ,+g)上是_ 函数.(填增”或“减”)答案：增(1)y= 3log2X；(2)y= log6X；y= logx5;(4)log2X+ 1.解(1)log2x的系数是 3，不是 1,不是对数函数.(2) 符合对数函数的结构形式，是对数函数.(3)

35、自变量在底数位置上，不是对数函数.(4) 对数式 log2x后又加上 1,不是对数函数.判断一个函数是对数函数的方法对救箱号前面的秉鞍沖1n对數厂諡A对救时嵐數是年等于L即正的會裁L同时itXft对歎的真裁仅宥自曼母圧J活学活用1._ 函数f(x) = (a2a+1)log(a+nx 是对数函数，则实数a=_解析：a2a+ 1 = 1，解得a= 0 或 1.又a+1 0，且a+ 1 工 1,.a= 1.答案：1題型二例 1指出下列函数哪些是对数函数?32求对数型函数的定义域例 2求下列函数的定义域:33的定义域是x|x0,3解得匚vx0,43,log0.54x 3 的定义域是x4vx 0,解：

36、(1)要使函数式有意义，需1 xx1,xv1, 1v xv1. 该函数的定义域为(一 1,1).(2)要使函数式有意义，需5 x0,x 2 0,x2M1,xv5,x2,xM3,. 2vxv5,且xM3.y=log5(1-x)；(2)y=log(1-x)5；In 4xi-y=x；(4)y=.log0.54X3解(1)要使函数式有意义，需 1 x0,解得xl,所以函数y= log5(1 x)的定义域是x|x0,(2) 要使函数式有意义，需1 XM1,义域是x|x0,(3) 要使函数式有意义，需解得x1,且XM0,所以函数y= log1x5 的定4 xx 3解得x 1 时，在同一坐标系中，函数y=a

37、_x与y= logax的图象为()解析：选 Cy=a=,：a1, Ov-v1，则y=a在（, +m）上是减函数,aa过定点(0,1);对数函数y= logax在(0,+s)上是增函数，过定点(1,0).故选 C.题点二：作对数型函数的图象2.已知f(x) = loga|x|，满足f( 5) = 1，试画出函数f(x)的图象.解：因为f( 一 5) = 1 ,所以 loga5 = 1 ,即a= 5 ,故f(x) = log5|x| =log5X x0,log5xxv0所以函数y= log5|x|的图象如图所示.71-5T小5题点三：对数型函数图象的数据分析3.如图，若G,G分别为函数y= log

38、ax和y= logbx的图象，则(A. 0vavbv1B. 0vbvav1C. ab 1D. ba 1解析：选 B 作直线y= 1,则直线与C,C2的交点的横坐标分别为v1.(1) 求函数y=logaf(x)(a 0，且a* 1)的图象过定点时，只需令f(x) = 1 求出x,即得定点为(x,m).(2) 给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法.a,b,易知 0vbvaCDO有关对数型函数图象问题的应用技巧1i_ xI X| x.

39、._）36(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y= 1 与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小.解析：选 C 由题意知对数函数的图象过点M16,4)，则此对数函数的解析式为()数的解析式为y= log2X，故选 D.3.函数f(x) = log2(3x+ 1)的值域为(解析：选 C 由底数大于 1 可排除 A、B,y= lg(x+ 1)可看作是y= Igx的图象向左平移 1 个单位.(或令x= 0 得y= 0，而且函数为增函数)5.若C. (1,1)U(1,+s)D. (s,+s)1+x0,1XM0,

40、解得x 1 且XM1.2.A.C.y= log4Xy= log _LxB.y= log fx解析：选 D 由于对数函数的图象过点D. .y= log2XM(16,4)，所以 4= loga16，得a= 2.所以对数函A. (0,+s)B. 0,+s)C. (1,+s)解析：选 A / 3X0 , 3X+ 1 1. / log2(3 函数f(X)的值域为(0,+s).4.函数y= lg(x+ 1)的图象大致是()D.1,+s)+ 1) 0.A. (s, 1)B.(1,+s)37函数y=f(x)是函数y=ax(a 0，且a* 1)的反函数且f(2) = 1,则f(x)=()1A. log2XB.C

41、. log OxD. 2X2解析：选 A 函数y=ax(a 0,且az1)的反函数是f(x) = logax,又f(2) = 1，即 loga2= 1，所以a= 2.故f(x) = log2x.6._若f(x) = logax+ (a- 4a5)是对数函数，则a=_.解析：由对数函数的定义可知，a2 4a 5= 0,a0,解得a= 5.az1,答案：57.已知函数y= loga(x 3) 1 的图象恒过定点P,则点P的坐标是_.解析：y= logax的图象恒过点(1,0)，令x 3= 1，得x= 4，则y= 1.答案：(4 , 1)&若f(x)是对数函数且f(9) = 2,当x 1,3

42、时，f(x)的值域是 _.解析：设f(x) = logax，因为 loga9 = 2,所以a= 3，即f(x) = log3X.又因为x 1,3, 所以 0wf(x)w1.答案：0,19.若函数y= loga(x+a)(a 0 且az1)的图象过点(一 1,0).(1) 求a的值；(2) 求函数的定义域.解：(1)将(1,0)代入y= loga(x+a)(a 0,az1)中，有 0 = loga( 1 +a)，则1+a= 1，所以a= 2.(2)由(1)知y= log2(x+ 2)，由x+ 20,解得x 2,所以函数的定义域为x|x 2.10. 求下列函数的定义域与值域：2(1)y= log2

43、(x 2); (2)y= log4(x+ 8).解：(1)由x 2 0，得x 2,所以函数y= log2(x 2)的定义域是(2 , +)，值域是 R.(2) 因为对任意实数x, log4(x2+ 8)都有意义，所以函数y= log4(x2+ 8)的定义域是 R.又因为x2+ 88,382323所以 log4(x+ 8) log48 = ?,即函数y= log4(x+ 8)的值域是 ,+m.层级二应试能力达标1.函数y= 2+ log2x(x 1)的值域为()A. (2,+s)B. (s,2)C. 2,+s)D. 3,+s)39解析：选 C 当x1 时，log2X0,所以y= 2+ log2X

44、2.函数f(x) =x-：的定义域是()v 7lg x 1解析：选 C 函数f(x) = loga|x| + 1(a 1)是偶函数，- f(x)的图象关于y轴对称，当x0 时，f(x) = logax+ 1 是增函数；当xv0 时，f(x)=loga( x) +1 是减函数，又图象过(1,1) , ( 1,1)两点，结合选项可知，选 C.5.如果函数f(x) = (3 a)x,g(x) = logax的增减性相同，则a的取值范围是 _ .3a 1, 解析：若f(x),g(x)均为增函数，则a 1,答案：(1,2)2.A.4,+s)B. (10，+m)c.(4,10)U(10,+s)D. 4,1

45、0)U(10,+s)x 4 0,解析：选 D 由 lgx 1 工 0,x 0,x 4,解得x工 10,x 0, x4且 x丰10,函数f(x)的定义域为4,10)U(10,+s).故选D.3.函数f(x) =_：a lgx的定义域为(0,10，则实数a的值为()A. 0.10C. 1解析：选 C 由已知，得a Igx0的解集为(0,10，由a Igx0,得lg又当 0vxw10 时，Igxw1,所以a= 1，故选 C.4.函数f(x) = loga|x| + 1(a 1)的图象大致为即 1vav2,若f(x),g(x)均为减函数，则0v3av1,0vav1无解.I) )406.已知函数f(x)

46、 = |log1的定义域为 2,m，值域为41_ 13ymin= .例 1比较下列各组数中两个值的大小:解析：作出f(x) = |log|的图象(如图)可知f1 =f(2) = 1,f(1) = 0，由题意结合答案：1,27.已知f(x) = log3X.作出这个函数的图象;解：作出函数y= log3X的图象如图所示.(2)令f(x) =f(2),即 log3X= log32,解得x= 2.由图象知：当 0a2 时，恒有f(a)log1xlog 114,即一 1 log设t= log则一 2ctc-1,21 所以y=tqt1+ 5,其图象的对称轴为直线t= 4,(2)若f(a)0，且az1).

47、解 (1)考察对数函数y= log2x， 因为它的底数 2 1,所以它在(0,+)上是增函数，于是 log23.4vlog28.5.(2) 考察对数函数y= log0.3X，因为它的底数 0v0.3v1,所以它在(0 ,+)上是减函 数，于是 log0.31.8 log0.32.7.(3) 当a 1 时，y= logax在(0 ,+)上是增函数，于是loga5.1vloga5.9 ;当 0vav1 时，y= logax在(0 ,+)上是减函数，于是loga5.1 loga5.9.(1) 同底的利用对数函数的单调性.(2) 同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化.底数和真数都不同，找中间量.(

48、4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.11又对数函数y= log2X在(0 ,+)上是增函数，且 ：,1 10log23log25，取中间值 1, log23log22= 1 = log55 log54,. log23log54.求解对数不等式1例 2 (1)已知 loga 1，求a的取值范围;(2)已知 log0.7(2x)vlog0.7(x- 1)，求x的取值范围.比较对数值大小时常用的4 种方法log日 21得 loga， logaa.11当a 1 时，有av2，此时无解.1 12当 Ovav1 时，有 2va,从而，vav1.1 a 的取值范围是

49、2，1 ./函数y= log0.7X在(0,+s)上为减函数,由 log0.72xvlog0.7(x1)2x 0,得x 1 0,解得x 1.2xx 1,x的取值范围是(1,+s). logab的不等式，借助y= logax的单调性求解，如果 需分a 1 与 0vav1 两种情况讨论.(2)形如 logaxb的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式, 的单调性求解.a的取值不确定，再借助y= logax活学活用2.已知 loga(3a 1)恒为正，求a的取值范围.解：由题意知 loga(3a 1) 0= loga1.当a 1 时，y= logax是增函数，3a 1 1,3a 1 0,解得a2

50、,345a 1;当 0vav1 时，y= logax是减函数,3a1v1,3a10,12解得 3vav-.33 3vav3.1 2综上所述，a的取值范围是 3,3U(1,+s).有关对数型函数的值域与最值问题46例 3求下列函数的值域.2(1)y= log2(x+ 4) ； (2)y= log2解(1)y= log2(x+ 4)的定义域是 R.因为x2+ 44,所以 log2(x2+ 4) log24 = 2,2所以y= log2(x+ 4)的值域为2 ,+).22(2)设u= 3 + 2x-x=- (x- 1) + 4 0,所以 0vuw4.又y= log1u在(0,+)上为减函数,(1)

51、求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解.(2) 求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数 中含有参数时，有时需讨论参数的取值.活学活用3.已知f(x) = 2 + logsx,x 1,9，求函数y=f(x)2+f(x2)的最大值及此时x的值.2 2 2 2 2 2解：y= f(x) +f(x) = (2 + logax) + logax+ 2 = (logax) + 6logax+ 6 = (logax+ 3)3. f(x)的定义域为1,9,221WxW9, y= f(x) +f(x)中，x必须满足21wxw9, 1wxw3,. 0w

52、logaxw1 , 6wyw13.当x= 3 时，y取得最大值，为 13.对数函数性质的综合应用驚江例 4 已知函数f(x) = loga(1 +x),g(x) = loga(1 x),其中(a0 且a* 1),设h(x) =f(x) g(x).求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由.解Tf(x) = loga(1 +x)的定义域为x|x 1,g(x) = loga(1 x)的定义域为x|xv1,h(x) =f(x) g(x)的定义域为x|x 1nx|xv1 = x| 1vxv1.2(3 + 2x-x).所以 log所以y= log2(3 + 2xx)的值域为2,47 h(x

53、) =f(x) g(x) = loga(l +x) loga(l -x),h( x) = loga(l x) loga(l +x) = loga(l +x) loga(l x) =h(x), h( x)为奇函数.一题多变1 +x1.变条件若f(x)变为 loga(a 1):求f(x)的定义域.1 x所以函数f(x)的定义域为(一 1,1).2.变设问在本例条件下，若f(3) = 2,求使h(x)v0 成立的x的集合.解：f(3) = loga(1 + 3) = loga4 = 2,.a= 2.h(x) = log2(1 +x) log2(1 x),h(x)v0 等价于 log2(1 +x)vl

54、og2(1 x),1+xv1x,1+x0,1x0,1.若 lg(2x 4)W1,贝yx的取值范围是()A.(汽 7B. (2,7C. 7,+s)D. (2,+s)解析：选 B / lg(2x 4)W1, 0v2x 4W10,解得 2vxW7, x的取值范围是(2,7,故选 B.2.已知 log Umvlogrnv0,则（）2A.nvmv1B.mvnv1C.1vmvnD.1vnvm解析：选 D 因为 0v*v1, log Umvlog Cnv0,解：因为f(x) = log1 +xa1 x，1 亠x需有口 0，即1+x0,1x0,1+XV0,或所以一 1Vxv1.1xv0,解得1vxv0.48所

55、以mn 1,故选 D.493.函数f(x) =|log1x|的单调递增区间是( )1A. 0,2B- (0,1C. (0,+8)D. 1,+8)f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为1 ,+).10a= log45,b= 2 ，c= log30.4，贝Ua,b,c的大小关系为(A. bvcvaC. cvavb1解析：选 D 由题知，a= log45 1,b= 20= 1，c= log30.4v0,故cvbva.15.函数f(x) = lg 一x2*1 + x是()A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数1 1解析：选 Af(x)定义域为 R,f( x) +f(x) = l

56、g2+ lg=2=px+ 1 xx+1 +x1lg22= lg 1 = 0,x+ 1xf(x)为奇函数，故选 A.6. 比较大小：(1) log22_ log2雨；(2) log3 n_logn3.解析：(1)因为函数y= log2x在(0 ,+s)上是增函数，且 2 3,所以 log22 log2. 3.(2)因为函数y= log3x增函数，且n 3，所以 log3nlog33= 1.同理 1=lognnlogn3,所以 log3nlogn3.答案：(1) (2) 7.不等式 log 廿(5 +x)0,解析：选 D4.已知实数B. bvavcD. cvbva50解析：由 1 x0,得一 2x

57、1 x,=0.51答案：x| 2x 1,函数f(x)= log ax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为1，贝 Ua=解析： a1,f(x) = logax在a,2a上递增,1 loga(2a) logaa=,即 loga2= 2,答案：49.已知对数函数f(x)的图象过点(4,2)，试解不等式f(2x 3) f(x).解：设f(x) = logax(a 0 且 1),因为f=2,所以 loga4= 2,所以a= 2,2x 3 0,所以f(x) = log2x,所以f(2x 3) f(x)? log2(2x 3) log2X?x 0,?x2x 3x所以原不等式的解集为(3,+R).22(1 x)有意义，则 1 x 0,x2v1,则一 1vxv1，因此函数的定义域为(一 1,1).10.求函数y= log(1 x2)的单调增区间，并求函数的最小值.解：要使y= log令t= 1 x2,x ( 1,1).当x ( 1,0时