(完整word版)高中一题多解经典练习题2

1、1高中一题多解经典练习题2一题多解、一题多变1 1、变题：课本 P110P110 写出数列an的前 5 5 项：ai丄,an1 4an-i1变题：已知函数f(x) 2x 2,x【2,1，设f(x)的反函数为y=g(x)，ai= 1, a2= g(a1)an= g(an-1)，求数列a.的通项公式。卄亠小11解：由题意得，y=g(x)=1-2x，an二仁-an-1an2 1(an 13，令bn二an-3，则bn是以-为首项，-为公比的等比数列,故bn=1 1孑匚广心1)从而，2 2n+ (-1)n-1.习=6+3=3X/-1(n1)1(1(1)当a= 2时，求函数f(x)的最小值；- -(2(2

2、)若对于任意x1,+-), f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围,1f(x)=x+2+2+2、2，当且仅当2 x取等号k；2、由f (x) = x+ - (k 0)性质可知，f (x)在，+ g)上是增函数x2x1,+x)，所以f (x)在1,+ g是增函数，f(x)在区间1,+ g上的最小值为彳二22 2、已知函数f(x) =x2+ 2x + a,x1,+x)x1解：(1 1)当a=-时,2当且仅当ymin= a + 3 0时，函数f(x) 0恒成，故a -32小X+2x+a0恒成立？x恒成立? a -x2- 2x恒成立，故a应大于u = -x2-2x,x1,+旳时的最大值-3,所以a-3

3、1 -3 3、：若f (一)= x +讷+ X2(x 0)，贝y f (x)= -x(2)法一：在区间上1,+今,f(x) =3心0恒成立x? x2+ 2x + a 0恒成立设y = x2+ 2x + a,x1,+g) y = x2+ 2x+ a = (x+ 1)2+ a -1在1,+旳上增所以x= 1时，ymin=a+ 3，于是当且仅当丫皿山二a+30时，函数f(x) 0恒成立,故a -3法二:f (x) = x+a+x当a0时，函数f(x)的值恒为正;2, x1,+g)当a1/=a+ 3，于是法三：在区间1,+哲上，f(x) =2x + 2x+ a 03分析: :用倒数换元解：令t =1则

4、乂=1, , 所以xtf(t)= J+、1+(1)2(t 0)4将 t t 换成 x x 得到: :1 12f(t)二 一+ J+ ( )2(x 0)X x1变题 1 1：设f (x)满足关系式f(x)+ 2f (-)= 3X,求f(x)的解析式X11解：t二则x=-xt1 1f(t)+ 2f(t)= 3：将 t t 换成 x x 得到：11f ( )+ 2 f (x) = 3xx与原式联立方程组消去f (-)得到xf (x)- x(x 0)x变题 2 2:已知af(x)f( x) bx，其中a2工1试求f (x)的解析式解：用相反数换元 令t x,x t代入到原式当中得到:af( t) f(

5、t) bt将 t t 换成 x x 得到: :af ( x) f (x) bx与原式联立方程组，得到:2(a 1)f (x) b(a 1)xa2H1f(x)b(a 1)(a21)变题 3 3： 已知af (4x 3) bf (3 4x) 2x,a2b2，试求f (x)的解析式解：令4x 3 t，则2x =t+ 35将中 t t 换一 t t 得到: :与联立方程组得到:(a2b2)f(t)护|(a b)13x2(a b) 2(a b)变题 4 4:已知af (xn) f ( xn) bx,其中a21,n为奇数，求f (x)解：设xn= t,x=nt代入原式得:af (t) f ( t) bnt

6、将 t t 换成一 t t 得到：af (t)+ f (t) =bnt与上式联立方程组得到(a21)f (t)= b(a+ 1)nta2工1/. af (t) bf ( t)(1)af( t) bf (t)t 32-f(t)12(atb)32(a b)nf(x)f(x)豊1)n-bn-(a 1) a 16f(x)的解析式为：f(x)汨阪代呎题多解4 4、：设二次函数f(x)满足f(x2)= f(x2),且函数图象 y y 轴上的截距为 1 1 被 X X 轴截的线段长为2 2，求f(x)的解析式分析：设二次函数的一般形式f (x) = ax2+ bx+ c(a丰0),然后根据条件求出待定系数

7、a,b,ca,b,c解法一：设f (x) = ax2+ bx+ c(a丰0)由f(x2)= f(x2),得：4ab= 0又_TAA_(XiX2= wp = 2鶯2|a| b24ac= 8a2由题意可知c= 1解之得:1a =, b = 2, c= 121f (x) = x+ 2x+ 1解法二：f(x2)= f (x2),故函数y= f(x)的图象有对称轴x=2可设y = a(x+ 2)2+ k函数图象与 y y 轴上的截距为 1 1 ,则4a+ k= 1又 被 x x 轴截的线段长为242，则X1X2=2J27整理得：2a+ k= 0解之得：1 , a = , k二121f (x) = x+

8、2x+ 128y= (x)与 x x 轴的交点为:(22 . 2,0),(2+2., 2,0)故可设y= a(x+ 2+ 2. 2)1f(0)= 1,a=-1f (x) = x + 2x+ 125 5、原题 设y = f(x)有反函数y = f-1(x)，又y = f (x+ 2)与y = f-1(x-1)互为反函数，则f-1(1)-f-1(0)=_(教学与测试P P77)变题 设y= f(x)有反函数y= f-1(x)，又y= f(x+1)的图象与-1y= f (x+ 1)的图象关于y= x对称(1) 求f(1)-f(0)及f-1(1)- f-1(0)的值；(2) 若a,b均为整数，请用a,

9、b表示f (a) f (b)及f-1(a)-f-1(b)解(1)(1)因y = f(x+1)的反函数是y = f(x)-1，从而f (x+ 1) = f(x)-1，于是有f (x+ 1) - f(x)= -1，令x= 1得f (1) - f (0) = -1； 同样，y= f(x+1)得反函数为y二f-1(x)-1，从而f-1(x+ 1)= f-1(x)-1，于是，f-1(x+1)-f-1(x)= -1.(2)(2)f (x+ 2) - f (x+ 1)= -1, , 而f (x+1) - f(x)=-1, , 故f (x + 2) - (f(x)-1) = -1, ,即f (x+ 2) -

10、f(x)= -2, ,f (x + n) - f(x)= -n，解法三：f(x2)= f(x2),故函数y= f(x)的图象有对称轴x=2,又XiX2= 2,29从而f(a)-f(b)二fa+(b-a)-f(a)二b-a.同理，f-1(a) f-1b b a.6 6、.函数f(x)x2bxc,f( 1)f(3)，则()()(A A)f (1)cf( 1)(B B)f (1)cf( 1)(C C)c f(1)f(1)(D D)c f(1)f(1)解法 1 1 . .由f(1)f (3)知f(x)的图象关于x= 1对称，得b2而f (1) 12(2) ?1c2c 1,f( 1) (-1)( 2)?

11、( 1) c c 3,且c 3 c c 1,因此匕f(1)c f( 1). .解法 2.2.由f( 1)f(3)知f(x)的图象关于x=1对称，而c= f(0)，而f(x)在1,11,1上递减，易得答案为 B B.107 7、原题：若在区间y= =x2-ax-a2在区间(-1-V3)是减函数，则a的取值范围是多少？变 1 1:若函数y=J=Jx2-ax-a2在(亠,1-73)上是减函数，则a的取值范围是多少?11变 2 2、若函数y= =logi(x2-ax-a2)在(-,1 - , 3)上是增函数，则a的取值2范围是多少？变 3 3、若函数y= =logi(x2- ax-a2)在(-壬1-佝

12、上是增函数，且函数的值2域为 R R 则a的取值范围是多少？解：函数y = x2- ax-a2的减区间为(-3号，二(心，1-?(-汽，2 2-2.3,+旳-变 1 1、设u= x2-ax-a2,则u在(-円1-73)为减函数，且在(-壬1-岛),u0 0所以有1- .30,a的取值范围是变 2 2:设u=x2-ax-a2，则u在为减函数，且在(-壬1-岛,u0-0-所以有1-3W 且u(1- 3)0,a的取值范围是(3-1)(1- 5)( 3-1)(1+5)2,2变 3 3:设u = x2- ax - a2,则u在(-壬1-73)减区间，u在(-壬1-方)取到一切正实数1-、3号,u(1-.

13、3)= 0，所以a=匚斗或斗一& 设a+ lg a= 10,b+10b= 10，求a+ b的值。解法一(构造函数)：设f (x)= x+ lg x，贝 Sf(a)= 10= b+ 10b= lg10b+ 10b= f (10b),由于f (x)在(0,+ p上是单调递增 函数，所以a= 10b，故a+ b= 10b+ b= 10。(3-1)(1- 5)2(3-1)(1+5)212解法二(图象法)因为a是方程x+ lg x= 10的一个根，也就是方程lgx= 10-x的一个b是方程x+ 10 x= 10的一个根，也就是方程10 x= 10-x的一个根令g(x)=lgx,h(x)=10 x

14、,(x)=10-x，在同一坐标系中作出他们b是方程h(x)=(x)的根，即图中 0B=)0B=)易得 OA+OB=1,0OA+OB=1,0 所以a+ b= 10解法三：方程x+ lgx= 10,x+ 10 x= 10的根为a,b由x+ 10 x= 10，得10 x二10- x,x = lg(10 -x)，又x+ Ig x = 10lg(10 - x) + Igx = 10,即x(10 -x) = 1010,即x2-10 x+ 1010= 0 x1+ x2= 10(虚根a 0 0 时，函数f(x)是凹函数；(2)(2) 如果x0,1时，|f(x)|w1，试求实数a的取值范围(1)(1) 证明：略

15、(2)(2) 实数a的取值范围是2,0)1010、不查表计算：lg32+ lg35+3lg2lg5解法一：原式= =(lg 2 + lg 5)(lg22 - lg2lg5 + lg25) + 3lg2lg522= =lg22-lg2lg5+ lg25+ 3lg2lg522= =lg22+ 2lg2lg5+ lg252= =(lg2+ lg5)2=1解法二：原式= =(lg 2 lg5)33lg22lg5-3lg 2lg25 3lg 2lg5=1-=1-3lg 2lg5(lg 2 lg5 1)=1=1解法三：原式= =(lg 2 + lg5)3-3lg2lg5(lg2+ lg5)+ 3lg2lg