2020届高考数学(文)总复习讲义：参数方程

1、 直线参数方程的标准形式的应用 上的两点，其对应参数分别为 ti，t2，则 |MiM2|=|ti 12|.基础相对薄弱.一轮貝工I更需虫视 基础知识的强化和落实 第二节 、基础知识批注一一理解深一点 1. 曲线的参数方程 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数 下 并且对于 t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点 M(x, y)都在这条曲线上， y= gt, 那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数，简称参 数. 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程 F(x，y)= 0 叫做普通方程. 2. 参数

2、方程和普通方程的互化 (1) 参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数. (2) 普通方程化参数方程：如果 x = f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的 关系 y= g(t)，则得曲线的参数方程x= ft， 丨在参数方程与普通方程的互 丨 y= g t. :化中，一定要注意变量的范 ：围以及转化的等价性. 3.直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点 M(xo，yo)，倾斜角为 a的直线 l 的参数方程为 y= yo+ tSin a (t 为参数). 过点 Mo(xo，yo)，倾斜角为 a的直线 l 的参数方程是 x= xo+ tcos = 若 Mi，M2是

3、 I 若线段 M1M2的中点 M 所对应的参数为 t,则 t= ，中点 M 到定点 Mo的距离|MMo| 若 Mo为线段 MIM2的中点，贝 y ti+ t2= 0. |MoMi|MoM2|= |tit2|. X = xo+ rcos B, 圆心在点 Mo（xo, yo）,半径为 r 的圆的参数方程为 二-（B为参数）. |y= yo + rsin B x = acos 6, 1(a b O)的参数方程为彳 y= bsin 6 、基础小题强化一一功底牢一点 一判一判对的打“/,错的打“X” t 的几何意义表示： 直线 l 上以定点 Mo为起点，任一点 M（x, y）为终点的有向线段 MoM 的

4、数 量.（）（） x= 2cos t, n （3）已知椭圆的参数方程 （t 为参数）,点 M 在椭圆上，对应参数 t = n点 O y= 4sin t 3 为原点，则直线 OM 的斜率为-3.（ ） 答案：（1）2 （2）V （3） X （二）填一填 普通方程为 _ . 解析：依题意，消去参数可得 x 2= y 1，即 x y 1 = 0. 答案：x y 1 = 0 =|t| = tl + t2 2 2 2 (3)椭圆 = （6为参数）. 参数方程 y= gt 中的 x, y 都是参数 t 的函数.（ 过 Mo（xo, yo）,倾斜角为a的直线 l 的参数方程为 X = xo+ tcos a,

5、 y= yo+ tsin a （t 为参数）.参数 1.在平面直角坐标系中，若曲线 C 的参数方程为 x= 2 + y= 1 + 7 2 t, .2 （t 为参数），则r x = sin B, 2 .曲线 C 的参数方程为（ （B为参数），则曲线 C 的普通方程为 ly= cos 20+ 1 16 即 7f+ 16t= 0，解得 t1= 0, t2=-， 16 所以 |AB|=|t112|= y. 答案：罕 解 直线 l 的普通方程为 2x y- 2a = 0, 圆 C 的普通方程为 x2+ y2= 16. x= sin 0, 2 (0为参数) )消去参数 0,得 y= 2 2x ( K xw

6、 1). y= cos 20+ 1 答案：y= 2 2x2( 1 w xw 1) 解析：由 3.在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 1 x= 1 + 才， l 的参数方程为 （t 为参数），椭 Y3 1 2 圆 C 的方程为 x2 +y = 1,设直线 I 与椭圆 4 C 相交于 A, B 两点，则线段 AB 的长为 x = 1+ *, 解析：将直线 l 的参数方程 V3 y=ft 2 代入 x2 + y = 1, 4 若点不宜整合太大*挖掘过深 稳取120分就是大胜 考点一 参数方程与普通方程的互化 课堂 讲练区 典 x = a 2t, 已知直x= 4cos 0, y= 4sin 0 （

7、1）求直线 l 和圆 C 的普通方程; （2）若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围. 得 1 + 因为直线 l 与圆 C 有公共点, 故圆 C 的圆心到直线 I 的距离 d=|2a4, 解得2 5 0，得1m3. 设点 A, B 对应的参数分别为 如 t2,贝 U &乜=m2 2m. 因为 |PA| |PB|= |t! t2|= 2,所以 m2 2m=也， 解得 m= 1 3. 因为一 1m3，所以 m= 1 士.3. 解题技法 1. 应用直线参数方程的注意点 在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、 余弦值，否则参数不具备该几何含

8、义. 2. 圆和圆锥曲线参数方程的应用 有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它 们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解，掌握参数方程与普通方程互化的规 律是解此类题的关键. 题组训练 1 . (2019 湖北八校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 X= V3cos a, (a为参数) )，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 y= sin aI x = m+ y=* 当 sin a+ 3 = 1，即 a+ n= n+ 2k nk Z), a= 5n+ 2k nk Z)时，所求距离最 大，最大值为 2 2,

9、 此时点 P 的坐标为2, 2 . x = 2cos 0, 2. (2018 全国卷n )在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ( (0为参 |y= 4sin 0 X= 1 + tcos a, 数) )，直线 I 的参数方程为 (t 为参数). |y= 2 + tsin a (1)求 C 和 I 的直角坐标方程； 若曲线 C 截直线 I 所得线段的中点坐标为(1,2)，求 I 的斜率. 2 2 解：( (1)曲线C的直角坐标方程为 X4+焉=1. 当 cos a 0 时，直线 l 的直角坐标方程为 y= tan a x + 2 tan a, 当 cos a= 0 时，直线 l 的直

10、角坐标方程为 x= 1. 将直线 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程(1 + 3cos a)t2 + 4(2cos a+ sin a)t 8= 0. 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点( (1,2)在 C 内， 所以有两个解，设为 t1, t2，则& + t2= 0. 故 2cos a+ sin a= 0, 于是直线 l 的斜率 k= tan a= 2. 考点三 极坐标、参数方程的综合应用(1)求曲线 Ci的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程； 设 P 为曲线 C1上的动点，求点 P 到 C2的距离的最大值，并求此时点 P 的坐标. 2 解：曲线 Ci

11、的普通方程为 令+ y2= 1, 3 由 psin 0+ n = 2，得 psin 0+ pcos 0= 2,得曲线 C2的直角坐标方程为 x + y 2 = 0. 设点 P 的坐标为(3cos a, sin a, a+ 321 2 ， 则点 P 到 C2的距离为 | 3cos a+ sin a 2| 2sin 又由得&+ t2= 4 2cos a+ Sin a , 1 + 3cos a C2的极坐标方程为 典例(2018 河北保定一中摸底) )在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 x= 5+ 2cos t, (t为参数) )， 在以原点0为极点， x轴的非负半轴为极轴建

12、立的极坐标 y= 3+ 2sin t 系中，直线 I 的极坐标方程为 pcosj+n；=i. (1)求圆 C 的普通方程和直线 I 的直角坐标方程； 设直线 I 与 x 轴，y 轴分别交于 A, B 两点，点 P 是圆 C 上任一点，求 A, B 两点的 极坐标和厶 PAB 面积的最小值. x= 5+ 迄 cos t, y= 3+ 2sin t 方程为(x + 5)2+ (y 3)2 = 2. 所以直线 l 的直角坐标方程为 x y+ 2= 0. (2)直线 l 与 x 轴，y 轴的交点分别为 A( 2,0), B(0,2), 则点 A, B 的极坐标分别为(2, n+ 2kn )牡 Z) ,

13、 2,亍+ 2k n (k Z). 设点 P 的坐标为( (一 5 + 2cos a, 3 + , 2sin a), 则点 P 到直线 l 的距离 d= | 5+或cos a3 a+ 2|= 6+ I* 4 , V2 2 当 cos a+n = 1,即卩 a+ n = 2knk Z) , a= ：+ 2knk Z)时，点 P 到直线 l 的距离 取得最小值，所以 dmin = 42= 2 2, 又 |AB|= 2 2, 1 1 所以 PAB 面积的最小值 S= J dminX |AB|=1X 2 2X 2 2= 4. 解题技法极坐标、参数方程综合问题的解题策略 (1) 求交点坐标、距离、线段长

14、可先求出直角坐标系方程，然后求解. (2) 判断位置关系先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断. (3) 求参数方程与极坐标方程综合问题一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角 坐标方程来研究问题. 题组训练 1.在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 消去参数 t,得(x + 5)2+ (y 3)2= 2,所以圆 C 的普通 22pcos 9+n = 1,得 pcos 0 曲线 C1: p2 4 pcos 0+ 3= 0, 0 0,2 n曲线 C2: 0 0,2 n (1)求曲线 Cl的一个参数方程； 若曲线 Ci和曲线 C2相交于 A, B

15、两点，求|ABI 的值. 解： 由 p 4 pcos 0+ 3= 0，得 x2+ y2 4x + 3= 0, 所以( (x 2)2+ y2= 1. 令 x 2= cos a, y= sin a, 所以 Ci的一个参数方程为 |y= sin a x = 2 + cos a, (a为参数) ). , ,i n n i 因为 C2： 4 p sircos 0 cousin 0 = 3, 23y = 3，即 2x 2 3y 3 = 0, 因为直线 2x 2 3y 3 = 0 与圆(x 2)2+ y2= 1 相交于 A, B 两点, 所以 4 1x 所以圆心到直线的距离为 d= 14 03| = 寸 2

16、2+(-2 何 4 jp= 2x=殛 4 4 2 . 所以|AB|= 2 2 .在平面直角坐标系 xOy 中，直线 I 的参数方程为 x = 2 + tcos 為 y= J3+ tsin $ 参数，能 0, ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知 圆 C 的圆心 C 的极坐标为 2, n，半径为 2,直线 I 与圆 C 交于 M , N 两点. (1) 求圆 C 的极坐标方程； (2) 当$变化时，求弦长|MN|的取值范围. 解：( (1)由已知，得圆心 C 的直角坐标为(1, . 3),圆的半径为 2, 圆 C 的直角坐标方程为(x 1)2+ (y 3)2= 4,

17、 即 x2+ y2 2x 2 3y= 0, / x= pcos 0, y= psin 0, p2 2 pcos 0 3 psin 0= 0, 故圆 C 的极坐标方程为 p= 4cos 0 . 由(1)知，圆 C 的直角坐标方程为 x2 + y2 2x 2_3y= 0, 将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得， (2 + tcos $2+ ( 3+ tsin $2 2(2 + tcos $ 2 3( 3+ tsin $= 0, 整理得，t2+ 2tcos $ 3= 0, 设 M , N 两点对应的参数分别为 t1,伍， 则右 + 七2 = 2cos $,屯 t2= 3 , - |MN |= |t

18、i 12|=寸（ti + t2 f 4ti = 4coW + 12. A n cos 舟，1 故弦长|MN |的取值范围为.13 , 4. 课时跟踪检测 x = tcos a, x= 4 + 2cos 0, 1.若直线/ （t 为参数）与圆/ （0为参数）相切，求直线的倾 y= tsin a y= 2sin 0 斜角a. 由于直线与圆相切，则 j4tan a = 2, 寸 1 + tan a 即 tan2a= 解得 tan a= 孑, 3 3 由于妖0, n）故a=n或 x = 8 +1, 2 .在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 I 的参数方程为 S t （t 为参数），曲 ly=i 的

19、最小值. 解：直线 l 的普通方程为 x 2y+ 8 = 0. 因为点 P 在曲线 C 上，设 P（2s2,2 2s）, 从而点 P 到直线 l 的距离 d= |2s： 4屆2s-何+ 4 4, 石+（-2j V5 当 s= 2 时，dmin =牛5. 因此当点 P 的坐标为（4,4）时，曲线 C 上的点 P 到直线 l 的距离取到最小值 x= cos 0, 3.已知 P 为半圆 C: （ （ 0为参数，0 0 n）的点，点 A 的坐标为（1,0）, ly= sin 0 2 |MN | 13, 4. 解：直线 X= tcos a, （t 为参数）的普通方程为 y= xtan y= tsin a

20、 x = 4+ 2cos 0, y= 2sin 0 （0为参数）的普通方程为（x 4）2+ y2= 线C的参数方程为 x = 2s2, y= 2 J 2s （s 为参数）,设 P 为曲线 C 上的动点, 求点 P 到直线 l 的距离 4 .5 5 . O 为坐标原点，点 M 在射线 OP 上，线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为3 (1) 以 0 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 M 的极坐标; (2) 求直线 AM 的参数方程. n 解：由已知，点 M 的极角为 3, 且点 M 的极径等于扌， 故点M的极坐标为n ：. 由(1)知点 M 的直角坐标为 n，6P , A(1

21、,0). 4. (2019 长春质检) )以直角坐标系的原点 0 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 已知点P的直角坐标为(1,2)，点C的极坐标为 3, n，若直线 I 过点 p,且倾斜角为n，圆 C 以点 C 为圆心，3 为半径. (1) 求直线 I 的参数方程和圆 C 的极坐标方程； (2) 设直线 I 与圆 C 相交于 A, B 两点，求|PA| |PB|. x = 1 +当 t, 解：( (1)由题意得直线 I 的参数方程为 (t 为参数) )，圆 C 的极坐标方程 I 1 y= 2+ 尹 为尸 6sin 0. (2)由(1)易知圆 C 的直角坐标方程为 x2 + (y 3)

22、2= 9, r 鱼鱼 x= 1 + 八 把 2 y= 2+* 设点 A, B 对应的参数分别为如 t2,. t1t2= 7, 又|PA|= |t1|, |PB|= |t2|, |PA| |PB|= 7. x= 2cost, 5. (2018 南昌一模) )在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 (t ly = 2sin t+ 2 为参数) )，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1) 求曲线 C 的极坐标方程； (2) 若直线 l1, b 的极坐标方程分别为 0 =彳(卩1 R), 02=(t 为参数). 代入 x2+ (y 3)2= 9,得 t2+ (

23、 3 1)t 7= 0, 故直线 AM 的参数方程为 赞鸽 R)，设直线 l1, l2与曲线 C 的交点分别为 O, M 和 0, N，求 0MN 的面积. x= 2cos t, 2 2 解：( (1)由参数方程彳 得普通方程为 x2+ (y 2)2= 4, |y= 2sin t+ 2 x = pcos 0, 2 2 2 把 代入 x2 + (y 2)2= 4,得 P2 4psin 0= 0. y= psin 0 所以曲线 C 的极坐标方程为 p= 4sin 0. n n (2)由直线 11： 01 = 6( ( p R)与曲线 C 的交点为 0, M，得|0M|= 4sin 石=2. 由直线

24、 12： 0=旳与曲线 C 的交点为 O, N,得|ON|= 4sin 2-n= 2 3. 3 3 易知/ MON = ，所以 SOMN = |OM | X |ON| = 2 X 2X 2 ,3= 2 3. x = cos 0, 6. (2018 全国卷川) )在平面直角坐标系 xOy 中，O 0 的参数方程为什 |y= sin 0 数) )，过点(0, 2)且倾斜角为a的直线 I 与O 0 交于 A, B 两点. (1) 求a的取值范围； (2) 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程. 解：( (1)O 0 的直角坐标方程为 x2+ y2= 1. 当a=；时，l 与O 0 交于两点. 当时，

25、记 tan a= k,贝 U l 的方程为 y= kx 2. l 与 O O 交于两点需满足 1_2k21 , 解得 k1 , 即a ；护或a 扌. 综上，a的取值范围是 ：，严. (0为参 (2)l 的参数方程为 x= tcos a, 、y= 2+ tsin a 设 A, B , P 对应的参数分别为 tA , tB , tP , 则 tp= ,且 tA , tB满足 t2 2 2tsin a+ 1 = 0. 于是 tA + tB= 2 , 2sin a, tP= . 2sin a. 又点 P 的坐标(x , y)满足 x= tpCOS a, y= V2 + tpsin x= t, 7. (

26、2019 洛阳第一次统考) )在直角坐标系 xOy 中，曲线 Ci的参数方程为 t (t 为 |y= m+1 参数，m R)，以原点 0 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标 方程为 p2=32C。爲0wxn) (1)写出曲线 Ci的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程; 已知点 P 是曲线 C2上一点，若点 P 到曲线 Ci的最小距离为 2 .2,求 m 的值. 解：( (1)由曲线Ci的参数方程消去参数 t,可得 Ci的普通方程为 x y+ m= 0. 由曲线 C2的极坐标方程得 3 p 2 p2cos2 9= 3, 0 , n 2 曲线 C2的直角坐标方程为 号+ y2= i(0 W yw i). 3 设曲线 C2上任意一点 P 的坐标为