(完整word版)高考求函数值域及最值得方法及例题,训练题

1、函数专题之值域与最值问题一.观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例 1 求函数 y=3+V(2- 3x)的值域。点拨：根据算术平方根的性质，先求出V(2- 3x)的值域。解：由算术平方根的性质，知V(2- 3x)0故 3+V(2- 3x)3函数的知域为点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。练习：求函数 y=x(O x 嘲值域。(答案：值域为：0, 1, 2, 3 , 4, 5)二反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定

2、义域就是原函数的值域。例 2 求函数 y=(x+1)/(x+2)的值域。点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数 y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1 2y)/ (y- 1),其定义域为 y 工1的实数，故函 数 y 的值域为 yIyz1,y R 。点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数 y=(10 x+10-x)/(10 x 10-x)的值域。(答案：函数的值域为 yIy1)三.配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可以利用配方法求函数值域例 3 :求函数

3、y=V(x2+x+2)的值域。点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。解：由X2+X+2 0,可知函数的定义域为 x 1 , 2。此时x2+x+2= ( x 1/2 ) 2 + 9/4 0 , 9/40Ax2+x+2w3/2，函数的值域是0,3/2点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。练习：求函数 y=2x 5 +V1 4x 的值域.(答案:值域为yIyQ解得：2vx0 )。五. 最值法对于闭区间a,b上的连续函数 y=f(x),可求出 y=f(x)在区间a,b内的极值,并与边界值 f(a).f(b)

4、作比较，求出函数的最值，可得到函数 y 的值域。例 5 已知(2x2-x- 3)/(3x2+x+1)w且满足 x+y=1,求函数 z=xy+3x 的值域。点拨：根据已知条件求出自变量x 的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。解： 3x2+x+1 0,上述分式不等式与不等式 2x2-x- 30同解，解之得1wxw3/2 又x+y=1，将 y=1-x 代入 z=xy+3x 中，得 z=-x2+4x(- 1wxw3/2), z=-(x-2)2+4 且 x -1,3/2,函数 z 在区间-1,3/2上连续，故只需比较边界的大小。当 x=-1 时，z= 5 ;当 x=3/2 时，z=15/

5、4。函数 z 的值域为 zI 5wzw15/4。点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。练习：若 Vx 为实数，则函数 y=x2+3x-5 的值域为()A . ( , + )B . 7，+m C . 0，+ )D . 5,+ )(答案：D )。六. 图象法通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。例 6 求函数 y=Ix+1I+V(x2)2 的值域。点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。解：原函数化为2x+1 (xw1)y= 3 (- 12)它的图象如图所示。显然函数值 y3 所以，函数值域3,+

6、点评：分段函数应注意函数的端点。禾 U 用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值 域。七. 单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。例 1 求函数 y=4x Vt3x(xw1/3 的值域。点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= V1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为 xw1/3 在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。解：设 f(x)=4x,g(x)= Vt3x ,(xw1/3 易知它们在定义域内为增函数，从而 y=f(x)+g(x)= 4xV1-3

7、x在定义域为 xw1/3 上也为增函数，而且 ywf(1/3)+g(1=4/3,因此，所求的函数值域为y|yw4/3。点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数 y=3+“4-x 的值域。(答案： y|y3)八. 换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。例 2 求函数 y=x- 3+V2x+1 的值域。点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。解：设 t=V2x+1 (t0，则x=1/2(

8、t2-1)。于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4 1/24=-7/2.所以，原函数的值域为y|y 7/2 o点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数 y=Vx-x 的值域。(答案： y|y 三 3/4 九. 构造法根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例 3 求函数 y=Vx2+4x+5+Vx24x+8 的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为 f(x)=V(x+2)2+1+V22+22作一个长

9、为 4、宽为 3 的矩形 ABCD，再切割成 12 个单位正方形。设 HK=x,贝 U ek=2-x ,KF=2+x,AK=V(2 -x)2+22 ,KC=/ (x+2)2+1。由三角形三边关系知，AK+KO AC=5。当 A、K、C 三点共线时取等号。原函数的知域为 y|y5。点评：对于形如函数 y=Vx2+a “x)2+b(a,b,c 均为正数)，均可通过构造几何图形，由 几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。练习：求函数 y=Vx2+9 +V-5)2+4 的值域。(答案： y|y 5V2)十.比例法对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进

10、而求出原函数的值域。例 4 已知 x,y R，且 3x-4y-5=0,求函数 z=x2+y2 的值域。点拨：将条件方程 3x-4y-5=0 转化为比例式，设置参数，代入原函数。解：由 3x-4y-5=0 变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k 为参数) x=3+4k,y=1+3k, z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。当 k= 3/5 时,x=3/5,y= 4/5 时,zmin=1。函数的值域为 z|z .点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可 将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创

11、新意识。练习：已知 x,y R，且满足 4x-y=0,求函数 f(x,y)=2x2-y 的值域。(答案：f(x,y)|f(x,y)1十一利用多项式的除法例 5 求函数 y=(3x+2)/(x+1)的值域。点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。解：y=(3x+2)/(x+1)=3 - 1/(x+1)。/ 1/(x+1),0故 y3函数 y 的值域为的一切实数。点评：对于形如 y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。练习：求函数 y=(x2-1)/(x- 1)(x 工的值域。(答案：y2)十二不等式法例 6 求函数 Y=3x/(3x+1)的值域。点拨：先求

12、出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。解：易求得原函数的反函数为y=log3x/(1-x),由对数函数的定义知x/(1-x) 01-XM0解得，Ovx1。函数的值域(0, 1 )。点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式(组)或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。以下供练习选用：求下列函数的值域1Y=V(15-4x)+2x-5;(y|y1 或 y0)3(x3，则f2.A.9B.C. -91-I 1,xE R, T2 丿，ry| y =log2(x 1),x-1?，则S T等于A. 0y|y-o3.F 列函数

13、中值域是(0, +8)的函数是4.5.1A.y=5B.11yTC.定义在 R 上的函数y= f(x)的值域为a,y -1 2xD.b,则f (x 1)的值域为A. :a,b B. :a+1,b+12y= 的定义域是(-：,1)2,5x -11 :,0),2 B.(- ,2)C.(-2函数A.(-C.:a 1,b- 1 D.，则其值域是无法确定 1 二,)2,+：D.(0,+:)26.函数A.y二I2y =lgx2(k 3)x4的值域为 R,则实数 k 的取值范围是一7乞k 1B.k0)的值域为-1，4，则a,b的值为2x 317.函数y = x 3-x 5x乞00 x g(2x)二f(4x 1

14、)，实际是将原函数图象的点的横坐标缩短变为原来的二分之一，纵坐标不变。故最值不变。_ 1 110.提示：由a b = 1 = 1二a b _ 2 . ab = ab4，4 ab1 1 1:1=(a b)114 = 5a bab二、 填空题14.7 ；15.4012；16.a=4, b=3 ；17. 4；18.2。15.提示：丄 = f(a)用赋值法或令f(x)=2xf (b)三、 解答题19.解析先确定函数的定义域，正确选择方法，并作出相应的数式变换.(1 )函数的定义域为x =-1,且x=5,令u =x2-4x-5 = (x-2)2一9, u _ -9 且 u = 0,444即u 0或-9

15、_ u：00或9函数的值域为4U(0,XC)；，9a bab 04x - 5) = 4,即 yx2- 4yx -(5y4) = 0,当y = 0时，得一 4=0,矛盾，.y = 0,x R(x一 ：T,且x = 5),2:=16y4y(5y4)丄0= y(9y 4)丄0,解得函数的值域为(-：,-4(0,：).9(2)函数的定义域为L：，1.作换元，令-2X =t= x 0),t2-112yt (t 1)2-1rf(t)在0：)上为增函数,(注)这里运用了不等式性质:解法二原函数等价于y(x222.y_f(0)=冷，函数的值域为-2，匸：)；解法二令fjx) =-x, f2(x)_2x,.原函

16、数y = f!(x)f2(x), fl(x)与f2(x)在定义域内都是减函数,原函数y = f(x)在定义域(-：,*是减函数,而当x一：时，:,函数的值域为2(3)函数的定义域为 X1,2yfG)_-，2x 1yx2-(-1)1(:- 02得(2 -y)x+bx+c-y=0,(*)228c b2即 4y- 4(2+c)y+8cb 0，由已知得 2+c=1+3 且=1x34b= 2,c=2 又b0, b=- 2,c=2,而y 2=0,b=- 2,c=2 代入(*)式得x=0b= 2,c=2 为所求121121 .解：打f (x) =(X -)2 _ 对称轴为X =2221(1 )3 -x一0

17、- -,f(x)的值域为f (0), f(3)，即-；，11,对称轴xa,a - 1,1 47】4打；a2二a 1一 -丄2-,2 2区间a, a 1的中点为xa-,21111当a,即-1 _ a时，2221211f(x)max= f(a 1), (a 1)2(a 1)-1641623916a48a 27 = 0二a (a不合)；4411312当a,即 a：-1时，f (x)max= f (a) -2 2 2 1621 125 1 a a , 16a16a - 5 = 0= a (a不合)；41644综上，a4 或a1315如果a -1-即 a 2 时 g(x)min=g(-4如果 a-1 -

18、即a时 g(x)在-1)上为减函数 g(x)min二 g (a -1) = (a -1)22 23 .2532r1r2312当 a 时(a 1) -(a ) =(a )0 当 a 时(a1) -( a) =(a )04224综合得：22. (1)证明:x 1 -aa - x结论成立x 1 - a 2a - x 1 - a f (x) 2 f(2a - x)2axa 2a+xc ax+1 x+1a+2a2xa + x 12x a=J(a-x).丄a - xa - x11当a x乞a 1时一a -1 _ X _ a(2)证明:f (x)乞 axE，2112 a x1-3 岂-1 - -2即f (x)值域为-3,-2a x