2018年高考数学专题3.8一题多解玩透直线方程小题大做

1、专题 3.8 一题多解 玩透直线方程、典例分析，融合贯通 典例 1 1 例 1 1 :求经过直线l1：3x 2y _1 = 0和|2: 5x 2y T = 0的交点，且垂直于直线|3: 3x -5y 6=0的直线|的方程. .【思路点拨】【解法1】直接法先解方程组得/話的交点坐标为再由右的斜率;求出/的斜率为于是由直5x4-2j + 1 =053线的点斜式方程求出J的方程，整理得“+曲-1一【点睛之笙】直译条件直捣董龙.【解法 2 2】线系法 1 1由于l _l3，故I是直线系5x 3y 0中的一条，而I过l1,l2的交点（-1,2），故5 -1 3 2 0，由此求出C =-1，故I的方程为5

2、x 3y - 1 = 0. .【点睛之笔】线系法，少思少算很合算！【解法 3 3】线系法 2 2由于l过hl的交点，故l是直线系3x 2y -V 5x 2y 1 =0中的一条，3+5k 51将其整理，得3 x 2 2 2 2 y y -1-1-=0.其斜率-乂二5，解得=-厂丿丿2+ 2丸35代入直线系方程即得I的方程为5x 3y -1 = 0。【点睛之笔】利用线系，思维无缝隙！【解后反思】解法一：先求出两条直线的交点坐标，再用点斜式求解；解法二：先建立与直线垂直的直线系方程，再将交点代入求解；解法三：先建立过两条直线交点的直线系方程，再利用斜率求解典例 2 2 例 2 2、若直线l过点（-1

3、,2）且与直线2x-3y+4 = 0垂直，则直线l的方程为 _. .【解法11直接法7直线2x3j + 4 = 0的斜率为k k = = j jf f设所求直线的斜率为疋,T所求直线与直线2兀一3p + 4 = 0垂直，二庶=二所求直线万程为72 =扌& +1),即：3x+2p 1 = 0.【点睛之笔】直接法，直走不拐弯！【解法2线系法由已知J殳所求直线I I的方程为:3x+2?+ C=0.又r过点(-L2),；,3X(-1) + 2X2+C = 0 ,得:C=-l，所以所求直线方程为3x+2j-l = O,【点睛之笔】线系，好用又合适！【解后反思】解法一：先求斜率，再用点斜式求解；解

4、法二：先建立与直线垂直的线系方程，再将点代入求解典例 3 3 若A(1(1，- 2)2),耳 5,6)5,6)，直线 I I 经过 ABAB 的中点 M M 且在两坐标轴上的截距相等，求直线【解法 1 1】截距式法设直线I在x轴，y轴上的截距均为a. .由题意得M M 3,23,2 . .若a=a= 0 0，即I过点0,0和3,2,2所以直线I的方程为y 二x，即2x-3y=0.3若a = 0，设直线I的方程为=1,a a32因为直线I过点M 3,2，所以3 2=1,I I 的方程.3a a所以a=5，此时直线I的方程为-=1，即x+ y5=0. .55综上，直线I的方程为2x 3y= 0或x

5、+ y 5= 0. .【点睛之笔】截距式法，与真相零距离！【解法21点斜式法易知M02由题意知所求直线J的斜率在 存在且00厂2=狀厂3).令，=0,得i=3-i=3- ；令尸0,得y=2y=23Jc3Jc . .所以3丄=2-如解得 ET 或k=-.Jt3所以直线 的方程为厂2=-(兀-3)或y-2-|(x-3),即y5=0或2厂3尸0【点睛之笔】点斜式，直点问题死穴！【解后反思】解法一：先分类，再围绕载距相等进行求解；解法二：先用点斜式建立方程，再求出两截距并建立方程求解.二、精选试题，能力升级1.1.若直线3x 4y -0与直线6x my 14=0平行，则它们之间的距离为【解析】由两直线

6、平行的条件得3m = 4 6,解得m = 8,此时直线6x my 10的方程可化为3x 4y 0,两直线3x 4y -3 =0和3x 4y 0间的距离为3兀，2.2.已知直线1的倾斜角为4直线I1经过点 A(3A(3, 2)2)和 B(a,-1)B(a,-1)，且直线 h h 与直线程为 2x+by+2x+by+仁0 0，且直线|2与直线|1平行，则 a+ba+b 等于_则直线J的方程为l垂直， 直线l2的方【解析】 由直线l的倾斜角得l的斜率为-1,3l1的斜率为3_a，直线l与垂直,5A A. 4 4C.C. 3 35 5 经过点 R1R1 , 4 4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且

7、截距之和最小，则直线的方程为B B. 2 2x+y 6 6 = 0 0D.D.x 2 2y 7 7 = 0 0【解折】设直线方程为- + =两，因为直线过点科1,4八所以丄+a a b ba a b b所以。（-+|）=1+单+?+4 2怦+5=9,当且仅当单=匕,艮卩a a b bb b a a b b a ab b a aPg 即口=3,b=6b=6时等号成立，所以载距之和最小时直线方程为寸+1，即衣*-6=0 ,36故选B.6 6.如图，直线l1,12,13的斜率分别为k1,k2,k3,贝Uk1,k2,k3的大小关系为 _.兀宀2n2nD.D.5TIA A. _B B.C C6336【解

8、析】直线斜率为即tan :3，因为很50,二），所以:-5n ,，故选D.3363 3.（ 20162016 朝阳模拟）直线x、3y1=0的倾斜角为4 4 .斜率为 2 2 的直线经过b）三点，贝 U Ua+b=(3(3 , 5)5) , ( (a,7)7),( (-1 1,a= =0 0 . .又直线l2的斜率为di2b1,b = -2. .因此a-2B B.D.D.【解析】 根据题意， 得7 -5W22.一 1 一 3解得a=4，故a+b=1.故选b=3A A.x+ 2 2y 6 6= 0 0C.C.x 2 2y+ 7 7= 0 0所以0vk3vk2，因此k|3,【解析】显然直线I的斜率存

9、在且不为0，设直线I的方程为y2=2=k(x+2) k = 0，则直线I与x轴交7【解析】由题青可得匕=如45匚1,toil50一 ,所以直线y y 【回y y= =-半设/伽m),m),-y/3n-y/3n ) ),显然冏工0,所以.曲的中点C(加解得船,所以咸羽怎)又陀0),所叽也二岂遐mu 尸 斗 d(hl)，即(3 + )L2厂 3- =0.9 9.已知直线I:kxy+ 1 1+ 2 2k= 0(0(kR)R).(1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(2)若直线I交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于BAOB的面积为S( (O为坐标原点) )，求S的最小值 并求此时直线I的方程.【解析

10、】(1 1)显然直线I过定点(一 21)，要使直线I不经过第四象限，由直线I的方程知：当k = 0时直线I的斜率k 0；当k=0时，直线I为y=1，也符合题意，故k _0.2点为(匚2, 0),与y轴交点为(0,2k+ 2)，所以-2| |2k21,解得k=-或2 k2k=2，所求直线方程为8 8如图，射线OA OB分别与x+ 2y 2= 0或2x+ y+ 2= 0.x轴正半轴成 4545和 3030角，过点P(1(1 , 0)0)作直线AB分别交OA OB于A,B1一两点，当AB的中点C恰好落在直线y=-x上时，求直线AB的方程.2由点C在尸;兀上且乂AS S三点共线，得*m-nm-n1m

11、my y2222m mQ Q01 2k1 1 +2k+2k- -_ 0 0(2 2)由题意，可得A(- ,0), B(0,1+2k)，且 0.kJ +2kA0111+2k111因为S OA OB | |1 - 2k |(4k 4)(2 2 4)=4,22 k2 k 211当且仅当4k，即k时取等号，k2所以S的最小值为4，此时直线I的方程为x 2y+ 4= 0.10.10. (1 1 )已知直线I1：ax 2 2y= 2 2a 4 4,I2： 2 2x+a2y= 2 2a2+ 4 4，当 0 0va2i2if f弭2*将点P(3#2)代入得bx y .I = 1此时直线/的方程为6 4，即2卄3厂12=0.方法二 依题意，可知直线/的斜率疋存在且疋,所以直线/的方程可设为7一2 =冷-3)住 0),/(30)(0,2